Zadanie 1. Wykonujemy rzuty symetryczną kością do gry do chwili
Transkrypt
Zadanie 1. Wykonujemy rzuty symetryczną kością do gry do chwili
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 1. Wykonujemy rzuty symetryczną kością do gry do chwili uzyskania drugiej „szóstki”. Niech Y oznacza zmienną losową równą liczbie rzutów, w których uzyskaliśmy inne wyniki niż „szóstka”, a X zmienną losową równą liczbie rzutów, w których uzyskaliśmy „jedynkę”. Oblicz E (Y − X | X = 4) . (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20 1 Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 2. Niech X 1 , X 2 , X 3 , X 4 będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym X 1 ma rozkład Pareto(1,1) a X 2 , X 3 , X 4 mają jednakowy rozkład Pareto (1,2). Oblicz P (min ( X 2 , X 3 , X 4 ) < X 1 < max( X 2 , X 3 , X 4 )) . Rozkład Pareto (λ ,θ ) jest rozkładem o gęstości λθ θ f ( x) = (λ + x)θ +1 0 (A) 2 5 (B) 1 3 (C) 1 2 (D) 2 3 (E) 3 5 2 gdy x > 0 gdy x ≤ 0. Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 3. Niech ( X , Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości 4 f ( x, y ) = π 0 Niech Z = gdy x > 0 i y > 0 i x 2 + y 2 < 1 w przeciwnym przypadku. Y i V = X 2 + Y 2 . Wtedy łączny rozkład zmiennych Z, V jest taki, że X (A) EZ = 1 (B) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej Z wyraża się wzorem 2 dla z ∈ (0,+∞) g ( z) = π (1 + z 2 ) (C) mediana rozkładu brzegowego zmiennej Z jest równa (D) zmienne Z i V są zależne (E) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej V wyraża się wzorem g V (v) = 4v 3 dla v ∈ (0,1) 3 3 Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 4. Niech X 1 , X 2 ,K , X m będą zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N ( µ1 , σ 2 ) każda i Y1 , Y2 ,K , Yn zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N ( µ 2 , σ 2 ) każda. Wszystkie zmienne są niezależne. Hipotezę H 0 : µ1 = µ 2 przy alternatywie H 1 : µ1 > µ 2 weryfikujemy w następujący sposób. Zliczamy liczbę S elementów w próbce X 1 , X 2 ,K , X m większych od wszystkich elementów próbki Y1 , Y2 ,K , Yn . Hipotezę H 0 odrzucamy, gdy S ≥ s , gdzie s jest wartością krytyczną. Przypuśćmy, że m=7 i n=8. Podaj rozmiar testu, gdy s=2. (A) 0,15 (B) 0,10 (C) 0,20 (D) 0,05 (E) 0,25 4 Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 5. Niech X 1 , X 2 , K , X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości 2 x gdy x ∈ (0;1) fθ ( x) = 0 gdy x ∉ (0;1). n 1 Niech Tn = ∏ X in . i =1 Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe? (A) lim P{(Tn − e −0,5 ) n > 2e −0,5 } = 0,023 (B) lim P{| Tn − e 0,5 | n > 2e 0,5 } = 0,023 n→∞ n→∞ (C) lim P{Tn < e −0,5 } = 1 (D) lim P{| Tn − e −0,5 | n > e −0,5 } = 0,046 (E) lim P{Tn > e 0,5 } = 1 n→∞ n→∞ n→∞ 5 Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 6. Ustawiamy w ciąg 6 elementów typu a i 9 elementów typu b. Wszystkie ciągi są jednakowo prawdopodobne. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie elementów typu a i 2 serie elementów typu b). Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu będzie 6 serii. (A) 8 143 (B) 96 143 (C) 16 143 (D) 48 143 (E) 24 143 6 Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 7. Niech X 1 , X 2 ,K , X m + n będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym zmienne losowe X i i = 1,2,K m mają rozkład Weibulla o gęstości θ −θ x e gdy x > 0 fθ ( x) = 2 x 0 gdy x ≤ 0 a X i , i = m + 1, m + 2,K , m + n są zmiennymi losowymi o rozkładzie Weibulla o gęstości θ − 2θ x e gdy x > 0 , gθ ( x) = x 0 gdy x ≤ 0 gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Jeśli m = n = 5 , to błąd średniokwadratowy estymatora największej wiarogodności wyznaczonego na podstawie próby X 1 , X 2 ,K , X m + n jest równy (A) 2 2 θ 3 (B) 1 2 θ 3 (C) θ2 (D) 1 2 θ 9 (E) 1 2 θ 6 7 Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 8. Niech X 1 , X 2 ,K , X n będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto (1, a1 ) a Y1 , Y2 ,K , Ym będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto (1, a 2 ) , gdzie a1 , a 2 > 0 są nieznanymi parametrami. Wszystkie zmienne są niezależne. Na poziomie ufności a 1 − α budujemy przedział ufności [dT , cT ] dla ilorazu parametrów 1 na podstawie a2 estymatora największej wiarogodności T tego ilorazu w ten sposób, że a a α Pa1 ,a2 (cT < 1 ) = Pa1 ,a2 (dT > 1 ) = . 2 a2 a2 Jeśli α = 0,1 i m=4 i n=5, to przedział ufności ma długość (A) 3,02T (B) 2,77T (C) 6,06T (D) 5,03T (E) 4,42T Uwaga: Rozkład Pareto (λ ,θ ) jest rozkładem o gęstości λθ θ f ( x) = (λ + x)θ +1 0 gdy x > 0 gdy x ≤ 0 8 Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 9. Zmienne losowe X 1 , X 2 , K, X n mają jednakową wartość oczekiwaną µ , jednakową wariancję σ 2 i współczynnik korelacji Corr ( X i , X j ) = ρ dla i ≠ j . Zmienne losowe Z 1 , Z 2 ,K , Z n są nawzajem niezależne oraz niezależne od zmiennych losowych 1 X 1 , X 2 , K, X n i mają rozkłady postaci P ( Z i = 0) = P( Z i = 1) = . Oblicz wariancję 2 n zmiennej losowej ∑Z X i =1 (A) n (B) n (C) n (D) n (E) n σ2 2 µ2 4 + i i . n(n − 1) ( ρσ 2 − µ 2 ) 4 +n σ2 n −1 ρ 1 + 4 2 µ 2 + 2σ 2 4 µ2 4 σ2 2 +n + σ2 n −1 ρ 1 + 2 2 n(n − 1) ( ρσ 2 + µ 2 ) 4 9 Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 10. Niech N , X 1 , X 2 ,K , Y1 , Y2, ,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Zmienne X i , i = 1,2,K mają rozkłady wykładnicze o wartości oczekiwanej 1, zmienne losowe Yi , i = 1,2,K mają rozkłady wykładnicze o wartości oczekiwanej 2. Warunkowy rozkład zmiennej losowej N przy danym Λ = λ jest rozkładem Poissona o wartości oczekiwanej λ . Rozkład brzegowy zmiennej Λ jest rozkładem gamma o gęstości 16λe −4λ gdy λ > 0 . f (λ ) = ≤ 0 gdy λ 0 Niech N Xi S = ∑ i =1 0 gdy N > 0 i gdy N = 0 Oblicz współczynnik korelacji Corr ( S , T ) . (A) 0 (B) 2 15 (C) 1 2 (D) 4 9 (E) 5 9 10 N Yi T = ∑ i =1 0 gdy N > 0 gdy N = 0 Prawdopodobieństwo i statystyka 17.01.2005 r. ___________________________________________________________________________ Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Prawdopodobieństwo i statystyka Arkusz odpowiedzi* Imię i nazwisko : ........................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ........................... Pesel ........................................... Zadanie nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * ♦ Odpowiedź A A B C D C E A D E Punktacja♦ Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna. 11