Algebra liniowa II

Algebra liniowa II - lista 2
Zad.1 Oblicz 4A + B − 3C gdzie:
1
4 −1
−1
,B=
,
a) A = 2
−3 −5
0 3
 3


1
−4 1
− 32
4
3
−2 , B =  5
b) A =  0
2
3
−1 4 0
C=
2
−1
−2
1
2
−2
−3


9
2
d) A =  21 3 , B =
2
−6 4
4
,
 2
− 12
3
0 , C =  3
1
0
Zad.2 Oblicz AB i BA (o ile dzialania sa̧ wykonalne):
1 2
−2 1
a) A =
,B=
, b) A = 21
3 −1
1 4

− 14

2
1 .
− 43
0
2
1
,B=
2
1
−1
3
−2
,
c) A =
3
2
0


6
−1 , B =  1 ,
−2

1
2
3
5
−3
− 21
2
,

0
 2 

e) A = 
 −1 , B = 1
4
1
2
2
3
−2 .
Zad.3 Znaleźć macierz A taka̧, żeby spelnione bylo równanie AB = I2 , gdy:
−1 1
−1 2
3 −2
a) B =
, b) B =
, c) B =
.
4 0
−3 6
−2 4
Zad.4 Wyznaczyć transpozycjȩ sprzȩżona̧ macierzy:




1+i
0
2−i
−1
3−i
i
2
1 − 2i , b) A =  3 + i
0
2 + 2i .
a) A =  1 + 4i
i
−3 + i
3
−i 2 − 2i
2
Zad.5 Udowodnij wlasności dla macierzy ze zbioru Rn×n , gdzie n = 2 lub n = 3:
a) det(AB) = det(A) det(B),
b) det(A) = det(A0 ),
c) det(cA) = cn det(A),
Zad.6 Ile wynosi wyznacznik macierzy, w której jedna z kolumn (lub jeden z wierszy) sklada siȩ z samych zer?
Zad.7 Ile wynosi wyznacznik macierzy, w której dwie kolumny (lub dwa wiersze) sa̧ identyczne?
Zad.8 Ile wynosi wyznacznik macierzy, w której do dowolnej kolumny (lub wiersza) dodamy inna̧ kolumnȩ (lub wiersz) pomnożona̧
przez stala̧?
Zad.9 Jak zmieni siȩ wyznacznik macierzy, jeżeli zamienimy miejscami dowolne dwie kolumny (lub dowolne dwa wiersze)?
Zad.10 Jak zmieni siȩ wyznacznik macierzy, jeżeli wszystkie jego elementy zmienia̧ znak na przeciwny?
Zad.11 Jak zmieni siȩ wyznacznik macierzy, jeżeli pierwsza̧ kolumnȩ przestawimy na ostatnie miejsce, a pozostale kolumny przesuniemy o jedna̧ pozycjȩ w lewo?
Zad.12 Jak zmieni siȩ wyznacznik macierzy, jeżeli jego wiersze napiszemy w odwrotnym porza̧dku?
Zad.13 Udowodnij, że
a b+c
a b
a c
a) det
= det
+ det
,
d e+f
d e
d f
a+b c+d
a c
b d
b) det
= det
+ det
,
e
f
e f
e f
c) analogiczne dowody przeprowadź dla macierzy stopnia 3.
Zad.14 Czy prawdziwa jest równość: det(A + B) = det(A) + det(B)?
Zad.15 Oblicz wyznaczniki nastȩpuja̧cych macierzy:
cosx sinx
1 2
a) A =
,
b) B =
−sinx cosx
3 1



0 −3 −4
1
5 ,
d) D =  3 2
e) E =  −1
4 −5 0
3−i



i
1
1−i
1 i
h) H =  i 2
g) G =  0 −2 4 + 3i ,
2i 0
5
4 0
1
,
c) C =

−0
0
1 + 2i 0 ,
8
3

4
0 ,
3i

−i
1+i
1−i
4i
,

0 0 2
f) F =  0 0 −1 ,
−2 1 0


1 2 3
i) I =  −2 0 1 ,
5 1 3
Zad.16 Oblicz rzȩdy nastȩpuja̧cych macierzy:


2 −1 1 3
4
 4 −1 3 −1 −8 




0
1
5
3 2
 2 −1 2 1 −2 

3 −1 0 ,
b) −7 2
a)
 1 2 1 −1 0 ,


3
−1
−2
0 1
 2 −3 1 2 −2 
1 0 1 −2 −6




1 1
1
1
2 −4 1 −1 0 1
 1 −1 1
1 

d) 1 −1 −6 0 3 7 ,
e)
 1 −1 −1 1 ,
0 8 −1 −5 1 0
1 −1 −1 −1




3
0 3 1
1 3 0 1
 4 −1 2 0 

h) 2 1 1 0 ,
g)
 −1 4 7 0 ,
−1 1 0 1
2
1 4 0


2
1 11 2
 1
0
4 −1 
1 1 −2 −1


,
k)
j)
,
11 4 56 5 
1 3 6 −1
2 −1 5 −6

4
 2

c)
8
1

1
 3
f)
 2
−1

0
 4
i)
 10
1

1
 2

l)
 −1
 1
3
−2
1
0
1
3
−2
−1
2

−1
3 
,
5 
−2

4
2 
,
−1 
1
4 10
8 18
18 40
7 17
−1 2
1 −1
2
1
5 −8
−7 8

1
7 
,
17 
3
3
2
1
−5
9
4
0
3
−12
13



.


Zad.17 Udowodnić dla macierzy stopnia 2 nastȩpuja̧ce wlasności:
a) A(B + C) = AB + AC,
b) (A + B)C = AC + BC,
c) A(αB) = (αA)B = α(AB),
d) (AB)C = A(BC),
e) AI2 = I2 A = A,
f) (A + B)T = AT + B T ,
g) (AT )T = A,
h) (αA)T = αAT ,
i) (AB)T = B T AT ,
j) (αA)∗ = αA∗ .
Zad.18 Podać przyklady macierzy A, B, które spelniaja̧ podane relacje:
a) AB 6= BA,
b) AB = BA,
c) AB = 0 i A 6= 0 i B 6= 0,
d) A3 = 0 i A2 6= 0.
Zad.19 Dla jakich macierzy kwadratowych A, B tego samego stopnia prawdziwe sa̧ nastȩpuja̧ce tożsamości:
a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ,
b) (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
Zad.20 Niech macierze kwadratowe A i B tego samego stopnia bȩda̧ symetryczne (tzn. A = AT i B = B T ). Pokazać, że
AB = (AB)T ⇔ AB = BA.
2