wyznacznik Grama

Zadania z geometrii B
Zestaw 4: wyznacznik Grama
1. W przestrzeni euklidesowej R3 (ze zwykłym iloczynem skalarnym) oblicz objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
(a) [1, −1, 1], [1, 1, 1], [1, 0, −1];
(b) [1, 1, 1], [−1, −1, 1], [1, 1, 3].
2.

2
Macierz funkcjonału dwuliniowego f : R3 ×R3 → R w bazie jednostkowej (~e1 , ~e2 , ~e3 ) jest równa 1
0
Oblicz wyznacznik Grama układu wektorów:
(1) ([1, 1, 2], [0, 1, −1]),
(2) ([1, 1, 2], [0, 1, −1], [1, 2, 1]).
1
1
0

0
0.
1
~ . Obliczyć pole równo3. W przestrzeni euklidesowej V dane są dwa prostopadłe wektory unormowane ~v, w
~ , ~v + w
~.
ległoboku opartego na wektorach 2~v − w
~ , ~u jest równa
4. W przestrzeni euklidesowej R3 objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach ~v, w
~ − ~u, 2~v − w
~ + ~u, ~v + 2~
3. Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach ~v + w
w − 3~u.
5. Dane są długości boków a = OA, b = OB, c = OC równoległościanu i kąty płaskie ∠BOC = α, ∠COA =
β, ∠AOB = γ przy wierzchołku O. Wyraź objętość równoległościanu przy pomocy a, b, c, α, β, γ. Jaki
wzór otrzymamy jeśli równoległościan będzie prostopadłościanem?
1