Matematyka - lista 3 1. Obliczy¢ pochodne (b) 2 3 (c) x3+2x (d) x− (k

Matematyka - lista 3
1. Obliczy¢ pochodne
(a)
x3 − 3x2 + 2x − 2
(f )
(2ex + x2 )(ln x12 + x)
cos x
√
(j) 1−sin x
x
(k) x−1
e2 sin(3x−1)
(o)
(p)
√
2
2 3 x − x5
(b)
(l)
√
x3 +2x x
x2
(d)
√
x−
x
√
3 x
(e)
(x2 + 3) cos x
2
(ex − 1) arctan x (i) 3x4x+2x−1
2 +5
q
√
2
(2x4 + 3x2 − 1)10 (m) 3x2 + 2x − 2 (n) xx2 +1
+2
(g)
ln x
x
(c)
(h)
(r)
ln(x + arctan x)
3e2x +e−x
ex +1
2. Obliczy¢ granice
(a)
lim
x→∞
(d)
(i)
lim x ln x
x→∞ x+ln x
lim
x→0
(n)
(s)
(v)
(z)
x2 +3x−1
ex
ex −e−x
x
(e)
(j)
lim ln ln x
x→∞ ln x
(f )
1−2 sin x
cos 3x
(k)
lim
x→ π
6
(o)
lim x ln x
x→0+
α
lim xx , gdzie
x→∞ e
(b)
1
(p)
lim xe x
x→0+
lim (ln(x3 − 1) − ln(x2 − 1))
1
ln x )
lim (1 + sin
1 2x
x)
x→1
x→∞
3. Wyznaczy¢ punkty w
(w)
R,
jest staª¡
ex −1−x
x2
lim
x→0
lim 1−x+ln x
x→1 1+cos πx
(g)
(l)
lim lnαx
x→∞ x
(c)
5
lim x4 −1
x→1 x −1
lim (arctan x − π2 ) ln x
lim+ xx
(x)
x→0
lim ( x1 −
1
ex −1 )
x→0+
(r)
lim+ (tan x)sin x
x→0
(u)
(y)
√
| x − 1|
2x−4 (b) f (x) = x−1 (a)
(c)
(
f (x) =
2
f (x) = |ex
−4
x
lim ln
3
x→1 x −1
(m)
lim
x→0
√
2
e x +1
e cos(ln(x + 1))
for
for
x≤0
x>0
− 1|
(e)
(
x2 sin x1
f (x) =
0
for
for
x 6= 0
x=0
(f )
(
f (x) =
x arctan x1
0
1
for
for
x 6= 0
x=0
tan x−sin x
x−sin x
lim (x − ln x)
x→∞
lim ( cos1 x − tan x)
−
x→ π
2
1
lim x 1−x
x→∞
w których poni»sze funkcje s¡ ró»niczkowalne.
równanie stycznej do ich wykresu w wybranym punkcie.
(d)
(h)
2x
lim e −1
x→0 ln(1+2x)
x→∞
(t)
x→1+
1
lim+ ( x−1
−
α∈R
Poda¢
4. Wyznaczy¢ parametry
a, b, c, d ∈ R, dla których funkcje s¡ ró»niczkowalne w swojej
dziedzinie.
(a)


for x ≤ 0
ax + b
f (x) = cx2 + dx for x ∈ (0, 1]


x>1
x − x1
(b)
f (x) =
(
ax + b
for
ln(x+1)
x
for
x≤0
x>0
5. Znale¹¢ obraz lub przeciwobraz funkcji
(a)
f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 6,
(b)
f (x) = x2 e−x ,
(c)
f (x) =
2
x +3
x
obraz
− 2 ln x,
obraz
f ([−1, 2])
i przeciwobraz
f −1 ([−∞, 6]).
f ([−1, 3]).
obraz
f ([1, 4]).
6. Wyznaczy¢ warto±¢ najwi¦ks¡ i najmniejsz¡ funkcji w przedziale
rowych maj¡ te funkcje w
(a)
f (x) = x3 −
15 2
2 x
x2 −4
I.
Ile miejsc ze-
I?
+ 12x + 7, I = [2, 5].
(b)
f (x) = |e
− 1| − 1, I = [−1, 3].
(c)
f (x) = |2x − 3x2 + 5| − 1, I = [−2, 12 ].
3
f (x) = (x2 − 2x) ln x − 23 x2 + 4x.
7. Wyznaczy¢ ekstrema lokalne funkcji
8. Zbada¢ przebieg zmienno±ci i naszkicowa¢ wykres funkcji
(a)
3x4 − 4x3 − 12x2 + 1
(f )
ln2 x − ln(x2 )
(l)
x2 −x−4
x−1
(m)
(g)
x ln x
1
xe x
x
(b) 1+x2
(h)
(c)
|x|e−x
e−x
2
ln x
(d) √x
e−x
2
(e)
x2 e−x
1
ln x
(i) x2 −1
(j)
ln x +
x arctan x
(d)
2x
x ln x−2
(k)
x2 +x+1
x2 −1
x3
(n) (x−1)2
9. Wyznaczy¢ asymptoty funkcji
(a)
x − 2 arctan x
(b)
x ln( x1 + e)
(c)
10. Zbada¢ ci¡gªo±¢ i wyznaczy¢ asymptoty funkcji
(a)
(
f (x) =
x3 +2
2x2 +1
ln x
x−1
for
2x2 +3
x−2
x
x
e −1
for
for
x≤1
x>1
(b)
(
f (x) =
2
for
x≤0
x>0
(e)
2xex +ln(x+1)
ex −1
ln(x + 1) ≥
+ 7 dla x > −1?
11. Wykaza¢ nierówno±¢
ln(x + 1) =
12. Wykaza¢, »e
x
x+1
arctan x1 + arctan x =
13. Poda¢ liczb¦ rozwi¡za« w
R
x
x+1 dla
π
2 dla
równania
x>0
ex =
3
x > −1.
2−x
x+1 ?
Ile rozwi¡za« ma równanie