copyrights 2001 am

Transkrypt

copyrights 2001 am

.
M
.
STATYSTYCZNE STEROWANIE PROCESAMI
A
1
0
0
2
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
PRZYCZYNY ZMIENNOŚCI
PROCES POMIAROWY
WYKRESY KONTROLNE
INTERPRETACJA WYKRESÓW KONTROLNYCH
ZDOLNOŚĆ PROCESU
ARTUR MACIASZCZYK
© COPYRIGHTS 2002
!
Artur Maciaszczyk, tel. 0602 375 325
1
[email protected]
STATYSTYCZNE MONITOROWANIE JAKOŚCI
.
M
.
A
1
0
20
„Bogu ufamy. Wszyscy pozostali niech przedstawią dane...”
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
♥
Ulepszanie jakości wymaga ciągłego śledzenia i optymalizacji pewnych parametrów wyrobów i usług.
♥
W określaniu i monitorowaniu jakości pomocne są wykresy kontrolne.
♥
SPC polega na śledzeniu parametrów procesu usługowego poprzez pobieranie próbek i obserwacji:
- średniej jakości
- zmienności jakości
♥
SPC służy do:
- wyłapywania zakłóceń procesu
- obserwacji poziomu jakości
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
2
♦
Statystyczne Sterowanie Procesami (SPC)
.
M
.
A
1
0
20
Osiągniemy wzrost jakości poprzez polepszenie procesu,
osiągniemy polepszenie procesu poprzez zmniejszenie jego zmienności
E.W. Deming
→ SPC może być użyte do ostrzegania o zaistnieniu jakiejś nieprawidłowości. lub niskiej jakości
→ Wykresy kontrolne używane są głównie do zapobiegania produkcji braków.
Przykład: Co może być wykryte przez SPC:
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
•
nagłe zwiększenie się procentowej wadliwości wyrobów.
•
zwiększenie się średniej liczby dziennych zażaleń w hotelu.
•
permanentnie zbyt niskie średnice produkowanych wałów korbowych, lub
•
zwiększenie się liczby osób reklamujących zbyt późną wypłatę odszkodowań przez firmę
ubezpieczeniową.
→ Czy wzrost odsetek braków jest sygnałem alarmowym, czy też zwykłym zbiegiem okoliczności ?
→ SPC pomaga w podejmowaniu decyzji, czy należy podejmować działania korekcyjne.
♦
SPC≠ wyrywkowe badanie odbiorcze.
© COPYRIGHTS 2002
3
[email protected]
♦ Rozkład danych
Jeżeli zważylibyśmy większą ilość opakowań płatków owsianych napełnionych przez maszynę, to dane na
wykresie punktowym miałyby tendencje do układania się według pewnego wzorca (rozkład danych).
Taki rozkład charakteryzuje się średnią oraz rozrzutem.
.
M
.
A
1
0
20
Jeżeli zmienność procesu wynika jedynie ze zwykłej losowości, rozkład danych jest zazwyczaj symetryczny,
z większością pomiarów skupionych wokół średniej.
S
T
H
G
I
R
∑
Y
P
O
C
1.
Średnia to suma pomiarów podzielona przez ich liczbę:
n
gdzie
xi = zaobserwowana wartość (np. waga)
xi
n = całkowita liczba pomiarów
x = średnia
x = i=1
n
2.
Rozrzut jest miernikiem rozproszenia zaobserwowanych wartości od średniej.
Miarami rozrzutu (zmienności) używanymi w praktyce jest rozstęp i odchylenie standardowe.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
4
•
σ=
•
Odchylenie standardowe można policzyć w następujący sposób:
∑(
xi − x
n −1
)
2
( xi )
∑ xi − ∑n
2
gdzie
2
lub
σ=
n −1
Oszacowanie σ z rozstępu ( R )
Rozstęp jest różnicą pomiędzy największą i
najmniejszą wartością zaobserwowaną w próbce.
σ = R / d2
gdzie d2 jest stałą z tabeli
⇒
Dlaczego d2 zwiększa się wraz ze zwiększaniem się
liczebności próbki ?
© COPYRIGHTS 2002
•
•
•
.
M
.
A
1
0
20
Liczebność
próbki
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
Jeżeli zmienne losowe pochodzą z rozkładu
normalnego to:
σ = odchylenie standardowe
n = całkowita liczba pomiarów
x = średnia
xi = zaobserwowana wartość
d2
1,128
1,693
2,059
2,326
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
3,472
3,735
5
[email protected]
Niektóre rozkłady średnich z próbek można aproksymować poprzez rozkład normalny.
Dzięki takiej aproksymacji możemy skorzystać z tabeli rozkładu normalnego.
Mamy możliwość wyznaczenia prawdopodobieństwa, że jakaś średnia z próbek wykroczy poza
pewne granice.
⇒
Na przykład prawdopodobieństwo, iż jakaś średnia z próbek wykroczy poza dwa odchylenia
standardowe od średniej wynosi 4,56% (100-95,44).
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
.
M
.
A
1
0
20
Procentowy udział ilości elementów w poszczególnych przedziałach rozkładu normalnego.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
6
Wykres Q – Q
.
M
.
A
1
0
20
Służy do ustalania czy dany rozkład jest zbliżony do rozkładu normalnego
Zi
Nr.obser Obser- Uporządkowane
Skumulowane
Xi
wacji
wacja
prawdopodobieństwo (z tabeli rozkładu
(i)
(Xi)
(pi)
normalnego)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5,7
5,63
5,76
5,98
5,57
5,45
5,86
5,55
5,36
5,67
5,36
5,45
5,55
5,57
5,63
5,67
5,7
5,76
5,86
5,98
X=
5,65
=100(i-0,5)/n
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
© COPYRIGHTS 2002
Qi
=(Xi-x)/s
Obliczenia
pomocnicze
(Xi-X)2
-1,58
-1,10
-0,56
-0,45
-0,12
0,09
0,25
0,58
1,12
1,77
0,086
0,041
0,011
0,007
0,001
0,000
0,002
0,011
0,043
0,107
Warjancja (s2) =
Odchylenie
standardowe s=
0,03
0,19
-1,64
-1,04
-0,67
-0,39
-0,13
0,13
0,39
0,67
1,04
1,64
7
[email protected]
.
M
.
A
1
0
20
Wykres Q-Q
2,00
1,50
1,00
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
0,50
0,00
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
-0,50
0,50
1,00
1,50
2,00
-1,00
-1,50
-2,00
© COPYRIGHTS 2002
Z
[email protected]
8
♦ PRZYCZYNY ZMIENNOŚCI
•
.
M
.
A
1
0
20
Proces produkcyjny posiada wiele źródeł zmienności,
⇒ nawet jeżeli proces działa prawidłowo, jego produkty nigdy nie będą idealnie identyczne.
PRZYKŁAD:
→
→
Średnice dwóch wałów korbowych, mogą różnić się z powodu istnienia różnic
- w stopniu zużycia narzędzi,
- w twardości materiału,
- w umiejętnościach pracowników lub
- innych temperatur na hali produkcyjnej w momencie ich wytwarzania.
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
Czas potrzebny na wydanie karty kredytowej może różnić się ze względu na
- obciążenie działu kredytowego,
- sytuację finansową osoby występującej o wydanie karty kredytowej,
- umiejętności i zachowania pracowników.
•
Nie można całkowicie wyeliminować zmienności produktu, ale w celu jej zmniejszenia, można badać
jej przyczyny.
•
Istnieją dwa rodzaje przyczyn zmienności wyjścia: przyczyny systemowe i przyczyny specjalne
© COPYRIGHTS 2002
9
[email protected]
♦
PRZYCZYNY SYSTEMOWE (ZWYCZAJNE) ZMIENNOŚCI
•
→
→
Przyczyny systemowe powodują naturalną zmienność procesu przy danych uwarunkowaniach.
→
→
•
.
M
.
A
1
0
20
Są nieodłącznie związane z procesem.
Są spowodowane zmiennością wejść i zmiennością samego procesu
Przyczyny systemowe nakładają się na siebie powodując ogólną zmienność wyjścia
Mają charakter losowy i przypadkowy
Mogą wynikać z::
niedoskonałości sprzętu
niedoskonałości systemu produkcyjnego
niedoskonałości pracowników
niedoskonałości materiałów itp.
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
•
Np.
⇒
Ich zmniejszenie wymaga zmian w systemie i udziału kierownictwa
Maszyna napełniająca pudełka płatkami owsianymi, nie zapakuje do każdego opakowania takiej
samej ilości płatków, co wynika z:
ograniczonej dokładności urządzenia ważącego
różnych umiejętności operatorów
różnej wagi poszczególnych płatków
zmian temperatury, wilgotności itp.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
10
♦ PRZYCZYNY SPECJALNE ZMIENNOŚCI
•
•
⇒
Przyczyny specjalne to sporadyczne, specyficzne i lokalne przyczyny, których powstania nie można
przewidzieć. Można je stosunkowo łatwo zidentyfikować i wyeliminować.
Mogą to być nie przeszkolony pracownik, uszkodzony sprzęt czy narzędzie, wady materiałowe...
Często mogą być zidentyfikowane i skorygowane przez pracownika wykonawczego
Wpływ przyczyn
specjalnych na rozkład
procesu napełniania
opakowań.
•
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
.
M
.
A
1
0
20
Proces jest pod kontrolą statystyczną, jeżeli kształt i rozmiary jego rozkładu nie zmieniają się wraz z
upływem czasu.
Wpływ przyczyn
specjalnych na
stabilność procesu
© COPYRIGHTS 2002
11
[email protected]
♦ DECYZJE PRZY WDRAŻANIU SPC
Należy odpowiedzieć na pytania:
- jak mierzyć jakość ?
- jakiej wielkości próbki zbierać ?
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
- na jakim etapie procesu mierzyć jakość ?
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
.
M
.
A
1
0
20
12
JAK MIERZYĆ JAKOŚĆ
•
Mierzenie zmiennych (wartości mierzalnych), polega na mierzeniu charakterystyk wyrobu lub usługi o
charakterze ciągłym, takich jak waga, długość, objętość lub czas.
→ W Harley-Davidson mierzy się średnicę zaworów w celu sprawdzenia czy jest zgodna ze
specyfikacjami i jak zmienia się z upływem czasu.
→ W United Parcel Service monitoruje się czas dostarczenia przesyłki.
.
M
.
A
1
0
20
Zaleta: możemy stwierdzić o ile wyrób przekroczył granicę tolerancji.
Wada: zazwyczaj wymaga użycia specjalnego wyposażenia pomiarowego,
specjalnych umiejętności pracowników, ścisłych procedur oraz czasu.
•
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
Mierzenie atrybutowych właściwości wyrobu lub usługi (cechy niemierzalne ale policzalne), czyli
charakterystyk, które można łatwo policzyć i stwierdzić czy spełniają dopuszczalny poziom jakości.
Pozwala na podjęcie prostej decyzji: wyrób lub usługa spełnia albo nie spełnia wymogów specyfikacji.
→
Przykład: - ilość błędnie wypełnionych polis ubezpieczeniowych,
- procentowy udział odbiorników radiowych, które nie przeszły kontroli ostatecznej,
- procentowy udział rejsów lotniczych, które były opóźnione więcej niż piętnaście minut,
- ilość karoserii samochodowych z pomarszczonym lakierem.
Zaleta: mniejsza pracochłonność i materiałochłonność
Wada: ujawnia zmiany w poziomie jakości, ale nie pokazuje w jakim stopniu.
© COPYRIGHTS 2002
13
[email protected]
PRÓBKOWANIE
•
.
M
.
A
1
0
20
Kontrola całkowita stosuje się gdy koszty inspekcji są mniejsze niż koszty wynikające z przekazania
wyrobu wadliwego klientowi lub na następne stanowisko pracy.
Np. Dostawcy części do promów kosmicznych, wielokrotnie sprawdzają
każdy komponent, zanim wyślą go zleceniodawcy. Koszt awarii okaleczenie, śmierć lub zniszczenie drogiego sprzętu - znacznie
przekraczają koszty inspekcji
•
Zmęczenie kontrolerów lub niedoskonałość metod testowania może przyczynić się do przeoczenia
niektórych defektów.
⇒ nawet kontrola jednostkowa może nie zapewnić wykrycia wszystkich defektów
•
•
Próbkowanie może zapewnić ten sam stopień zabezpieczenia, co kontrola jednostkowa.
•
Próbkowanie jest konieczne jeżeli test wiąże się ze zniszczeniem przedmiotu badań
→ np. badanie wytrzymałości materiału
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
Plan próbkowania precyzuje:
- wielkość próbki,
- ilość czasu pomiędzy pobieraniem dwóch kolejnych próbek;
- zasady określające kiedy należy podjąć działania korekcyjne.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
14
♦
ROZKŁAD Z PRÓBKI.
Przykład:
⇒
.
M
.
A
1
0
20
Maszyna napełniająca pudełka płatkami owsianymi
Napełniane pudełka powinny ważyć 425g. ⇒ średnia rozkładu procesu 425g.
Pobierana jest próbka składająca się z pięciu napełnionych opakowań,
Można obliczyć średnią z próbki i na jej podstawie stwierdzić jak funkcjonuje maszyna.
Średnie z próbek stanowią osobny rozkład, ze średnią 425g., ale z dużo mniejszą zmiennością.
Odchylenie standardowe średnich z
próbek:
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
σx = σ/√
√n
σ = odchylenie standardowe procesu
n = rozmiar próbki
Związek pomiędzy rozkładem próbki i
rozkładem procesu.
→
© COPYRIGHTS 2002
♦
15
[email protected]
WYKRESY KONTROLNE
• Wykres zorientowany czasowo, na który nanosi się próbki.
.
M
.
A
1
0
20
• Pomagają stwierdzić czy zaobserwowana zmienność jest nieprawidłowością
• Zawiera:
- centralną oś, zazwyczaj reprezentującą wartość średnią
- granice kontrolne określone na podstawie rozkładu średnich z próbek.
• Granice kontrolne pozwalają na określenie momentu, w którym należy podjąć działania korekcyjne
- górna wartość reprezentuje górną granicę kontrolną (UCL - Upper Control Limit),
- dolna wartość reprezentuje dolną granicę kontrolną (LCL - Lower Control Limit).
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
⇒ Jeżeli średnia z próbki zawiera się w przedziale pomiędzy UCL i LCL, oznacza to, iż proces podlega
jedynie systemowym przyczynom zmienności;
⇒ Jeżeli średnia z próbki wyjdzie poza granice kontrolne oznacza to, iż proces prawdopodobnie podlega
specjalnym przyczynom zmienności.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
16
•
Próbki wykraczające poza granice kontrolne, nie zawsze oznaczają słabą jakość procesu.
→ Przykład:
.
M
.
A
1
0
20
Przyczyna specjalna może wynikać z wdrożenia nowej procedury rejestrowania klientów,
która została wprowadzona w celu zmniejszenia liczby pomyłek.
Jeżeli odsetek pomyłek lub średni czas oczekiwania spadnie poniżej dolnej granicy, oznacza
to, iż prawdopodobnie nowa procedura usprawniła proces rejestracji
Umiejscowienie granic kontrolnych na rozkładzie średnich z próbek z trzema różnymi próbkami.
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
© COPYRIGHTS 2002
17
[email protected]
♦ TWORZENIE KART KONTROLNYCH
.
M
.
A
1
0
20
Wykresy X i R (wykresy kontrolne dla zmiennych).
Służą do śledzenia średniej i zmienności rozkładu procesu.
1.
Pobieramy i próbek o liczebności n.
2.
Dla każdej próbki obliczamy:
3.
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
- średnią próbki
X i = ( ∑ nj=1 x ij ) / n
- rozpiętość próbki
R i = x i max − xi min
Dla k próbek obliczamy:
k
- Średnią ze średnich z próbek X = ( ∑ X i ) / k
i =1
- Średnią rozpiętość próbek
k
R = ( ∑ Ri ) / k
i =1
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
18
♦ TWORZENIE KART KONTROLNYCH
Wykresy X i R (wykresy kontrolne dla zmiennych).
.
M
.
A
1
0
20
Służą do śledzenia średniej i zmienności pewnego parametru jakości.
•
Wykresy typu X (wykres wartości średnich x) - używany do obserwacji średniej procesu.
Granice kontrolne dla wykresu typu X wynoszą:
LCL X = X − A 2R
UCL X = X + A 2R
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
X = centralna linia wykresu - średnia ze średnich z próbek.
A2 = stała dla wyznaczenia granic kontrolnych (±3-sigma).
•
Wykresy typu R. (wykresy rozstępu) - służą do monitorowania zmienności mierzonego parametru.
Granice kontrolne dla wykresu typu R:
LCL R = D3 R
© COPYRIGHTS 2002
UCL R = D4R
19
[email protected]
WSPÓŁCZYNNIKI DO OBLICZANIA GRANIC ±3 σ DLA WYKRESÓW TYPU X ORAZ R.
Liczebność próbki
(n)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
Współczynnik do
obliczania UCLX i
LCLX
(A2)
1,880
1,023
0,729
0,577
0,483
0,419
0,373
0,337
0,308
0,223
0,180
Współczynnik do
obliczania UCLR
(D4)
0
0
0
0
0
0,076
0,136
0,184
0,223
0,348
0,414
3,267
2,575
2,282
2,115
2,004
1,924
1,864
1,816
1,777
1,652
1,586
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
© COPYRIGHTS 2002
.
M
.
A
1
0
20
Współczynnik do
obliczania LCLR
(D3)
[email protected]
20
PRZYKŁAD 1: Monitorowanie procesu przy pomocy wykresów typu R i X .
Średnia średnica produkowanych śrub wynosi 0,5025 cala, a średni rozstęp wynosi 0,0020 cala. Dane z
ostatnich pięciu próbek podane są w poniższej tabeli. Rozmiar próbki wynosi 4. Czy proces jest pod
kontrolą statystyczną ?
Numer
próbki
1
2
3
4
5
1
0,5014
0,5021
0,5018
0,5008
0,5041
Pomiary w próbce
2
3
0,5022
0,5041
0,5026
0,5034
0,5056
0,5009
0,5032
0,5035
0,5024
0,5034
4
0,5027
0,5020
0,5023
0,5015
0,5039
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
© COPYRIGHTS 2002
.
M
.
A
1
0
20
21
[email protected]
ROZWIĄZANIE
Krok 1. W celu stworzenia wykresu typu R, należy wybrać odpowiednie stałe D4 oraz D3 dla próbki o
liczebności 4. Granice kontrolne wynoszą:
UCLR = D4 R = 2,282 (0,0020) = 0,00456 cala
LCLR = D 3 R = 0 (0,0020) = 0 cala
.
M
.
A
1
0
20
Krok 2. Dla każdej próbki obliczyć jej rozstęp:
próbka nr 1: R = 0,5027 - 0,5009 = 0,0018 cala.
próbka nr 2: R= 0,0021; próbka nr 3: R = 0,0017; próbka nr 4: R = 0,0026; próbka nr 5: R = 0,0022
Krok 3. Nanieść rozstępy z poszczególnych próbek na wykres typu R.
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
Żaden z rozstępów próbek nie wykracza poza granice kontrolne.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
22
Krok 4. Do śledzenia średniej procesu należy stworzyć wykres typu X .
X= 0,5025 cala, R = 0,0020 cala , a więc:
UCL X = X + A 2 R = 0,5025 + 0,729 (0,0020) = 0,5040 cala
LCL X = X − A 2R = 0,5025 - 0,729 (0,0020) = 0,5010 cala
Krok 5. Należy obliczyć średnią dla każdej próbki.
X1 = 0,5018 cala;
X 2 =0,5029;
X 3 =0,5026;
.
M
.
A
1
0
20
X4 =0,5020;
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
Krok 6. Należy nanieść średnie z próbek na wykres kontrolny.
X 5 =0,5043
Średnia z próbki nr 5 wykracza ponad górną granicę kontrolną, wskazując iż średnia procesu jest poza
kontrolą statystyczną.
© COPYRIGHTS 2002
23
[email protected]
PRZYKŁAD 2
Firma Watson Electric Company produkuje żarówki. Następujące dane, zebrane gdy proces był stabilny,
przedstawiają jasność światła w lumenach dla czterdziestowatowych żarówek.
Próbka
1
2
3
4
5
1
604
597
581
620
590
Pomiar
2
3
612
588
601
607
570
585
605
595
614
608
4
600
603
592
588
604
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
.
M
.
A
1
0
20
a)
Obliczyć granice kontrolne dla wykresów typu X i typu R.
b)
Odkąd zebrano te dane, zostali zatrudnieni nowi pracownicy. Współcześnie pobrana próbka składała się
z następujących pomiarów: 570, 603, 623 oraz 583.
Czy proces wciąż jest pod kontrolą statystyczną ?
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
24
Rozwiązanie
a)
Obliczenie x i R dla każdej próbki.
Pomiar
Próbka
1
2
3
4
X
1
2
3
4
5
604
597
581
620
590
612
601
570
605
614
588
607
585
595
608
600
603
592
588
604
...
...
582
582
604
.
M
.
A
1
0
20
Granice kontrolne dla wykresu typu R wynoszą:
R
...
...
22
32
24
UCL R = D4R = ............
LCL R = D3R = ............
Granice kontrolne dla wykresu typu X wynoszą:
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
Σ/5
UCL X = X + A 2R = ............
LCL X = X − A 2R = ............
D4 = ..............
D3 = ..............
A2 = ..............
b) Należy sprawdzić, czy po wprowadzeniu nowych danych zmienność jest wciąż pod kontrolą
statystyczną. Rozstęp wynosi 53 (623 - 570), czyli jest powyżej górnej granicy kontrolnej wykresu R.
Pomimo że średnia z próbki zawiera się pomiędzy granicami kontrolnymi wykresu średnich, zmienność
procesu nie jest pod kontrolą statystyczną. Należy rozpocząć poszukiwania przyczyn specjalnych.
© COPYRIGHTS 2002
25
[email protected]
PRZYKŁAD
Tworzenie wykresu typu X przy użyciu odchylenia standardowego procesu.
.
M
.
A
1
0
20
Bank Gdyński monitoruje czas potrzebny do obsłużenia klientów (czynnik jakości, mający duży wpływ na
konkurencyjność banku). Stwierdzono, że średni czas obsługi klienta w godzinach szczytu wynosił 5 minut z
odchyleniem standardowym 1,5 minuty. Należy monitorować średni czas obsługi klienta poprzez zbieranie
próbek o liczebności 6 klientów. Należy stworzyć wykres typu X , który posiada 5%-owy błąd typu I-szego.
Rozwiązanie
X = 5,0 minut
σ = 1,5 minuty
n = 6 klientów
z = 1,96
Granice kontrolne wynoszą:
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
UCLx = X + zσ/√n = 5,0 + 1,96(1,5)/√6 = 6,20 minut
LCLx = X - zσ/√n = 5,0 - 1,96(1,5)/√6 = 3,80 minut
5%-owy błąd typu I-szego, czyli 2,5% z całości masy rozkładu powyżej górnej granicy kontrolnej i 2,5%
poniżej dolnej granicy kontrolnej. Chcemy więc odczytać z tabeli wartość z, która pozostawia jedynie 2,5%
w górnej części rozkładu normalnego (w tabeli odpowiednik 0,9750). Wartość ta wynosi 1,96.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
26
PROCEDURA UŻYWANIA WYKRESÓW KONTROLNYCH:
.
M
.
A
1
0
20
1. Pobrać próbkę z procesu, zmierzyć daną charakterystykę jakości,
2. Nanieść wartość (np. średnią) na wykres kontrolny,
3. Jeżeli próbka zawiera się w granicach kontrolnych - O.K ⇒ punkt 6
4. Jeżeli próbka wypadnie poza granice kontrolne, szukać przyczyn specjalnych.
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
5. Wyeliminować przyczynę jeżeli wpływa ona na obniżenie jakości; utrwalić przyczynę jeżeli wpływa na
podwyższenie jakości. Sporządzić wykres kontrolny dla nowych danych.
6. Okresowo powtarzać tę procedurę.
© COPYRIGHTS 2002
27
[email protected]
INTERPRETACJA WYKRESÓW KONTROLNYCH
Często można zauważyć, iż coś złego dzieje się z procesem, nawet jeżeli granice kontrolne nie zostały
przekroczone.
• Proces jest pod kontrolą statystyczną. Nie
należy podejmować żadnych działań.
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
• Nieprawidłowość zwana przebiegiem, czyli
sekwencja obserwacji posiadająca pewne
właściwości. W tym przypadku przebieg jest
trendem malejącym.
.
M
.
A
1
0
20
PRZYKŁAD:
• Stopniowe zużywanie się narzędzia. Jest to sygnał do wymiany narzędzia lub konieczności ustawienia
maszyny na wartość zawierającą się pomiędzy wartością nominalną i UCL w celu przedłużenia
eksploatacji narzędzia.
• Zwiększanie się odsetku opóźnionych przylotów. Przyczyną może być powolne zwiększanie się
intensywności i zatłoczenia lądujących samolotów. Może być konieczna zmiana harmonogramu lotów.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
28
• Gwałtowna zmiana zachowania się procesu,
polegająca na zwiększeniu zmienności.
⇒ Sygnał ostrzegawczy, nawet jeżeli granice
kontrolne nie zostały jeszcze przekroczone.
• Kilka kolejnych punktów znajduje się
powyżej lub poniżej wartości nominalnej.
Należy podjąć działania korekcyjne, pomimo
że granice kontrolne nie zostały przekroczone
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
.
M
.
A
1
0
20
• Proces dwukrotnie nie jest pod kontrolą
statystyczną ponieważ dwie średnie z próbek
wykroczyły poza granice kontrolne. Istnieje
wysokie prawdopodobieństwo, iż zmienił się
rozkład procesu.
© COPYRIGHTS 2002
29
[email protected]
• ZAAWANSOWANE PROCEDURY UŻYWANIA WYKRESÓW
KONTROLNYCH:
.
M
.
A
1
0
20
Na wykresach typu X obszar pomiędzy LCL i UCL podzielony jest na 6 równych stref:
3 strefy pomiędzy LCL i średnią – strefy A, B, C; oraz 3 strefy pomiędzy UCL i średnią – strefy A, B, C
Testy kontrolne Shewart’a
•
Testy kontrolne negatywne- w przypadku spełnienia tego testu należy przeprowadzić analizę, jakie
czynniki wpłynęły na pogorszenie procesu:
1)
Jeden punkt pomiarowy jest powyżej
UCL lub poniżej LCL.
2)
Dwa z trzech kolejnych punktów
znajdują się w strefie A lub dalej (dla
kart X).
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
30
3)
Cztery z pięciu kolejnych punktów
znajdują się w strefie B lub dalej (dla
kart X).
4)
Osiem lub więcej kolejnych punktów
znajduje się poniżej lub powyżej
średniej.
5)
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
.
M
.
A
1
0
20
Sześć kolejnych punktów wznosi się
lub opada.
© COPYRIGHTS 2002
31
[email protected]
6)
Czternaście lub więcej kolejnych punktów
oscyluje
7)
Osiem lub więcej kolejnych punktów znajduje
się po obydwu stronach średniej, omijając
strefę C (dla kart X).
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
.
M
.
A
1
0
20
•
Test kontrolny pozytywny - w przypadku spełnienia tego testu należy przeprowadzić analizę, jakie
czynniki wpłynęły na polepszenie dokładności procesu:
8)
Piętnaście kolejnych punktów znajduje się po
obydwu stronach średniej tylko w strefie C
(najbliższej średniej)
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
32
LOKALIZACJA STANOWISK KONTROLNYCH
•
Identyfikacja czynników jakości istotnych dla klienta oraz etapów procesu w największym stopniu
wpływające na te czynniki (wykresy przyczyn i skutków).
•
Stanowiska kontrolne zazwyczaj lokalizuje się na trzech różnych etapach produkcji:
⇒
Dostawa surowców. Cel: zapewnienie prawidłowej jakości materiałów wejściowych do systemu
produkcyjnego. Na tym etapie można używać różne rodzaje badań odbiorczych.
⇒
Proces produkcyjny. Na etapie produkcji, stanowiska kontrolne można umiejscawiać po każdej
operacji produkcyjnej, zwłaszcza przed operacjami drogimi i tymi które stanowią wąskie gardło
produkcji.
⇒
Usługa lub wyrób końcowy. Dokonuje się jej tuż przed magazynowaniem wyrobów.
Sposób drogi ponieważ wiąże się z:
(1) kasacją wyrobu lub partii produkcyjnej,
(2) cofnięciem wyrobu lub partii produkcyjnej do wcześniejszego etapu w celu naprawy,
(3) przesunięciem wyrobu lub partii produkcyjnej do obszaru diagnostycznego i usuwaniem defektów.
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
.
M
.
A
1
0
20
Kontrola nie zwiększa jakości wyrobu !!!
© COPYRIGHTS 2002
33
[email protected]
♦ INNE RODZAJE WYKRESÓW KONTROLNYCH
.
M
.
A
1
0
20
Wybór odpowiedniego rodzaju wykresu kontrolnego
Czy charakterystyka jest mierzalna ?
TAK
Czy rozmiar próbki n=1 ?
NIE
Czy cały element jest wadliwy ?
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
NIE
Wykresy
X oraz R
© COPYRIGHTS 2002
TAK
Wykresy
X oraz Rm
[email protected]
TAK
Wykresy
P lub NP
NIE
Czy próbka jest stała ?
TAK
Wykres
C
NIE
W ykres
U
34
♦
Karty kontrolne X oraz Rm
•
•
.
M
.
A
1
0
20
Stosuje się kiedy stosowne jest pobranie jak najmniejszej próbki (o liczebności 1)
⇒
ze względu na koszt (np. próbki niszczące się)
⇒
ze względu na rzadkość występowania
⇒
badanie danej serii produkcyjnej (np. stężenie składnika)
W celu obserwacji zmienności tworzymy „sztuczne próbki” (pełzające), które składają się z
dwóch (lub trzech, czterech, ...) kolejnych odczytów:
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
ODCZYTY
PRÓBKI (składające się z 2 odczytów)
1
Próbka 1
2
Próbka 2
3
Próbka 3
4
Próbka 4
5
© COPYRIGHTS 2002
•
35
[email protected]
.
M
.
A
1
0
20
Wykres Rm. (wykresy rozstępu)
- Na wykres rozstępu nanosimy rozstępy poszczególnych „sztucznych próbek”
- Linia centralna to średnia z poszczególnych rozstępów ( R m )
- Granice kontrolne:
LCL R = D3R m
•
UCL R = D4 R m
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
Wykresy X
- Na wykres X nanosimy poszczególne obserwacje (a nie średnie z fikcyjnych próbek)
- Linia centralna to średnia ze wszystkich obserwacji ( X )
- Granice kontrolne:
LCL X = X − 3σ x = X − 3
Rm
d2
UCL X = X + 3σ x = X + 3
Rm
d2
d2 = stała z tabeli.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
36
♦
Przykład tworzenia wykresów kontrolnych X oraz Rm
X
Rm
n =
d2 =
1,383
1,431
1,328
1,340
1,396
1,365
1,444
1,469
1,461
1,446
D3 =
D4 =
Wykres Rm
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
X=
© COPYRIGHTS 2002
♦
.
M
.
A
1
0
20
LCL R = D3 R m =
UCL R = D4 R m =
Wykres X
Rm =
LCL X = X − 3
Rm
=
d2
UCL X = X + 3
Rm
=
d2
37
[email protected]
Gotowy wykres X oraz Rm
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
.
M
.
A
1
0
20
38
♦ Interpretacja wykresów X oraz Rm
.
M
.
A
1
0
20
•
W przypadku wykresów X oraz R , dane układają się według rozkładu normalnego
(gdyż obserwujemy średnie z próbek
•
W przypadku wykresów X oraz Rm, dane nie muszą układać się według rozkładu
normalnego (gdyż obserwujemy poszczególne pomiary, a nie srednie)
•
Należy sprawdzić, czy rozkład jest rozkładem normalnym (Wykres Q-Q)
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
⇒ jeżeli nie jest, to testy Shewarta mogą sugerować niestabilność procesu
⇒ jeżeli jest to interpretacja jest taka sama jak dla wykresów X oraz R
•
Wykresy X oraz Rm, są bardziej czułe niż wykresy X oraz R i mogą powodować fałszywe
alarmy
⇒ należy stosować mniej rygorystyczne testy
© COPYRIGHTS 2002
♦
39
[email protected]
WYKRESY KONTROLNE DLA ATRYBUTÓW
.
M
.
A
1
0
20
(CHARAKTERYSTYK NIEMIERZALNYCH LECZ POLICZALNYCH)
W tym przypadku stosuje się wykresy typu p (lub np.) oraz typu c (lub u).
⇒
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
Wykresy typu p używa się do śledzenia procentowej ilości wadliwych produktów lub usług
generowanych przez proces. Jednostką wadliwą jest każda jednostka obarczona choćby jednym
defektem.
⇒
Wykresy typu c (lub u) używa się do śledzenia ilości defektów, w przypadku kiedy produkt lub usługa
może być obarczona więcej niż jednym defektem. Np. ilość skaz na lakierze samochodowym
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
40
♦
WYKRESY KONTROLNE DLA ATRYBUTÓW
(CHARAKTERYSTYK NIEMIERZALNYCH LECZ POLICZALNYCH)
⇒
.
M
.
A
1
0
20
Wykresy typu p używa się do śledzenia procentowej ilości wadliwych usług generowanych przez
proces. Jednostką wadliwą jest każda usługa obarczona choćby jednym defektem.
•
Wymaga podejmowanie decyzji: wyrób wadliwy lub dobry. A więc wady istnieją bądź nie istnieją.
•
⇒
Przykład:
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
- ilość błędnych depozytów w banku
- ilość niedziałających świateł na skrzyżowaniach w całym mieście
- ilość wyrobów, które nie działały po zmontowaniu
- ilość skarg klientów
•
Rozkład statystyczny danych oparty jest na rozkładzie dwumianowym.
© COPYRIGHTS 2002
•
Metoda polega na wybraniu losowej próbki i policzeniu stosunku elementów wadliwych w próbce, p,
ilości elementów wadliwych w próbce
p = -------------------------------------------------liczebność próbki.
•
p (1 − p ) / n
n = liczebność próbki
p = średnia z odsetek wyrobów wadliwych (linia centralna
wykresu).
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
Granice kontrolne:
p(1 − p )
UCL = p + zσp = p + 3
n
•
.
M
.
A
1
0
20
Odchylenie standardowe rozkładu odsetek jednostek wadliwych , σp wynosi:
σp =
•
41
[email protected]
LCL = p − zσ p = p − 3
p(1 − p )
n
Jeżeli dana wartość stosunku wyrobów wadliwych w próbce, wykracza poza granice kontrolne, należy
założyć, iż odsetek wyrobów wadliwych generowany przez proces zmienił się.
Należy więc szukać przyczyn specjalnych. Zawsze istnieje prawdopodobieństwo, iż odsetek wyrobów
wadliwych w danej próbce nie będący „pod kontrolą statystyczną” zdarzył się przypadkowo.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
42
PRZYKŁAD 1: Monitorowanie procesu przy użyciu wykresów typu p.
W banku X, zaniepokojono się ilością numerów rachunków klientów źle wpisanych przez urzędników
banku. Każdego tygodnia pobiera się losową próbkę dwóch i pół tysiąca depozytów, i zapisuje się liczbę źle
wpisanych numerów. Czy proces nie jest pod kontrolą statystyczną ?
Dane z poprzednich dwunastu tygodni:
Numer
próbki
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Razem
Ilość złych numerów
rachunków
15
12
19
2
19
4
24
7
10
17
15
3
147
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
© COPYRIGHTS 2002
43
[email protected]
ROZWIĄZANIE
Krok 1.
.
M
.
A
1
0
20
.
M
.
A
1
0
20
Należy opracować wykres typu p. Obliczyć p na podstawie danych historycznych.
Całkowita liczba złych numerów
147
p = ------------------------------------------ = ----------- = 0,0049
Ilość wszystkich obserwacji
12 (2500)
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
σ p = p(1 − p ) / n = √[0,0049 (1-0,0049) / 2500] = 0,0014
σp
UCLp = p + zσ
LCLp = p - zσ
σp
= 0,0049 + 3 (0,0014) = 0,0091
= 0,0049 – 3 (0,0014) = 0,0007
Krok 2. Obliczyć odsetek elementów wadliwych dla każdej próbki.
Dla próbki 1 odsetek elementów wadliwych wynosi 14/2500 = 0,0060.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
44
Krok 3. Nanieść poszczególne odsetki elementów wadliwych z każdej próbki na wykres,
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
.
M
.
A
1
0
20
Próbka nr 7 wykracza poza górną granicę kontrolną;
⇒
Numery rachunków mogły być nieprawidłowo wpisane do komputera przez stażystę, lub maszyna
kodująca mogła ulec awarii.
⇒
Należy ponownie obliczyć granice kontrolne (wyłączając próbkę nr.7).
© COPYRIGHTS 2002
45
[email protected]
WYKRESY TYPU C.
• Stosuje się kiedy produkty mogą posiadać więcej niż jeden defekt.
• Sprawdza ilość defektów (skaz), a nie jednostek wadliwych.
• Pomaga w zmniejszaniu ilości defektów przypadających na wyrób
⇒
.
M
.
A
1
0
20
- zmechacenie, zdekoloryzowane włókna lub naprężenia materiału w jednym dywanie.
- defekty obrazu w kineskopie telewizyjnym,
- wypadki na skrzyżowaniu,
- zażalenia w hotelu.
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
• Rozkład z próbek dla wykresów typu c jest rozkładem Poissona.
⇒
Bazuje on na założeniu, iż defekty występują na ciągłym obszarze, i że
prawdopodobieństwo wystąpienia usterki jest takie samo w całym obszarze,
proporcjonalnie do rozmiaru obszaru.
- 3 defekty płótna na cm2 → 3 x 10000 na m2
• c = średnia ilość defektów w próbce (linia centralna) = ilość wszystkich defektów / ilość próbek
• Odchylenie standardowe σ = c
• Granice kontrolne wynoszą
UWAGA:
© COPYRIGHTS 2002
UCLc = c + 3 c
LCLc = c − 3 c
Jeśli LCL wynosi z obliczeń <0, to przyjmujemy LCL = 0
[email protected]
46
PRZYKŁAD 1
Monitorowanie ilości defektów na wyrób przy pomocy wykresów typu c.
.
M
.
A
1
0
20
Papiernia w Kwidzysku produkuje papier toaletowy. Na ostatnim etapie procesu produkcyjnego, papier
przechodzi przez urządzenie mierzące różne parametry jakości. Kiedy proces jest stabilny, średnia ilość
defektów przypadających na rolkę wynosi 20. Należy:
a. Utworzyć wykres kontrolny dla ilości defektów przypadających na rolkę. Użyć granic kontrolnych ±2σ.
b. Jeżeli ostatnio testowana rolka posiada 27 defektów, to czy proces jest pod kontrolą statystyczną ?
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
c. Jeżeli ostatnio testowana rolka posiada jedynie 5 defektów, to czy proces jest pod kontrolą statystyczną ?
© COPYRIGHTS 2002
47
[email protected]
ROZWIĄZANIE
a. Średnia ilość defektów na rolkę wynosi 20. A więc:
UCLc = c + 3 c = 20 + 2(√20) = 28,94
LCLc = c − 3 c = 20 - 2(√20) = 11,06
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
.
M
.
A
1
0
20
Wykres typu c dla ilości defektów na rolkę papieru.
-
Górna granica kontrolna nie została przekroczona, proces jest wciąż pod kontrolą statystyczną.
-
Pięć defektów to mniej niż wynosi dolna granica kontrolna, proces jest więc teoretycznie „poza
kontrolą statystyczną”. To dobrze czy źle ?
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
48
♦ ZDOLNOŚĆ PROCESU
•
.
M
.
A
1
0
20
Granice kontrolne oparte są na średniej i zmienności rozkładu próbek, a nie specyfikacji projektowych,
⇒
Proces który jest pod kontrolą statystyczną może nie dostarczać produktów zgodnych ze
specyfikacjami wyrobu.
•
Zdolność procesu odnosi się do zdolności spełniania przez proces specyfikacji projektowych
określonych dla produktu.
•
Przykład:
→
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
Specyfikacje dla ratowniczych rac świetlnych określają nominalny czas świecenia racy na 100
±10 s.
Górna granica tolerancji (USL) = 110 s,
Dolną granica tolerancji (LSL) = 90 s.
→
→
Proces produkcji rac, musi być zdolny do wytwarzania wyrobów zawierających się w tych
specyfikacjach projektowych; jeżeli nie powstanie pewien odsetek rac wadliwych.
Jeżeli odchylenie standardowe czasu świecenia wynosi σ = 10s, to 32% rac nie spełni wymogów
tolerancji !!!
© COPYRIGHTS 2002
49
[email protected]
OKREŚLANIE ZDOLNOŚCI PROCESU
•
Związek pomiędzy rozkładem procesu oraz górną i dolną granicą specyfikacji.
(a)
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
(b)
•
.
M
.
A
1
0
20
Proces posiada zdolność, ponieważ krańce
rozkładu procesu zawierają się pomiędzy
dolną i górną granicą specyfikacji.
Proces nie posiada zdolności, ponieważ
dostarcza zbyt dużo rac o krótkiej trwałości.
Im mniejsza zmienność - charakteryzująca się mniejszym odchyleniem standardowym - tym rzadziej
występują braki produkcyjne.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
50
⇒
⇒
⇒
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
.
M
.
A
1
0
20
Produkcja według 2 sigma (granice tolerancji równe są średniej rozkładu procesu plus i minus dwa
odchylenia standardowe), dostarcza 4,56 % wyrobów wadliwych, = 45.600 ppm.
Produkcja według 4 sigma, dostarcza jedynie 0,0063 % wyrobów wadliwych, = 63 ppm.
Produkcja według 6 sigma, dostarcza jedynie 0,0000002 % wyrobów wadliwych, = 0,002 ppm.
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
51
♦ WSKAŹNIK ZDOLNOŚCI PROCESU Cp
.
M
.
A
1
0
20
•
Wskaźnik porównuje granice kontrolne (LCL, UCL) z granicami tolerancji (LSL, USL)
•
Proces posiada zdolność, jeżeli krańce jego dystrybucji zawierają się pomiędzy górną i dolną
granicą tolerancji.
•
Generalnie, dystrybucja większości procesów zawiera się w obszarze ±3 sigma od średniej.
•
Jeżeli proces posiada zdolność, to różnica pomiędzy górną i dolną granicą tolerancji, musi być
większa od sześciu odchyleń standardowych (wynikających ze zmienności danego procesu).
•
Wskaźnik zdolności procesu, Cp, wynosi:
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
Górna granica tolerancji - Dolna granica tolerancji
Cp = ------------------------------------------------------------------6σ
σ=
R
d2
•
Jeżeli Cp jest większe niż 1,0 to zakres tolerancji jest większy niż rzeczywisty zakres rozkładu
produkcji.
•
Jeżeli Cp jest mniejsze niż 1,0 to proces będzie wytwarzał produkty lub usługi nie zawierające się w
granicach tolerancji.
© COPYRIGHTS 2002
52
[email protected]
♦
INDEKS ZDOLNOŚCI PROCESU Cpk
•
Proces posiada zdolność tylko jeżeli
- Cp ≥ 1 (lub np. 1,33),
oraz:
- rozkład procesu jest wycentrowany na wartość nominalną specyfikacji.
•
PRZYKŁAD:
.
M
.
A
1
0
20
Proces produkcji rac może posiadać Cp ≥ 1,33, ale jeżeli średnia rozkładu procesu x , jest bliżej
górnej lub dolnej granicy tolerancji, to proces może wciąż generować wyroby wadliwe.
•
Cpk
⇒
⇒
⇒
⇒
Indeks zdolności procesu Cpk, jest miarą skłonności procesu do generowania wadliwych wyrobów
względem górnej bądź dolnej granicy tolerancji:
S
T
H
G
I
R
Y
P
CO
x - Dolna granica tolerancji
Górna granica tolerancji - x
= Mniejsza wartość
[ ---------------------------------------- , ---------------------------------------- ]
3σ
3σ
Jeżeli Cpk ≥ 1,0 (lub 1,33), oraz Cp ≥ 1, to proces posiada zdolność.
Jeżeli Cpk < 1,0 to średnia procesu jest bliżej którejś z granic tolerancji i proces generuje braki.
Zawsze Cpk ≤ Cp
Jeżeli Cpk = Cp, to proces jest wycentrowany.
© COPYRIGHTS 2002
PRZYKŁAD 1:
•
•
Określanie zdolności procesu produkcji rac
W procesie produkcji rac wytwarzane są race o średnim czasie świecenia 90-ciu sek. I σ = 4,8 sek.
Normy wymagają czasu świecenia 100 ± 20 sek.
Czy proces produkcji posiada zdolność do generowania wyrobów zgodnych z wymaganiami ?
ROZWIĄZANIE
Aby określić zdolność procesu obliczamy Cp oraz Cpk
120 − 80
= 1,39
Cp =
6 • 4,8
90 − 80
= 0,69
Obliczenia dla dolnej granicy tolerancji:
3 • 4,8
120 − 90
= 2,08
Obliczenia dla górnej granicy tolerancji:
3 • 4,8
Cpk = Mniejssza wartość (0,69 lub 2,08) = 0,69
⇒
⇒
53
[email protected]
S
T
H
G
I
R
Y
P
O
C
.
M
.
A
1
0
20
Cp wskazuje na to, że zmienność procesu jest akceptowalna względem zakresu granic tolerancji
Jednak wartość Cpk wskazuje, że proces produkcyjny nie jest wycentrowany, a więc będą notorycznie
produkowane race o zbyt krótkim czasie świecenia
© COPYRIGHTS 2002
[email protected]
54

copyrights 2001 am

Transkrypt

Podobne dokumenty

QFD

SPC

14 punktów Deminga

copyrights 2001 am copyrights 2001 am

PRZYKŁAD 1: DOKŁADNOŚC OBRĚBKI PROCESU FREZOWANIA

Bogu z Jego darów - Liturgia

Pomysł na weekend: średniowieczna muzyka w Gdańsku

I-Waga - Domowy asystent osób starszych i chorych

Poproszę Cię k ie d yś o Tw ą dłoń, W ejdziem y razem w