Model Blacka-Scholesa - wyprowadzenie

Model Blacka-Scholesa - wyprowadzenie
Zadane jest następujące paraboliczne równanie różniczkowe
(1)
z następującym warunkiem początkowym
(2)
Problem polega na przekształceniu zadanego równania (1) w taki sposób aby doprowadzić je do
następującej postaci:
(3)
Równanie (3) jest szczególnym równaniem parabolicznym zwanym równaniem przewodnictwa
cieplnego.
W tym celu dokonuje się następującej zamiany zmiennych X i t na zmienne u i τ:
(4)
(5)
oraz podstawienia za funkcję
funkcji
w postaci:
(6)
W pierwszej kolejności należy obliczyć pochodną cząstkową
z uwzględnieniem podstawienia (6).
, występujące w równaniu (1)
(7)
gdzie
(8)
(9)
Po podstawieniu równań (8)oraz (9) do równania (7) oraz wyłączeniu wspólnego czynnika przed
nawias, równanie to przyjmuje postać:
(10)
Pochodna cząstkowa
z uwzględnieniem podstawienia (6) przyjmuje postać
(11)
gdzie
(12)
(13)
Po podstawieniu równań (12)(8) oraz (13) do równania (11), równanie to przyjmuje postać:
(14)
Pochodna cząstkowa
z uwzględnieniem podstawienia (6) przyjmuje postać
(15)
Podstawiając pochodne cząstkowe (10), (14) oraz (15) do równania (1) uwzględniając
podstawienie (6) otrzymuje się
(16)
W równaniu (16) wszystkie składniki z pochodną
redukują się co daje
(17)
A po uproszczeniu otrzymujemy tak zwane równanie przewodnictwa cieplnego
(18)
Po przekształceniu równania (1) do postaci (18) należy transformować warunek początkowy (2)
do nowego układu zmiennych. Zatem
(19)
Dla t=T zgodnie ze wzorem (4) zmienna u przyjmuje wartość
(20)
Wyznaczając z równania (20) X otrzymujemy
(21)
Podstawiając równanie (21) do warunku początkowego (19) otrzymujemy jego ostateczną postać.
(22)
Dla ogólnego przypadku warunku początkowego (22)
rozwiązanie równania (18)
jest dane w postaci całkowej
(23)
Gdzie ω jest zmienną całkowania, a u i τ są ustalonymi parametrami funkcji podcałkowej.
Podstawiając warunek początkowy (22) do całki (23) otrzymuje się
(24)
Dokonując w całce (24) następującej zamiany zmiennych
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
otrzymuje się
(30)
Podstawiając równanie (30) do równania (6) oraz powracając do pierwotnych zmiennych X i t
poprzez dokonanie podstawienia (4) oraz (5), otrzymuje się
(31)
Wyłączając z równania (31) zmienne niezależne od zmiennej całkowania oraz wykorzystując to,
że całka różnicy jest równa różnicy całek otrzymuje się
(32)
Druga z całek w równaniu (32) stanowi funkcję dolnej granicy całkowania, którą ogólnie można
zapisać w następujący sposób:
(33)
(34)
Aby przekształcić pierwszą całkę w równaniu (32) do postaci analogicznej do (33) należy
dokonać następującej zamiany zmiennej całkowania
(35)
Co zmienia dolną granicę całkowania do postaci
(36)
Wyrażenie przed całką upraszcza się do postaci
(37)
Po włączeniu pod całkę wyrażenia
oraz dokonaniu zamiany zmiennych (35) pierwsza
całka równania (32) przyjmuje postać
(38)
Całe równanie (32) można zatem zapisać w sposób następujący
(39)
lub w sposób uproszczony przy wykorzystaniu równania (33)
(40)
Równanie (40) przedstawia najbardziej znaną z literatury postać wzoru Blacka-Scholesa dla opcji
kupna akcji niewypłacającej dywidendy.