Transmitancja widmowa

Transmitancja widmowa Transmitancja widmowa (G(jω)) – stosunek sinusoidalnego sygnału wyjściowego zapisanego w postaci zespolonej do sinusoidalnego sygnału wyjściowego zapisanego w postaci zespolonej, przy zerowych warunkach początkowych. u(t)=Usinωt y(t)=Ysin(ωt+ ) Układ liniowy G jω
bm jω m bm‐1 jω m‐1 …b1 jω b0
an jω n an‐1 jω n‐1 …a1 jω a0
Y jω
U jω
Transmitancję widmową obiektu można wyrazić w postaci sumy części rzeczywistej Re[G(jω)] i urojonej Im[G(jω)]: G jω Re G jω jIm G jω lub w postaci wykładniczej: G jω |G jω |e
przy czym |G jω | Re G
Im G
Im G
Re G
Amplituda |G jω | określa dla danej pulsacji (częstotliwości) wartość stosunku amplitudy sinusoidy wyjściowej Y do amplitudy sinusoidy wejściowej U. Faza określa przesunięcie fazowe między sinusoidą wejściową u(t) i wyjściową y(t). Przykład: i(t) u1(t) R C u2(t)
1
1
1
1
1
Charakterystyki częstotliwościowe elementów i układów określają własności w przypadku okresowych sygnałów wejściowych. Są one wykresami transmitancji widmowej elementów lub układów przy zmianie pulsacji ω od 0 do ∞. G jω |G jω |e
P
Q
|
|
Wykres transmitancji G jω we współrzędnych P ω ,Q ω lub |G jω |, φ ω przy zmianie ω od 0 do ∞ nazywa się charakterystyką amplitudowo‐fazową → charakterystyką Nyquista Charakterystyka logarytmiczna amplitudowa Lm ω Lm ω 20log10 |G jω | Charakterystyka logarytmiczna fazowa – wykres Bodego arg
Transmitancja widmowa elementu proporcjonalnego G jω k 0 Im[G(jω) ]
|G jω | k k
Re[G(jω) ]
Rys 1. Charakterystyka amplitudowo‐fazowa elementu proporcjonalnego. Charakterystyka logarytmiczna elementu proporcjonalnego Lm ω 20log |G jω | 20log k 0 Wykresy Bodego: a) b) φ(ω)
Lm(ω) [dB] 20log(k)
ω
0°
ω
Rys 2. Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa (a) i fazowa (b) elementu proporcjonalnego. Transmitancja widmowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu G
1
1
1
1
1
1
|
|
|
1
1
1
1
|
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
|
|
|
0 |
1
1
|
|
∞ lim |
0
1
√2
|
lim
1
0 4
0 lim
lim
2
Rys 3. Charakterystyka amplitudowo‐fazowa elementu inercyjnego I‐go rzędu Charakterystyka logarytmiczna elementu inercyjnego pierwszego rzędu 20log |G
Lm
|
20
20 log
1
20log 1 Wykres Lm
można w przybliżeniu zastąpić linią łączoną, składającą się dwóch prostych. Przy małych pulsacjach (częstotliwościach): 1
20 log
1
20 log 1
1
20 log
0 czyli Lm
20 log k Przy dużych pulsacjach: 1
20 log
czyli Lm
20 log k
20log wynosi 20 log k , natomiast: Zaś rzędna punktu wspólnego 1
Lm
20 log k
20 log
20 log √2
3
Więc największą różnica pomiędzy charakterystyką przybliżoną a charakterystyką dokładną wynosi 3 dB. Dla nachylenie charakterystyki przybliżonej wynosi: Lm 10
Lm
20 log k
20 log k
20 log 10
20 log k
20 log 10
1
20 log
10
20 log k
20
ę
a) 20 log
20 log
20 log
b) 1
1
2
przybliżona
przybliżona
ω
rzeczywista
φ(ω)
Lm(ω)
20
10
ω
rzeczywista
Rys 4. Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa (a) i fazowa (b) elementu inercyjnego I‐go rzędu. Transmitancja widmowa elementu całkującego z inercją 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0 ∞ 0 1
∞ 0 0 Im[G(jω) ]
∞
0 Re[G(jω) ]
Rys 5. Charakterystyka amplitudowo‐fazowa elementu całkującego z inercją. |
|
|
|
1
1
1
1
1
Charakterystyka logarytmiczna elementu całkującego z inercją Lm ω 20log |G jω | 20
20 log
20 log √1
20log Lm ω Lm1 ω Lm2 ω Lm3 ω 1
1
log
1
log1
0 log
1
log
Charakterystyka przybliżona: 20 log
20 log
20 log
20 log
20log ω 1
1
Nachylenie charakterystyki: I.
10
II.
10
20 log
20 log
20 log
20 log 10
20 log
20 log
20 log 10
20 /
ę 20 log
20 log 10
20 log 10
20 log
40 /
ę 1
1
arg
1
2
a) ω
1
40
b) 1
2
ω
φ(ω)
Lm(ω) [dB] 20
Rys 6. Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa (a) i fazowa (b) elementu całkującego z inercją I‐go rzędu. Zadanie. Wyznaczyć charakterystyki amplitudowo‐fazową oraz charakterystykę logarytmiczną amplitudową oraz fazową elementu o podanej transmitancji operatorowej: a) idealny element całkujący b) idealny element różniczkujący c) rzeczywisty element różniczkujący Przykłady: •
Element idealnie całkujący – kondensator bezstratny i(t) C 1
u(t)
•
Rzeczywisty element różniczkujący i(t) u1(t) C u2(t) R 1
Matlab: element całkujący idealny: L = [0 1] M = [10 1] G = tf(L,M) bode(G) nyquist(G)