8. Wzory skróconego mnożenia. Działania na wielomianach.

Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
8. Wzory skróconego mnożenia. Działania na wielomianach.
I.
Przypomnij sobie:
1. Wzory skróconego mnożenia, z których można będzie korzystać na egzaminie
maturalnym (Wzory maturalne, str.2):
a. (a+b)2 = a2+2ab+b2
b. (a-b)2 = a2-2ab+b2
c. a2-b2 = (a-b)(a+b)
oraz
d. (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
e. (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
f. a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
g. a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
2. Co to jest wielomian jednej zmiennej x  R ?
Funkcja określona wzorem: W ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 , gdzie n jest
liczbą naturalną i nazywa się stopniem wielomianu, natomiast an,an-1,...,a1,a0 to
rzeczywiste współczynniki wielomianu, a0 nazywane jest również wyrazem
3
7 2 3
wolnym, np.: W x   7 x3  4 x  9; F x    x5 
x  13 , ale również
4
213
Gx   4 x  3 lub H x   1,5 .
3. Kiedy wielomiany są równe?
Ich stopnie (czyli najwyższe potęgi) oraz wszystkie współczynniki muszą być
sobie równe.
4. Jak wykonujemy działania na wielomianach:
a. dodawanie – dodajemy do siebie współczynniki przy tych samych potęgach, np.
(4x3+2x2-7x-3)+(2x4-x2+2x+3) = 2x4+4x3+x2-5x
b. odejmowanie – odjąć wielomian tzn. dodać wielomian o przeciwnych
współczynnikach, np.
(4x3+2x2-7x-3)-(2x4-x2+2x+3) = 4x3+2x2-7x-3-2x4+x2-2x-3 = -2x4+4x3+3x2-9x-6
c. mnożenie – każdy składnik jednego wielomianu mnożymy przez każdy składnik
drugiego wielomianu i wyniki dodajemy, np.
3x3(-6x4) = 3(-6)x3+4 = -18x7
(2x2-4x+6)(x3+x2) = 2x5+2x4-4x4-4x3+6x3+6x2 = 2x5-2x4+2x3+6x2
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z uwzględnieniem
czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i otwartych).
Przykład 1.
Wykonaj działania:
( 5  3)2  ( 5  3)2
Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Rozwiązanie:
Sposób 1:
Najpierw stosujemy wzory I.1.a. i I.1.b.
 5  2
  5  2
( 5  3)2 
2
 3   5  2 15  3  8  2 15
3   3   5  2 15  3  8  2 15
5 3
2
2
2
( 5  3)2
5
a potem odejmujemy
( 5  3)2  ( 5  3)2 = (8  2 15 )  8  2 15  8  2 15  8  2 15  4 15


Sposób 2:
Najpierw stosujemy wzór I.1.c.:
( 5  3)2  ( 5  3)2 = 5  3  5  3
5 3  5 3 ,
potem wykonujemy działania w nawiasach[] i wymnażamy
5 3  5 3
5 3  5 3 = 5 3 5 3 5 3 5 3 =


 


 
 

 
 


2 3  2 5  4 15
Oczywiście w obu przypadkach wynik musiał wyjść taki sam.
Odpowiedź: ( 5  3)2  ( 5  3)2 = 4 15
Przykład 2.
Określ, dla jakich wartości m i k wielomiany W i P są równe, gdy: W ( x)  x3  mx2  k  1x  2 ,
P( x)  x  1  3 .
3
Rozwiązanie:
Najpierw wielomian P doprowadzamy do najprostszej postaci stosując wzór I.1.e. i wykonując
potrzebne działania:
3
P( x)  x  1  3 = ( x3  3  x 2 1  3  x 12  13 )  3  x3  3x 2  3x  1  3  x3  3x 2  3x  2
Teraz wypisujemy współczynniki przy kolejnych potęgach w obu wielomianach i porównujemy
je.
Wielomian
W(x)
P(x)
x3
1
1
Współczynnik przy potędze
x2
x1=x
m
-(k-1)
-3
3
x0-wyraz wolny
2
2
Widzimy, że współczynnik przy x3 oraz wyraz wolny są sobie równe. Do równości obu
wielomianów potrzeba więc, aby pozostałe współczynniki były równe. Zatem m= -3 oraz
-(k-1)=3, czyli –k+1=3 -k=2 k= -2
Odpowiedź: Wielomiany W i P są równe, gdy m = -3 i k = -2.
Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład 3.
Jeżeli x 2  y 2  65 oraz xy  28 , to wartość wyrażenia x  y  jest równa:
2
A. 158,
B. 121,
C. 93,
D. 37.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru I.1.a.
x  y 2 = x2  2 xy  y 2  x2  y 2  2  xy
Wykorzystując równości z treści przykładu otrzymujemy:
x 2  y 2  2  xy = 65+228 = 65+56 =121




Odpowiedź: Wybieramy odpowiedź B.
Przykład 4.
Stopień iloczynu wielomianów W i G, gdy W x   3x 2  2 x i Gx   2 x 2  3x , jest równy:
A. 6,
B. 5,
C. 4,
D. 3.
Rozwiązanie:
Możemy, oczywiście, pomnożyć wielomiany przez siebie
W x   Gx   (3x 2  2 x) (2 x 2  3x) = 6 x 4  9 x3  4 x3  6 x 2
i w ten sposób sprawdzić jaka jest najwyższa potęga zmiennej x (czyli stopień wielomianu): 4.
Ale wystarczy zauważyć, że najwyższą potęgę iloczynu otrzymujemy mnożąc przez siebie
składniki z najwyższą potęgą w poszczególnych czynnikach: dla W(x) = 3x2-2x jest to potęga
druga; a dla G(x) = 2x2+3x również potęga druga. Gdy wymnożymy przez siebie te wyrażenia
otrzymamy 3x22x2=6x4. Czyli stopień iloczynu będzie równy 4.
Odpowiedź: Wybieramy odpowiedź C.
Przykład 5.
Sześcian sumy liczb
5 i 1 jest równy:
A. 5 5  16 ,
B. 8 5  1 ,
C. 7 5  1 ,
D. 8 5  16 .
Rozwiązanie:
Suma liczb 5 i 1 to
przekształceń:

5 +1. Jej sześcian to
  5   3   5  1  3 
3
5 1 =
3
2
5 12  13 


3
5  1 . Stosujemy wzór I.1.d. i dokonujemy
 5 
2
5  3  5 1  3  5 1  1 =
5 5  15  3 5  1= 8 5  16 . Wybieramy odpowiedź A.
Kurs e-learningowy
matematyka
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1.(1 pkt)
Jeżeli x2+6x-7 = (x+1)(x+5)+a, to liczba a jest równa:
A. 0,
B. 4,
C. -12,
D. 0,5.
Zadanie 2. (0,5 pkt)
Wyrażenie 2 xx  2 y   y2 x  y  można zapisać w postaci:
A. 2 x 2  xy  2 y 2 ,
B. 2 x 2  2 xy  y 2 ,
C. 2 x 2  2 xy  4 y 2 ,
D. 2 x 2  2 y  2 xy  y .
Zadanie 3. (0,5 pkt)
Suma kwadratów wyrażeń x  5 i x  5 jest równa:


A. 2 x 2  10 x  25 ,


B. 2 x 2  25 ,


C. 2 x 2  25 ,


D. 2 x 2  10 x  25 .
Zadanie 4. (1 pkt)


Wielomian Px   mx  1 x 2  2 jest wielomianem trzeciego stopnia i P2  9 , gdy:
A. m  1 ,
B. m  2 ,
C. m 
1
,
2
D. m  1 .
Zadanie 5. (2 pkt)
Zbadaj, czy istnieje taka wartość współczynnika a, dla której wielomiany W(x) i [Q(x)] 2 są
równe, jeśli Q(x) = x2+ax-1; W(x) = x4+2x3-x2-2x+1. Jeżeli istnieje, to podaj tę wartość.