PRZEBIEG ZMIENNOSCI FUNKCJI - TEORIA 1.° Dziedzina funkcji

1.±
2.±
3.±
4.±
PRZEBIEG ZMIENNOŚCI FUNKCJI - TEORIA
Dziedzina funkcji, w÷asności specjalne, parzystość, nieparzystość
Granice - asymptoty, w przypadku braku as. ukośnych granice w §1 i na końcach dziedziny.
W÷asności zwia̧zane z pierwsza̧ pochodna̧, monotoniczność, ekstrema (w jakich punktach i jakie wartości).
Wykres (ewentualnie tabelka).
____________________________________________________________
( ¡ 1)3
PRZEBIEG ZMIENNOŚCI FUNKCJI - PRZYK×AD  () =
(jj ¡ 1)2
1.±  =  ¡ f¡1 1g 
2.±
lim  () = ¡1
!¡1¡
lim  () = ¡1 lim  () = 0 lim  () = 0
!1¡
!¡1+
asymptota pionowa: #  = ¡1 #
 = 1 - niecia̧g÷ość typu "luka",
!1+
3
( ¡ 1)
= 1
!¡1  ( + 1)2
Ã
!
( ¡ 1)3
 = lim ( () ¡ ) = lim
¡  = ¡5
!¡1
!¡1
( + 1)2
( ¡ 1)3
 = lim
= 1
!1 ( ¡ 1)2 
 = lim ( () ¡ ) = lim (( ¡ 1) ¡ ) = ¡1
!1
!1
asymptoty ukośne: .  =  ¡ 5  =  ¡ 1 %
8
µ
¶3
¡1
<
¡5
 0 
± 0
3.  () =
+1
:
1  ¸ 0
 0 ()  0 dla  2 (¡1 ¡5) [ (¡1 1) 
 % w (¡1 ¡5)   & w (¡5 ¡1)   % w (¡1 1)   % w (1 +1) 
max = ¡5 max =  (¡5) = 1 ¡ 135
 ()
!¡1 
 = lim
4.±
= lim

 0 ()
¡1
+
 ()
. =¡5
(¡1 ¡5)
+
¡1
¡5
0
max
max = ¡135
%
(¡5 1)
¡
¡1
X
&¡1
X
(¡1 1)
+
¡1
%0
1
X
luka
(1 +1)
+
0
%1
+1
+
 =¡1%
PRZEBIEG ZMIENNOŚCI FUNKCJI - ZADANIA
Zbadać granice, asymptoty, monotoniczność oraz ekstrema lokalne funkcji i na tej podstawie naszkicować wykresy funkcji
– wielomianowych:
1.  () = 34 ¡ 83 + 62  2.  () = 1 + 22 ¡ 3 ; 3.  () = 3 ¡ 3 + 2; 4.  () = ¡3 + 62 ¡ 6;
5.  () = 4 ¡ 82 + 2; 6.  () = 4 ¡ 182 ; 7.  () = 14 4 + 3 ¡ 32 ¡ 8; 8.  () = 15 5 ¡ 42 ;
– wymiernych:
2

3
2
9.  () = 2
; 10.  () = 2
; 11.  () =  + 1 ; 12.  () = + 3 ; 13.  () = +1
+ 2 + 2;
 +1
 +4

1
1
3
3
3
14.  () = 2 + 2 ; 15.  () =  +
; 16.  () =
; 17.  () =
; 18.  () = 19 jj¡2
;

+1
¡2
jj ¡ 2
³
´3
2
+1
19.  () = 2¡1
;
+1 ; 20.  () = ¡1
– logarytmicznych i wyk÷adniczych
2
2
21.  () = 2 + 6 ¡ 4 ln 2 ; 22.  () = ln jj + 2 ; 23.  () = ln 1+
24.  () = 3 ln3 ; 25.  () = ¡1 ;
2;

2
26.  () = 4 2(1¡ ) ; 27.  () = 2 ¡2 ; 28.  () = 1 ( + ¡) ;
2
– cyklometrycznych:
29.  () = ¡2 arctan ; 30.  () =
– niewymiernych: q
p
3
3
2
33.  () = 2 + ( ¡ 2) 
½
 arctan 1 
1
 6= 0
;
=0
2
31.  () = arccos 1+
32.  () =
2;
4
½
2 + arctan 1   6= 0
;

=0