Macierz odbicia

Macierz odbicia
Przez macierz odbicia będziemy rozumieć macierz, opisującą przekształcenie
wyznaczające współrzędne punktu odbitego względem danej płaszczyzny. Dla większej
przejrzystości oraz pełniejszego zrozumienia powyższe przekształcenie wyprowadzone
zostanie w przestrzenie dwuwymiarowej i opisywać będzie odbicie punktu względem prostej
opisanej równaniem
ax + by + c = 0
Y
obraz punktu p’
(px’,py’)
wektor normalny do
prostej (a’,b’)
Punkt oryginalny p
(px,py)
X
Jeżeli znormalizujemy współczynniki a, b równania prostej tak, aby
b' =
a' =
a
a2 + b2
b
i
to otrzymamy współrzędne wektora normalnego do prostej N=[a’,b’]. Znając
a + b2
wektor normalny do prostej możemy go przedłużyć, tak aby jeden z jego końców znalazł się
w punkcie p(px,py). W tym celu należy wyznaczyć odległość punktu p od prostej, korzystając
ze wzoru na równanie prostej z normalizowanymi współczynnikami a'⋅ px + b'⋅ py + c = d .
Przy wyznaczaniu współrzędnych przedłużonego wektora N’ możemy posłużyć się
twierdzeniem Talesa.
2
d
1
a’
A
Liczby 1 i d oznaczają moduły odpowiednio wektorów N i N’. Korzystając z powyższego
rysunku możemy zapisać
1 d
=
stąd
A = a '⋅d
a' A
Także współrzędne wektora N’ można zapisać wzorami [d ⋅ a ' d ⋅ b']. Wiedząc, że jeden z
końców wektora N’ leży w punkcie p(px,py) współrzędne puntu, będącego obrazem
względem prostej możemy obliczyć odejmując od każdej ze współrzędnych punktu p
podwojoną odpowiednią współrzędną wektora N’. Ostatecznie współrzędne punktu p’
opisują następujące wzory
px' = px − 2 ⋅ d ⋅ a '
;
py ' = py − 2 ⋅ d ⋅ b'
W zapisie macierzowym powyższe przekształcenie ma następującą postać
− 2 ⋅ a '⋅a '+1 − 2 ⋅ a '⋅b' 0
 − 2 ⋅ a '⋅b' − 2 ⋅ b'⋅b'+1 0


 − 2 ⋅ a '⋅c
− 2 ⋅ b'⋅c
1
korzystając z tej macierzy należy do punktu dodać współrzędną z=1.
Analogicznie, przekształcenie to można rozwinąć do postaci trójwymiarowej, w tym
przypadku zamiast równania prostej używać będziemy równania płaszczyzny, wyrażonego
wzorem ax + by + cz + d = 0 . Podobnie jak w przypadku poprzednim równanie płaszczyzny
powinno mieć znormalizowane współczynniki a,b,c (są to współrzędne wektora normalne do
płaszczyzny). Także uwzględniając tą informację możemy zapisać przekształcenie w postaci
macierzowej .
− 2⋅c⋅a
− 2 ⋅ a ⋅ a + 1 − 2 ⋅ b ⋅ a
 − 2⋅a ⋅b
− 2⋅b ⋅b +1
− 2⋅c⋅b

 − 2⋅a⋅c
− 2⋅b⋅c
− 2⋅c ⋅c +1

− 2⋅b⋅d
− 2⋅c⋅d
 − 2⋅a⋅d
0
0
0

1
Przekształcenie to można wykorzystać do realizacji efektów bazujących na odbiciach
wybranych obiektów np. w lustrze, marmurowej podłodze. Realizacja tego typu zadania
sprowadza się do wyznaczenia równania płaszczyzny „lustra” oraz wyznaczenia macierzy
odbicia. Podczas wykonywania transformacji punktów bryły, należy je mnożyć w pierwszej
kolejności przez macierz transformacji świata, a następnie przez macierz odbicia i kolejne
macierze. Poniżej prezentowany jest przykład realizacji odbić.
Rys 2 Widok z programu “Mirror”