konspekt ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny
 WZÓR OGÓLNY CIĄGU ARYTMETYCZNEGO
Ciąg arytmetyczny to najprostszy rodzaj ciągu matematycznego.
Kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego powstają poprzez dodawanie konkretnej liczby, którą
nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego i oznaczamy: r
Do opisu ciągu arytmetycznego, oprócz różnicy, potrzebujemy wartości pierwszego
wyrazu ciągu: a1
Przykład 1.
Dla danego ciągu różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami, czyli liczba jaką dodajemy
by uzyskać następny wyraz, wynosi 3, a wartość pierwszego wyrazu wynosi 2.
Znając różnicę i wartość pierwszego wyrazu, możemy zapisać wzór ciągu.
Dla rozpatrywanego przykładu, wzór ogólny będzie miał postać:
Przykładowo, dla rozpatrywanego ciągu, obliczymy jego czterdziesty wyraz.
1
Ciąg arytmetyczny
 MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU ARYTMETYCZNEGO
Ciąg arytmetyczny jest zawsze monotoniczny. W celu oceny jego monotoniczności nie są konieczne
żadne obliczenia. Jedyną potrzebną informacją jest różnica ciągu (r):
- ciąg jest rosnący, gdy różnica jest dodatnia (r > 0),
- ciąg jest malejący, gdy różnica jest ujemna (r < 0),
- ciąg jest stały, gdy różnica wynosi zero (r = 0).
 SPRAWDZANIE CZY CIĄG JEST ARYTMETYCZNY
sposób 1: mając dane kilka początkowych wyrazów ciągu : różnica dwóch
kolejnych wyrazów zawsze musi wynosić tyle samo, tzn. drugi wyraz minus pierwszy
musi się równać trzeciemu wyrazowi minus drugi, musi się równać czwartemu
wyrazowi minus trzeci itd.
Przykład .
Czy podany ciąg, jest ciągiem arytmetycznym?
Odpowiedź: Ciąg jest arytmetyczny.
.
sposób 2: mając dany wzór ciągu, musimy wykonać odejmowanie: an+1 – an , tak jak
podczas sprawdzania monotoniczności ciągu. Dany ciąg jest arytmetyczny, jeżeli
otrzymamy wartość liczbową
Przykład .
Czy ciąg, an = 6n2 jest ciągiem arytmetycznym?
Nie otrzymaliśmy wartości liczbowej, tylko wyrażenie ze zmienną „n”, co oznacza, że
dany ciąg nie jest arytmetyczny.
2
Ciąg arytmetyczny
Przykład 1.
Czy podany ciąg, jest ciągiem arytmetycznym?
Odpowiedź: Ciąg nie jest arytmetyczny.
Gdy mamy podane więcej niż trzy wyrazy ciągu, równanie będzie kilkuczłonowe (musimy
sprawdzić zgodność dla wszystkich wyrazów).
Przykład 2.
Czy podany ciąg, jest ciągiem arytmetycznym
Odpowiedź: Ciąg nie jest arytmetyczny.
3
Ciąg arytmetyczny
 SPRAWDZANIE DLA JAKIEJ WARTOŚCI „X” PODANE
WYRAŻENIA SĄ KOLEJNYMI WYRAZAMI CIĄGU
ARYTMETYCZNEGO
Wykorzystujemy dokładnie tę samą zasadę, co przy sprawdzaniu, czy dany ciąg jest
arytmetyczny. Rozwiązujemy równanie: drugi wyraz - pierwszy = trzeci - drugi
(pamiętajmy aby odejmowane wyrażenie zapisać w nawiasie).
a2 – a1 = a 3 – a2
Przykład:
Dla jakiej wartości „x” podane wyrażenia są kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego? 2x, 3x + 8, 28
Odpowiedź: Dane wyrażenia stanowią kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego dla x = 3.
 PRZYKŁADY ZADAŃ
Wszelkie zadania związane z ciągiem arytmetycznym sprowadzają się do obliczenia
wartości pierwszego wyrażenia oraz różnicy.
Różnice pomiędzy nimi wynikają z danych, jakie mamy na wejściu.
Przy rozwiązywaniu zadań z ciągu arytmetycznego warto wykorzystywać poniższy
a1
+r
a2 + r
a3 + r
a4 + r a5
itd.
schemat:
Wnioski logiczne z powyższego schematu:
1. a2 = a1 +r
4
Ciąg arytmetyczny
2. a3 =
a1+2r
3. a5 = a2 +3r
itd.
Przykład 1 .
Oblicz siódmy i dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli pierwszy wyraz ma wartość 4, a trzeci ma wartość 6.
a3 = a1 + 2r
(patrz schemat)
Znając a1 oraz r możemy obliczyć a7 oraz a12
a7 = a1 + 6r
a12 = a1 + 11r
a7 = - 4 + 6∙5
a12 = - 4 + 11∙5
a7 = - 4 + 30
a12 = - 4 +55
a7 = 26
a12 = 51
Przykład 2 .
Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
5
Ciąg arytmetyczny
Przykład 3.
Podaj wzór ogólny ciągu, którego różnica wynosi -5, a szósty wyraz ma wartość -15.
Wzór ogólny ciągu
szukamy a1
a6 = a1 + 5r
-15 = a1 + 5∙(-5)
-15 = a1 – 25
an = -10 – 5n + 5
an = -10 - 5(n-1)
a1 = 10
an = - 5n - 5
Wzór ogólny ciągu: an = - 5n - 5
Przykład 4.
Oblicz wartość dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego, którego czwarty wyraz wynosi -8,
a piąty ma wartość -12.
Szukamy r i a1
W pierwszej kolejności obliczamy różnicę ciągu, odejmując od siebie podane wyrazy.
Następnie obliczamy wartość pierwszego wyrazu, podstawiając jeden z podanych wyrazów i
obliczoną różnicę ciągu.
a4 = a1 + 3r
a10 = a1 + 9r
- 8 = a1 + 3∙(-4)
a10 = 4 +9∙(-4)
- 8 = a1 – 12
a1 = 4
a10 = 4 – 36
a10 = - 32
Przykład 5.
Podaj wzór ogólny ciągu, jeżeli jego trzeci wyraz ma wartość 7, a ósmy ma wartość 17.
6
Ciąg arytmetyczny
Mając podane dwa wyrazy należy ustalić ile „r” je dzieli (patrz schemat).
Szukamy a1:
a3 = a1 + 2r
7 = a1 + 2∙2
7 = a1 + 4
a1 = 3
Wzór ogólny ciągu: an = 2n + 1
 ŚREDNIA ARYTMETYCZNA (trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego)
Ze średniej arytmetycznej korzystamy wyłącznie w zadaniach, w których mamy
obliczyć określony wyraz, mając dane wyraz poprzedni i wyraz następny.
Przykład 1.
Oblicz wartość dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego, jeżeli jego dziewiąty wyraz
wynosi 15, a jedenasty 29.
7
Ciąg arytmetyczny
Oblicz wartość dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego, jeżeli jego dziewiąty wyraz wynosi
15, a jedenasty 29.
Zadanie można rozwiązać bez korzystania ze średniej; wiadomo że dla trzech kolejnych
wyrazów ciągu arytmetycznego a9, a10, a11 mamy:
a10 – a9 = a11 – a10
a10 – 15 = 29 – a10
2a10 = 44
a10 = 22
 SUMA WYRAZÓW CIĄGU ARYTMETYCZNEGO
Sumę wyrazów ciągu liczymy dla określonej liczby wyrazów, od pierwszego do danego.
Przykładowo: suma dwudziestu pierwszych wyrazów ciągu, to suma wyrazów od pierwszego
do dwudziestego.
Mamy do dyspozycji dwa wzory, spośród których wybieramy ten, który w danym zadaniu jest
dla nas wygodny.
Przykład:
Oblicz sumę czternastu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz
ma wartość 55, a czternasty ma wartości -36.
8
Ciąg arytmetyczny
Gdy mamy do czynienia z zadaniami, w których nie mamy podanej jakiejś wielkości
koniecznej do obliczenia sumy, musimy najpierw obliczyć brakujące wartości, a następnie
obliczyć sumę.
Przykład 1.
Oblicz sumę dziesięciu pierwszych wyrażeń ciągu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz
ma wartość 11, a drugi ma wartość 14.
W pierwszej kolejności musimy obliczyć wartość pierwszego wyrazu (w tym zadaniu mamy
podaną) i różnicę ciągu.
r = a2 – a1 = 14 – 11 = 3
r=3
Teraz obliczamy ostatni wyraz a10 : a10 = a1 + 9r
a10 = 11 + 9∙3
a10 = 38
Specyficznym typem zadania wymagającego obliczenia sumy liczb, jest takie zadanie, w
którym nie znamy numeru ostatniego wyrazu ciągu (nie znamy „n”). Musimy w pierwszej
kolejności obliczyć różnicę ciągu (r). Następnie podstawiamy wartość pierwszego wyrazu,
ostatniego i różnicę do wzoru ogólnego i obliczamy numer ostatniego wyrazu (n).
Przykład 2.
Oblicz sumę wyrazów, które tworzą ciąg arytmetyczny:
9
Ciąg arytmetyczny
10