Matematyka - E-SGH

Matematyka
Justyna Winnicka
Szkoªa Gªówna Handlowa
rok akademicki 2016/2017
kontakt, konsultacje, koordynator
mail: [email protected],
[email protected],
[email protected]
konsultacje: ±roda, 13:30-14:30, 28 M
strona na Niezb¦dniku: www.e-sgh.pl/winnicka
koordynator przedmiotu: dr Maria Ekes, [email protected]
Warunki zaliczenia (szczegóªy na Niezb¦dniku)
2 kolokwia, w ka»dym 5 zada« po 6 punktów
zaliczenie ¢wicze« (od 30 punktów) to warunek dopuszczenia do egzaminu
egzamin: 5 zada« po 6 punktów plus punkty dodatkowe za zaliczone ¢wiczenia:
→ 0 punktów
→ 1 punkt
db → 2 punkty
db+ → 3 punkty
bdb → 4 punkty
dst
dst+
Literatura
Podr¦czniki obowi¡zkowe
J. Kªopotowski, W. Marcinkowska-Lewandowska, M. Nykowska, I. Nykowski,
Matematyka dla ekonomicznych studiów zaocznych i wieczorowych, Szkoªa
Gªówna Handlowa w Warszawie
M. D¦dys, S. Dorosiewicz, M. Ekes, J. Kªopotowski Matematyka. e-book, Szkoªa
Gªówna Handlowa, platforma e-learningowa
Podr¦czniki uzupeªniaj¡ce
W. Dubnicki Matematyka. Denicje. Twierdzenia. Zadania, Wydawnictwo
DRUKPOL
S. Dorosiewicz, J. Kªopotowski, D. Koªatkowski Matematyka. Tom I, pod redakcj¡
naukow¡ S. Dorosiewicza, Szkoªa Gªówna Handlowa w Warszawie
J. Laszuk Matematyka. Studium podstawowe, Ocyna Wydawnicza Szkoªy
Gªównej Handlowej
Denicja
nazywamy dowoln¡ funkcj¦ a : N → R, gdzie N = {1, 2, 3, ...} jest
zbiorem liczb naturalnych, a R zbiorem liczb rzeczywistych.
Ci¡giem liczbowym
Warto±¢ an = a(n) nazywamy
n-tym wyrazem ci¡gu.
Ci¡g oznaczamy symbolem {an : n ∈ N}, lub krócej (an ).
Przykªad
Ci¡g naturalnych liczb nieparzystych mo»emy opisa¢:
wymieniaj¡c kilka pocz¡tkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,...,
podaj¡c wzór na n-ty wyraz ci¡gu: an = 2n − 1, n ∈ N,
podaj¡c zale»no±¢ rekurencyjn¡ (tzn. odpowiedni¡ liczb¦ pocz¡tkowych wyrazów
oraz ogóln¡ zale»no±¢ mi¦dzy wyrazem tego ci¡gu, a wyrazami go
poprzedzaj¡cymi): a1 = 1, an+1 = an + 2 dla n ≥ 1.
Przykªad
Je»eli kapitaª pocz¡tkowy K zªo»ymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie
lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapitaª ko«cowy Kn wyra»a si¦ wzorem:
Kn = K (1 +
p
100
)n
Denicja
Mówimy, »e (an ) jest ci¡giem
rosn¡cym ⇐⇒
^
an+1 > an
(an+1 − an > 0),
n∈N
niemalej¡cym ⇐⇒
an+1 ≥ an ,
^
n∈N
malej¡cym ⇐⇒
^
an+1 < an ,
n∈N
nierosn¡cym ⇐⇒
^
an+1 ≤ an ,
n∈N
staªym ⇐⇒
^
an+1 = an ,
n∈N
Ci¡g maj¡cy jedn¡ z wymienionych wªasno±ci nazywamy
ci¡giem monotonicznym.
Przykªad
Sprawdzimy, czy ci¡g o wyrazie ogólnym an =
2n
n!
W tym celu zbadamy znak wyra»enia
an+1 − an
dla n ∈ N.
jest ci¡giem monotonicznym.
Denicja
Mówimy, »e ci¡g (an ) jest
ograniczony z góry ⇐⇒
_ ^
an ≤ M,
M∈R n∈N
ograniczony z doªu ⇐⇒
_ ^
an ≥ m,
m∈R n∈N
ograniczony ⇐⇒
_
^
m ≤ an ≤ M.
m,M∈R n∈N
Przykªad
Zbadamy, czy ci¡g an =
2n
n!
jest ograniczony.
Denicja
Mówimy, »e liczba g ∈ R jest
granic¡ (wªa±ciw¡)
^ _
^
ci¡gu (an ), je±li
|an − g | < ε
ε>0 Nε ∈N n>Nε
i piszemy
lim an = g lub an −−−−−→ g lub an → g .
n→∞
n→∞
Je±li (an ) ma granic¦ g ∈ R, to mówimy, »e jest
(wªa±ciwej), mówimy, »e jest rozbie»ny.
zbie»ny do g.
Je±li nie ma granicy
Przykªad
Poka»emy z denicji, »e lim
n→∞
n−2
= 1.
n
Przykªad
Poka»emy, »e ci¡g an = (−1)n nie ma granicy.
Twierdzenie
Ci¡g zbie»ny ma dokªadnie jedn¡ granic¦.
Twierdzenie
Ka»dy ci¡g zbie»ny jest ograniczony.
Twierdzenie
Ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny.
Twierdzenie (algebraiczne
Je±li
lim an = a
n→∞
oraz
wªasno±ci granic wªa±ciwych)
lim bn = b,
n→∞
gdzie
a, b ∈ R,
to
lim (an ± bn ) = a ± b,
n→∞
lim an bn = ab,
n→∞
an
a
= , gdy b 6= 0 i bn 6= 0,
bn
b
lim |an | = |a|.
lim
n→∞
n→∞
Twierdzenie (granice
a > 0 =⇒ lim
n→∞
√
lim n n = 1,
wybranych ci¡gów)
√
n
a = 1,
n→∞
lim an = 0 ⇐⇒ |a| < 1,
n→∞
lim an = a ∧ b > 0 =⇒ lim ban = ba
n→∞
^
n→∞
an > 0 ∧ lim an = a ∧ a > 0 =⇒ lim (an )α = aα
n∈N
n→∞
n→∞
Denicja
Mówimy, »e ci¡g (an ) ma
granic¦ niewªa±ciw¡ +∞
^
_
^
(odp. −∞), je±li
an > M (odp. an < M)
M∈R NM ∈N n>NM
i piszemy lim an = +∞
n→∞
(odp. −∞).
(odp.
− ∞) lub an −−−−−→ +∞ (odp. −∞) lub an → +∞
Je±li (an ) ma granic¦ niewªa±ciw¡ +∞
+∞ (odp. −∞).
n→∞
(odp. − ∞)
to mówimy, »e jest
rozbie»ny do
Przykªad
Wyka»emy, »e ci¡g o wyrazie ogólnym an = 3n − 4 jest rozbie»ny do ∞.
Przykªad
Dany jest ci¡g arytmetyczny (an ) o ró»nicy r ∈ R.
Je±li r > 0, to an → ∞.
Je±li r < 0, to an → −∞.
Twierdzenie (algebraiczne
Niech
(an ) i (bn )
Je±li
wªasno±ci granic niewªa±ciwych)
b¦d¡ ci¡gami liczbowymi.
an → ∞ i b n → ∞ ,
to
an + bn → ∞, an · bn → ∞;
je±li
an → −∞ i bn → −∞,
je±li
an → ∞ i bn → −∞,
je±li
an → a,
gdzie
a ∈ R i bn → ±∞,
to
an + bn → ±∞,
je±li
an → a,
gdzie
a > 0 i bn → ±∞,
to
an · bn → ±∞;
je±li
an → a,
gdzie
a < 0 i bn → ±∞,
to
an · bn → ∓∞.
to
to
an + bn → −∞, an · bn → ∞;
an − bn → ∞, bn − an → −∞, an · bn → −∞;
an
bn
Skrótowy zapis
∞ + ∞ = ∞,
∞ · ∞ = ∞,
−∞ + (−∞) = −∞,
(−∞) · (−∞) = ∞,
∞ − (−∞) = ∞,
(−∞) − ∞ = −∞,
a
a + (±∞) = ±∞,
= 0,
±∞
5 · (±∞) = ±∞,
− 12 · (±∞) = ∓∞.
∞ · (−∞) = −∞,
→ 0;
Przykªad (y)
√
n
lim
n→∞
n
2n − 1
h
=
i h 1 i
1
=
=0
2·∞−1
∞
Przykªad
lim 2(3−17
n
)(3n −17)
n→∞
Twierdzenie (o
= [2(3−∞)(∞−17) ] = [2(−∞)∞ ] = [2−∞ ] = 0.
trzech ci¡gach)
Je±li zachodz¡ warunki
^
cn ≤ an ≤ bn ,
n>n0
lim cn = lim bn = g ,
n→∞
to
n→∞
lim an = g .
n→∞
Przykªad
Obliczymy granice
√
lim
cos( nπ)
n→∞
i
lim
n→∞
√
n
n
2n + 3n + 5n .
Symbole (wyra»enia) nieoznaczone
Przykªad (symbol
an → 0, bn → 0,
0
0
)
h0i
an
→
=?
bn
0
an = 1n → 0, bn = 1n → 0,
an = 1n → 0, bn = n12 → 0,
an =
0
0
(−1)n
n
nazywamy
an
= 1 → 1,
bn
an
= n → +∞,
bn
→ 0, bn = 1n → 0,
an
bn
= (−1)n - granica nie istnieje.
symbolem nieoznaczonym.
Symbole (wyra»enia) nieoznaczone
[∞ − ∞]
[−∞ + ∞]
h0i
0
h ±∞ i
±∞
[0 · (±∞)]
h
i
1±∞
h
∞0
[00 ]
Przykªad (»e synbole nieoznaczone s¡ nieoznaczone)
i
Przykªad (wa»ny!)
Rozwa»my ci¡g o wyrazie ogólnym an = 1 +
1 n
n
.
Poka»emy, »e (an ) jest monotoniczny i ograniczony (a wi¦c zbie»ny).
monotoniczno±¢:
n
an = 1 + 1n =
0
1
2
= 0n 1n + 1n 1n + 2n 1n + ... +
= 1 + n n11 +
n(n−1) 1
2! n2
1− 1
+ ... +
n!
n!
= 1 + (n + 1) (n+11)1 +
n+1
2
(n+1)n
1
2! (n+1)2
.
1 2 + ... + n+1 1 n + n+1 1 n+1 =
n
n+1
n+1 n+1
n+1
+ ... +
(n+1)!
(n+1)!
·
1
(n+1)n+1
=
1 )...(1− n−1 )
1 )...(1− n )
1− n+1 1
(1− n+
(1− n+
1
n+1
1
n+1
+ ... +
+
.
2!
n!
(n+1)!
sum otrzymujemy an ≤ an+1 .
=1+1+
wyrazy
=
· n1n =
1)
(1− 1 )...(1− n−
n
n
= 1 + 1 + 2! n + ... +
n!
n+1
1
an+1 = 1 + n+1
=
0
n+1
n+
1
1
1 1 +
= 0
+ 1
n+1
n+1
n 1 n
n
n
Porównuj¡c kolejne
Przykªad (c.d.)
ograniczono±¢:
z doªu: ci¡g (an ) jest niemalej¡cy, a wi¦c an ≥ a1 = 2 dla ka»dego n ∈ N,
1)
(1− 1
1− 1n
)...(1− n−
n
n
≤
2! + ... +
n!
1
1
1
≤ 1 + 1 + 2! + 3! + ... + n! ≤
1 =
≤ 1 + 1 + 211 + 212 + ... + 2n−
1
z góry: an = 1 + 1 +
=1+
Granic¦ ci¡gu 1 +
1−( 21 )n
≤
1− 12
1 n
n
1+
nazywamy
liczb¡ Eulera
lim 1 +
n→∞
1 = 3.
1− 12
1 n
n
i oznaczamy liter¡
= e = 2.7182818....
Twierdzenie
Je»eli
lim an = ∞
n→∞
lub
lim an = −∞,
n→∞
to
lim 1 +
n→∞
Przykªad (y)
1 an
an
= e.
e