Gospodarka Przestrzenna. Lista nr.3. Geometria analityczna w

Gospodarka Przestrzenna. Lista nr.3. Geometria analityczna w przestrzeni.
Uwaga: małymi literami a, b, c, u, v... oznaczamy wektory w przestrzeni.
Zad.1.Oblicz kąty w trójkącie ABC. A(2,-1,3), B(1,1,1), C(0,0,5). Oblicz także pole tego
trójkąta oraz długości boków.
Zad.2. Sprawdź, czy końce wektorów a, b, c, zaczepionych w P(1,3,-1) leżą na jednej prostej.
a=[2,4,1], b=[3,7,5], c=[4,10,9].
Zad.3. Oblicz objętość czworościanu ABCD. A(1,1,1), B(2,3,4), C(2.1.0), D(3,2,6). Oblicz
także pole podstawy ABC i długość wysokości opuszczonej na płaszczyznę ABC.
Zad.4. Podziel odcinek AB na 5 części. A(1,2,3), B(6,2,-7).
Zad.5. Sprawdź, czy wektory a=[1,2,3], b=[1,1,1], c[2,1,0] są współpłaszczyznowe.
Zad.6. Niech P(2,3,4). Znajdź odbicie symetryczne tego punktu względem osi układu
współrzędnych, a także względem płaszczyzn układu współrzędnych. A na koniec względem
środka układu.
Zad.7. Niech a=[2,1,k], b=[k,2,8]. Dla jakiego k wektory te są prostopadłe ? A kiedy są
równoległe ?
Zad.8. Wykonaj działania: ixj, ixk, jxk oraz (i,j,k)
Zad.9.Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez A(0,1,-5), B(3,5,1), C(0,2,4). Oblicz
jej odległość od środka układu współrzędnych.
Zad.10. Treść jak wyżej, ale A(2,3,4), B(4,5,6), C(-1,0,1).
Zad.11. Napisz równanie pł. przechodzącej przez A(2,1,3), B(0,1,0) i równoległej do wektora
v=[3,1,5].
Zad.12. Określ wzajemne położenie płaszczyzn 7x+4y-7z=0, 2x-y+z+2=0.
Zad.13. Pod jakimi kątami pł.-4x-2y+z=-4 przecina osie układu współrzędnych.
Zad.14. Napisz równanie prostej przechodzącej przez A(2,3,0) i równoległej do
prostej danej równaniem
 x  y  3z  1  0

 2x  z  1
Zad.15.Zbadaj wzajemne położenie prostych.
a)
 x  1  8t
x 1
y
z 1



y

1

5
t

8
5
1
 z  t

b)
 x2

 y  1  9s
 z  5  4s

Zad.16. Napisz równanie płaszczyzny wyznaczonej przez proste
(x-3)/2=y=z-1, (x+1)/2=y-1=z/2
Zad.17. Czy proste (x-1)/2 = -(y+2) = z/3 i x+1 = (y+11)/2 = z+1 mają punkt wspólny ?
Zad.18. Znajdź punkt symetryczny do P(2,3,5) względem
a) punktu S(1,-1,3)
b) prostej
x  1 t

 y  5t
z  2  t

c) płaszczyzny 2x+y-z+6 = 0
Zad.19. Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyznami
x = 1, y = -1, z = 3, x + y + z = 6
Zad.20. Niech sfera S ma równanie x 2  y 2  z 2  4 . Napisz równanie sfery o środku w
punkcie P(2,3,4) i stycznej zewnętrznie do sfery S. Napisz równanie prostej wyznaczonej
przez środki obu sfer. Znajdź współrzędne punktu styczności. Napisz równanie płaszczyzny
rozdzielającej obie sfery.
M.Chalfen