Analiza matematyczna II Lista 13 – Ca lki wielokrotne Zadanie 1

Analiza matematyczna II
Lista 13 – CaÃlki wielokrotne
Zadanie 1 Zbadać, czy dla poniższych funkcji i ich dziedzin speÃlniona jest teza twierdzenia Fubiniego:




f1 (x, y) =
|y|
√
1−x
−1
0



−|y|
√
1+x
−1




dla (x, y) ∈ (0, 1) × [−1, 1],
dla (x, y) ∈ {0} × [−1, 1],
f2 (x, y) =
dla (x, y) ∈ (−1, 0) × [−1, 1];



|y|
(1−x)2
−1
0
−|y|
(1+x)2
−1
dla (x, y) ∈ (0, 1) × [−1, 1],
dla (x, y) ∈ {0} × [−1, 1],
dla (x, y) ∈ (−1, 0) × [−1, 1].
Zadanie 2 Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gestościach
powierzchniowych:
,
©
ª
a) D = (x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin(x) ,
σ(x, y) = x;
©
ª
b) D = (x, y) : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0 ,
σ(x, y) = |x|.
Zadanie 3 W podanych caÃlkach iterowanych zmienić kolejność caÃlkowania:
dx
0
√
3−3x− 23 y
2−2x
Z
Z1
Z
dy
0
Z2
f (x, y, z) dz,
0
dx
−2
Zadanie 4 CaÃlke, potrójna,
t
Z0
4−x2 −y 2
f (x, y, z) dz,
dy
√
− 4−x2
√
−
0
4−x2 −y 2
√
Zz
dz
dx
√
− z
√
Zz−x2
f (x, y, z) dy.
√
− z−x2
f (x, y, z) dxdydz zamienić na caÃlki iterowane, jeśli obszar V jest ograniczony powierzchniami:
V
p
x2 + y 2 , z = 6;
p
c) z = x2 + y 2 , z = 20 − x2 − y 2 ;
b) x2 + y 2 + z 2 = 25, z = 4 (z ≥ 4);
a) z = 2
d) x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 3;
e) x2 + y 2 = 3, z = −1, z = 2;
Zadanie 5 Obliczyć caÃlki
Z3
Z
t
f ) x2 + y 2 = R2 , 0 ≤ z ≤ H.
f (x, y, z) dxdydz, gdzie:
V
f (x, y, z) = exp(x + y + z),
f (x, y, z) =
1
(3x+2y+z+1)4 ,
V : x ≤ 0, −x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ −x;
V : x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y;
f (x, y, z) = x2 + y 2 ,
V : x2 + y 2 ≤ 4, 1 − x ≤ z ≤ 2 − x;
f (x, y, z) = xyz,
V : bryÃla ograniczona powierzchniami o równaniach y = x2 , x = y 2 , z = xy, z = 0;
f (x, y, z) = x,
V : bryÃla ograniczona pÃlaszczyznami ukÃladu wspóÃlrzednych
i pÃlaszczyzna, przecho,
dzac
a
przez
punkty
(2,
0,
0),
(0,
1,
0),
(0,
0,
3).
, ,
Zadanie 6 Wprowadzajac
walcowe obliczyć caÃlki:
, wspóÃlrzedne
,
y¡
¢2
x2 + y 2 + z 2 dxdydz,
gdzie V : x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 1;
V
y
xyz dxdydz,
gdzie V :
p
x2 + y 2 ≤ z ≤
p
1 − x2 − y 2 ;
V
y¡
¢
x2 + y 2 dxdydz,
gdzie V : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , x2 + y 2 + z 2 ≤ 2Rz;
V
¢
t¡ 2
x + y 2 dxdydz,
V
gdzie V :
p
x2 + y 2 ≤ z ≤ 1.
2
Zadanie 7 Wprowadzajac
wspóÃlrzedne
sferyczne obliczyć caÃlki:
,
y, ¡
p
¢
2
2
2
x + y + z dxdydz,
gdzie V : − 4 − x2 − y 2 ≤ z ≤ 0;
V
y
dxdydz
p
V
x2
+ y2 + z2
gdzie V : 4 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 9;
,
y¡
¢
x2 + y 2 dxdydz,
gdzie V :
p
x2 + y 2 ≤ z ≤
p
1 − x2 − y 2 ;
V
y
z 2 dxdydz,
gdzie V : x2 + y 2 + (z − R)2 ≤ R2 ;
x2 dxdydz,
gdzie V : x2 + y 2 + z 2 ≤ 4x;
V
y
V
¶
y µ x2
y2
z2
+ 2 + 2 dxdydz,
a2
b
c
gdzie V :
V
x2
y2
z2
+
+
≤ 1.
a2
b2
c2
Zadanie 8 Obliczyć caÃlki:
Za
a)
Zb
dx
Zc
dy
(x + y + z) dz;
0
0
Z1
√
Z1−x2
d)
b)
0
dx
0
Z1
√
− 1−x2
Z1
dx
0
Za
dy
e)
0
dy
0
0
dz
√
;
1+x+y+z
Z1
c)
Za p
dy z x2 + y 2 dz;
dx
0
0
1−x
Z
dx
0
0
xyz dz;
0
√
Z1−x2
Z1
f)
1−x−y
Z
dy
0
√
2x−x
Z 2
Z2
dz;
Z1
√
1−x2 −y 2
Z
dy
dx
0
0
p
x2 + y 2 + z 2 dz.
0
Zadanie 9 Obliczyć objetość
obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami:
,
a) x2 + y 2 = 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;
c) z =
1
, z = 0, x2 + y 2 = 1;
1 + x2 + y 2
b) x = −1, x = 2, z = 4 − y 2 , z = 2 + y 2 ;
d)
¡
¢2
e) x2 + y 2 + z 2 = a3 z (a > 0).
x2
y2
z2
+ 2 = 2 , z = c,
2
a
b
c
Zadanie 10 Dana jest bryÃla wycieta
walcem x2 + y 2 = Rx z kuli x2 + y 2 + z 2 = R2 (bryÃla Vivianiego). Obliczyć:
,
a) objetość,
,
b) poÃlożenie środka cieżkości
(bryÃla jest jednorodna),
,
c) pole powierzchni bocznej,
d) pole górnej i dolnej podstawy bryÃly Vivianiego.
Zadanie 11 Obliczyć mase, i objetość
bryÃly ograniczonej powierzchniami x2 + y 2 − z 2 = a2 , z = 0 i z = a > 0, jeżeli jej
,
gestość
w każdym punkcie jest wprost proporcjonalna do trzeciej wspóÃlrzednej
tego punktu i równa jest 34 na pÃlaszczyźnie
,
,
z = a.
p
Zadanie 12 Obliczyć mase, bryÃly zadanej nierównościami x2 + y 2 ≤ 16 i 0 ≤ z ≤ 2 x2 + y 2 , jeżeli jej gestość
w każdym
,
punkcie jest równa kwadratowi odlegÃlości tego punktu od osi OZ.
p
Zadanie 13 Obliczyć mase, bryÃly ograniczonej powierzchniami x2 +y 2 +z 2 = 2z i z = x2 + y 2 , jeżeli jej gestość
w każdym
,
punkcie jest odwrotnie proporcjonalna do odlegÃlości tego punktu od poczatku
ukÃladu wspóÃlrzednych.
,
,
Zadanie 14 Obliczyć mase, i średnia, gestość
bryÃly ograniczonej powierzchniami x2 − y 2 = az, x2 + y 2 = a2 i z = 0 (z > 0),
,
jeżeli jej gestość
w każdym punkcie jest wprost proporcjonalna do trzeciej wspóÃlrzednej
tego punktu i najwieksza
wartość
,
,
,
gestości
równa
jest
3.
,
Zadanie 15 Wyznaczyć środek masy jednorodnej bryÃly ograniczonej powierzchnia, y 2 + 2z 2 = 4x i pÃlaszczyzna, x = 2.
Zadanie 16 Wyznaczyć środek masy jednorodnej bryÃly ograniczonej paraboloida, z = x2 + y 2 i pÃlaszczyzna, z = 4.
Zadanie 17 Obliczyć moment statyczny jednorodnej bryÃly ograniczonej powierzchnia,
wzgledem
tej pÃlaszczyzny.
,
x2
a2
Zadanie 18 Obliczyć biegunowy moment bezwÃladności bryÃly ograniczonej powierzchnia,
(0, 0, 0).
2
2
+ yb2 + zc2 = 1 i pÃlaszczyzna, z = 0
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 wzgledem
punktu
,
Zadanie 19* Obliczyć siÃle,
mase, punktowa, m poÃlożona,
,
, z jaka, jednorodna kula o promieniu R i masie M przyciaga
w odlegÃlości r od środka kuli. Rozważyć przypadki: r < R, r = R oraz r > R.