1001 BA
Transkrypt
1001 BA
Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Zadanie 1 X 1 , X 2 ,, X 6 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 1 rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 0 i wariancją , gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Zakładamy, że parametr ma rozkład a priori o gęstości 1 3 2 exp gdy 0 , p( ) 2 0 gdy 0 1 gdzie 0 jest znane. Wyznaczamy bayesowski przedział ufności dla parametru postaci a, b , taki że 1 1 a | x b | x 0,05 , gdzie | x oznacza prawdopodobieństwo przy rozkładzie a posteriori, gdy zaobserwowana wartość próbki losowej jest równa x x1, x2 ,, x6 . Tak otrzymany przedział jest równy Niech 6 6 2 2 x 2 xi2 i i 1 i 1 , (A) 12 , 59 1 , 64 6 6 2 2 x 2 xi2 i i 1 i 1 , (B) 0,35 7,81 6 6 2 2 x 2 xi2 i i 1 i 1 , (C) 16 , 92 3 , 33 6 6 2 2 x 2 xi2 i i 1 i 1 , (D) 5,23 21,03 (E) 6 6 2 2 x 2 xi2 i i 1 i 1 , 28 , 87 9 , 39 1 Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Zadanie 2 Niech X 1 , X 2 ,, X n , będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie Weibulla o funkcji gęstości 2 2xe x gdy x 0 f ( x ) w przeciwnymprzypadku 0 gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Rozważamy dwa estymatory funkcji g ( ) P X 1 1 e : T1,n - estymator największej wiarogodności w oparciu o próbę X 1 , X 2 ,, X n gdy x 1 1 1 n . 1 X i 1 , gdzie funkcja 1x 1 n i 1 0 w przeciwnymprzypadku Niech Vi oznacza wariancję asymptotyczną estymatora Ti ,n , i 1,2 . T2,n Wtedy stosunek (A) (B) (C) (D) (E) V1 jest równy V2 1 (e 1) 2 2 e e 1 2 e 1 e 1 1 e 2 2 Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Zadanie 3 Niech N , Y1 , Y2 , będą niezależnymi zmiennymi losowymi przy danym . Zmienne Yi , i 1,2, , mają warunkowe rozkłady dwupunktowe P(Yi 1 | ) 1 P(Yi 0 | ) . Warunkowy rozkład zmiennej losowej N przy danym jest rozkładem ujemnym dwumianowym o funkcji prawdopodobieństwa P( N n | ) (n 1) 2 (1 )n dla n 0,1,2, . Rozkład brzegowy zmiennej jest rozkładem beta o gęstości 12 2 (1 ) gdy (0,1) f ( ) . 0 w przeciwnymprzypadku Niech X i , i 1,2, , będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 1, niezależnymi od zmiennych N , Y1 , Y2 , . Niech N Xi S i 1 0 gdy N 0 i gdy N 0 Oblicz współczynnik kowariancji Cov(S , T ) . (A) 2,8 (B) 3,6 (C) 1,6 (D) 0,8 (E) 4,4 3 N Yi X i T i 1 0 gdy N 0 gdy N 0 Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Zadanie 4 Zmienna losowa ( X , Y ) ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości e x gdy 0 y x f ( x, y ) . 0 w przeciwnymprzypadku Niech U Y X i V 2Y X . Wtedy EV | U 2 jest równa (A) 5 (B) 1 (C) 3 (D) 4 (E) 2 4 Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Zadanie 5 Niech Z1 , Z 2 , , Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości 2 f ( x) (1 x)3 0 Wtedy gdy x 0 . gdy x 0 E (Z1 Z 2 Z n | min( Z1, Z 2 ,, Z n ) t ) , gdzie t jest ustaloną liczbą dodatnią, jest równa (A) n 2t 1 2 (B) (2n 1)t n 1 (C) nt n 1 (D) (2n 1)t n2 1 (E) (n 1)t n 1 2 5 Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Zadanie 6 Niech X 1 , X 2 ,, X 9 będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego N (m1 , 2 ) , a Y1 , Y2 ,, Y9 niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego N (m2 , 2 ) . Wszystkie zmienne są niezależne, a parametry m1 , m2 , są nieznane. Testujemy hipotezę H : m1 m2 przy alternatywie K : m1 m2 . Hipotezę H odrzucamy, gdy spełniona jest nierówność | X Y | c, S 1 9 1 9 1 9 2 gdzie X X i , Y Yi i S 2 X i Yi . 9 i 1 9 i 1 9 i 1 Wyznacz c tak, aby rozmiar testu był równy 0,05. A) 0,754 (B) 0,399 (C) 0,787 (D) 0,632 (E) 0,547 6 Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Zadanie 7 Rzucono niezależnie 16 razy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że uzyskano mniej niż 6 serii, jeśli wiadomo, że uzyskano 10 orłów i 6 reszek. (A) 48 1001 (B) 47 1001 (C) 44 1001 (D) 46 1001 (E) 45 1001 Uwaga. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie elementów typu a i 2 serie elementów typu b). 7 Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Zadanie 8 Niech X 1 , X 2 ,, X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na przedziale (a, b) , gdzie a, b są nieznane i a b . Rozważamy rozstęp równy T max{ X1 , X 2 ,, X n } min{ X1 , X 2 ,, X n } jako estymator długości przedziału b a . Błąd średniokwadratowy tego estymatora, 2 czyli Ea ,b T b a , jest równy (A) 2n(b a) 2 (n 1) 2 (n 2) (B) 4(b a) 2 (n 1)(n 2) (C) 2(3n 4)(b a) 2 (n 1) 2 (n 2) (D) 2(2n 1)(b a) 2 (n 1) 2 (n 2) (E) 6(b a) 2 (n 1)(n 2) 8 Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Zadanie 9 Niech Y1 , Y2 ,, Yn będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym zmienna Yi , i 1,2,, n , ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (bxi ,1) , gdzie x1 , x2 ,, xn są znanymi liczbami, a b jest nieznanym parametrem. Załóżmy, że n xi2 9 , i 1 n x i 1 i 1. Testem jednostajnie najmocniejszym na poziomie istotności 0,01 weryfikujemy hipotezę H 0 : b 1 przy alternatywie H1 : b 1. Wtedy prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju przy alternatywie b 2 jest równe (A) 0,16 (B) 0,35 (C) 0,25 (D) 0,01 (E) 0,09 9 Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Zadanie 10 Niech X1, X 2 ,..., X n będzie próbką z rozkładu wykładniczego o gęstości określonej dla x 0 wzorem: f ( x) exp( x). Nie obserwujemy dokładnych wartości zmiennych X i , tylko wartości zaokrąglone w górę do najbliższej liczby całkowitej. Innymi słowy, dane są wartości zmiennych losowych Z1, Z 2 ,..., Z n , gdzie Zi X i . (symbol a oznacza najmniejszą liczbą całkowitą k taką, że a k ). n Niech S Z i . i 1 Oblicz estymator największej wiarogodności ̂ nieznanego parametru oparty na obserwacjach Z1 , Z 2 ,..., Z n . S (A) ˆ ln 1 n (B) ̂ n S n (C) ̂ S (D) ̂ S n n (E) ̂ ln 1 S 10 Prawdopodobieństwo i statystyka 30.09.2013r. Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Prawdopodobieństwo i Statystyka Arkusz odpowiedzi* Imię i nazwisko : ........................K L U C Z O D P O W I E D Z I.............................. Pesel ........................................... Zadanie nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * Odpowiedź D C B A B D B E C E Punktacja Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna. 11