prawdziwe Vars

Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Załóżmy, że X 1 , X 2 , X 3 , X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10.
Obliczyć v = var( X 3 + X 4 | X 1 + X 2 + X 3 = 9) .
(A) v = 10
(B) v = 20
(C) v = 12
(D) v = 13
(E) v = 15
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi każda z rozkładu wykładniczego
o wartości oczekiwanej 2.
Niech U = X + Y i V = X − Y .
Wtedy prawdziwe jest następujące zdanie.
(A)
P(U ∈ (0,2) ∧ V < 0 ) = 1 − 2e −1
(B)
P(U ∈ (0,2) ∧ V > 0) =
(C)
P(U ∈ (0,2) ∧ V ∈ (0,2) ) = 1 − e −1
(D)
P(U ∈ (0,2) ∧ V > 0 ) =
(E)
P(V ∈ (0,2) ) = 1 − e −1
1
− e −1
2
1 −1 1 −2
−e − e
2
2
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Rozważamy łańcuch Markowa X 1 , X 2 ,... na przestrzeni stanów {1,2,3} o macierzy
przejścia
⎤
⎡1 1
⎢2 2 0⎥
⎢1
3⎥
0
P=⎢
⎥,
4⎥
⎢4
⎢0 1 0⎥
⎥⎦
⎢⎣
(gdzie Pij = Pr ( X n +1 = j | X n = i ) dla i, j = 1,2,3 ). Załóżmy, że rozkład początkowy
łańcucha jest wektorem
⎡ 2 4 1⎤
π = ⎢ , , ⎥,
⎣ 9 9 3⎦
(gdzie π i = Pr ( X 1 = i ) dla i = 1,2,3 ).
Oblicz p = Pr ( X 1 = 1 | X 2 ≠ 1 ∧ X 3 ≠ 1) .
(A) p =
1
7
(B)
p=
1
8
(C)
p=
1
4
(D) p =
1
9
(E) p =
1
12
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
W urnie znajduje się 16 kul, z których 8 jest białych i 8 czarnych. Losujemy bez
zwracania 6 kul, a następnie z pozostałych 5 kul. Niech S 2 oznacza liczbę kul białych
uzyskaną w drugim losowaniu. Oblicz VarS 2
(A)
1
(B)
11
12
(C)
6
12
(D)
7
12
(E)
8
12
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Zmienna losowa X ma rozkład Weibulla o gęstości
⎧2θx exp(−θx 2 ) gdy x > 0
,
pθ ( x) = ⎨
gdy x ≤ 0
0
⎩
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Statystyk nie obserwuje zmiennej X,
uzyskuje tylko informację, gdy zmienna X przekroczy wartość 1, a mianowicie
obserwuje zmienną Y równą X − 1 , gdy zmienna X jest większa niż 1. W wyniku
takiej obserwacji uzyskuje prostą próbę losową Y1 , Y2 ,K, Y10 . Na podstawie tych
danych weryfikuje hipotezę H 0 : θ ≤ 3 przy alternatywie H1 : θ > 3. Test jednostajnie
najmocniejszy na poziomie istotności 0,05 odrzuca hipotezę H 0 , gdy spełniona jest
nierówność
(A)
∑ (Y + 1)
i =1
(B)
2
∑ (Y + 1)
2
10
∑ (Y + 1)
i
∑ (Y + 1)
i
< 11,8085
2
10
∑ (Y + 1)
i =1
< 1,8085
2
10
i =1
(E)
> 15,2351
i
i =1
(D)
> 5,2351
i
10
i =1
(C)
2
10
i
< 10,6567
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech X 1 , X 2 ,K , X n ,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym
rozkładzie o gęstości
⎧ 1
gdy x ∈ (0,1)
⎪
f ( x) = ⎨ 2 x
,
⎪⎩ 0
gdy x ∉ (0,1)
1
Niech U n = ( X 1 ⋅ X 2 ⋅ K ⋅ X n )n . Wtedy
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(
)
lim P U n ≤ e −2 = 1
n → +∞
(
)
lim P (U n − e −2 ) n < 4e −2 = 0,977
n→+∞
(
)
lim P (U n − e 2 ) n < 4e 2 = 0,977
n → +∞
(
)
lim P (U n − e −2 ) n > 8e −4 = 0,023
n → +∞
(
)
lim P U n ≥ e −2 = 1
n → +∞
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Niech X 1 , X 2 ,K, X n ,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie wykładniczym o gęstości
⎧2e −2 x gdy x > 0
f ( x) = ⎨
gdy x ≤ 0.
⎩ 0
Niech N będzie zmienną losową, niezależną od X 1 , X 2 ,...., X n ,... , o rozkładzie
Γ( r + n) r
p (1 − p) n dla n = 0,1,2,...... , gdzie r>0
ujemnym dwumianowym P( N = n) =
Γ(r )n!
i p ∈ (0;1) są ustalonymi parametrami. Niech
⎧min( X 1 , X 2 ,K , X N ) gdy N > 0
ZN = ⎨
0
gdy N = 0.
⎩
Oblicz E ( NZ N ) i Var ( NZ N ) .
(A)
E ( NZ N ) =
1
1
i Var ( NZ N ) =
2
4
(B)
E ( NZ N ) =
1 − pr
1 − pr
i Var ( NZ N ) =
4
2
(C)
E ( NZ N ) =
1 − pr
1 − p 2r
i Var ( NZ N ) =
2
4
(D)
E ( NZ N ) =
r (1 − p)
r (1 − p)
i Var ( NZ N ) =
2p
4 p2
(E)
E ( NZ N ) =
1 − pr
1 − p 2r
i Var ( NZ N ) =
.
2
2
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Każda ze zmiennych losowych X 1 , X 2 ,K, X 20 ma rozkład normalny z nieznaną
wartością oczekiwaną m1 i wariancją 1, a każda ze zmiennych losowych Y1 , Y2 ,K, Y20
rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m2 i wariancją 9. Założono, że
wszystkie zmienne losowe są niezależne i wyznaczono, przy tych założeniach, test
oparty na ilorazie wiarogodności dla testowania hipotezy H 0 : m1 = m2 przy
alternatywie H1 : m1 > m2 na poziomie istotności 0,1.
W rzeczywistości założenie to nie jest spełnione:
• co prawda pary zmiennych ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ),K, ( X n , Yn ) są niezależne, ale
1
• X i , Yi są zależne i współczynnik korelacji Corr ( X i , Yi ) = dla i = 1,2,K,20 .
2
Najmniejsza wartość różnicy m1 − m2 przy której faktyczna moc testu wynosi co
najmniej 0,9 jest równa
(A)
1,66
(B)
1,76
(C)
2,04
(D)
2,14
(E)
2,57
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Zmienne losowe X 1 , X 2 ,K, X n , n>2, są niezależne i EX i = m oraz VarX i =
m2
,
i
~ będzie
i = 1,2,K, n , gdzie m jest nieznanym parametrem rzeczywistym. Niech m
estymatorem parametru m minimalizującym błąd średniokwadratowy w klasie estymatorów
postaci
n
mˆ = ∑ ai X i ,
i =1
gdzie ai , i = 1,2,K, n , są liczbami rzeczywistymi. Wtedy współczynniki ai są równe
A)
ai =
1
, i = 1,2,K, n
n
(B)
ai =
1
, i = 1,2,K, n
n +1
(C)
ai =
2i
, i = 1,2,K, n
n(n + 1)
(D)
ai =
2i
, i = 1,2,K, n
n +n+2
(E)
ai =
2i
, i = 1,2,K, n
n +n−2
2
2
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Niech X 1 , X 2 ,K, X n , n>5, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
jednostajnym na przedziale (0,θ ) , gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem.
Wyznaczamy przedział ufności dla parametru θ postaci
[2 X 3:n ,2 X n − 2:n ] ,
gdzie X k :n oznacza k-tą statystykę pozycyjną z próby X 1 , X 2 ,K, X n . Dla jakiej
najmniejszej liczebności próby losowej n zachodzi
Pθ (θ ∈ [2 X 3:n ,2 X n − 2:n ]) ≥ 0,9
(A)
8
(B)
9
(C)
10
(D)
11
(E)
12
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.12.2008 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi *
Imię i nazwisko : .............................................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
Odpowiedź
C
B
B
B
D
B
C
A
D
D
Punktacja ♦
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11