Przykładowe zadania z dynamiki bryły sztywnej

Bryła sztywna
BRYŁA SZTYWNA
1. Wyznacz moment bezwładności wyciętego krążka względem osi obrotu O1, O2 i O3. Masa pełnego krążka jest równa
M, a promień R:
2. Wyznacz moment bezwładności prostokąta o masie m
i bokach długości a i b względem osi obrotu O:
3. Wyznacz moment bezwładności kwadratu o boku o
długości a względem osi obrotu O. Gęstość
powierzchniowa masy jest równa σ.
4. Wyznacz przyspieszenia liniowe mas i przyspieszenie kątowe bloczka:
1
Bryła sztywna
5. Wyznacz przyspieszenie kątowe kołowrotu składającego się z trzech sklejonych krążków o gęstości d, promieniach
kolejno r, 2r i 3r i tworzących h w sytuacji przedstawionej na rysunku:
6. Na bęben o promieniu R i masie M nawinięto
sznurek do którego przywiązano ciężar o masie m.
Ciężar znajduje się na wysokości h. W pewnej chwili
ciężar został puszczony i zaczął się opuszczać (jak na
rys). Po jakim czasie ciężar dotknie ziemi?
7. Jaką drogę przebędzie każdy z ciężarków w układzie
jak na rysunku w czasie t.
8. Ciężka szpula z nawiniętą nicią stoi na płaszczyźnie poziomej po której może się toczyć bez poślizgu. Obliczyć
przyspieszenie a środka masy szpulki oraz siłę tarcia T, jeśli do nici przyłożono siłę F w kierunku równoległym do
płaszczyzny. Masa szpulki m, moment bezwładności względem osi szpulki I0, promień wewnętrzny r, zewnętrzny R.
Rozważyć trzy przypadki:
9. Ciężka szpula z nawiniętą nicią do której przyłożono siłę F leży na płaszczyźnie poziomej. W którą stronę i z jakim
przyspieszeniem liniowym będzie poruszać się szpula w zależności od kąta α między kierunkiem siły działającej na
nić a płaszczyzną. Szpula porusza się ruchem obrotowym bez poślizgu. Masa szpulki m, moment bezwładności
względem osi szpulki I0, promień wewnętrzny r, zewnętrzny R.
10. Kula i cienka obręcz, o masie m i promieniu R zaczynają staczać się bez poślizgu z równi o kącie nachylenia α z
wysokości h. Znaleźć ich przyspieszenia liniowe i kątowe oraz prędkość u podnóża równi.
2
Bryła sztywna
11. Z jakim przyspieszeniem liniowym i kątowym staczają się bez poślizgu kula i walec (kula i cienkościenna rura, walec
i obręcz), których środki połączono sztywnym prętem, z równi o kącie nachylenia α. Jaką wartość mają siły tarcia?
Masa kuli i walca jest równa m a ich promienie R.
12. Z wysokości h stacza się bez poślizgu walec i kula. Która z brył będzie obracać się z większą częstotliwością u
podnóża równi i ile razy większą? Kąt nachylenia równi α, masa kuli i walca m, promienie R.
13. Ile czasu będzie się staczać bez poślizgu kula (walec, obręcz) o masie m i promieniu R z równi o kącie nachylenia α,
z wysokości h.
14. Z wysokości h stacza się bez poślizgu walec (kula). W drugim przypadku ta sama bryła zsuwa się bez tarcia. W
którym przypadku bryła będzie miała większą prędkość u podnóża równi i ile razy większą? Kąt nachylenia równi α,
masa walca (kuli) m, promień R.
15. Ile czasu będzie się staczać bez poślizgu wydrążony walec o masie m, promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R z
równi o kącie nachylenia α, z wysokości h.
16. Na równię o kącie nachylenia α zaczyna wtaczać się bez poślizgu walec (kula, cienkościenna rura), poruszający się
przy początku równi z prędkością v. Obliczyć drogę jaką przebędzie walec (kula, rura) do chwili zatrzymania się.
17. Z jakim przyspieszeniem opuszcza się masa m1 w sytuacji jak na rysunku? Dany jest współczynnik tarcia k. Blok
obraca się pod działaniem nici. Promień bloku jest równy R.
18. Oblicz przyspieszenie układu (ruch bez poślizgu): kula-kula, walec-walec, kula-walec o promieniach R i masach m1 i
m2, sztywno połączonych prętem o zaniedbywalnej masie.
19. Ile razy zmieni się częstotliwość wirującego wokół własnej osi walca, jeśli nagle zostałaby wycięta z niego kula o
promieniu r. Środek kuli leży na osi walca. Masa walca m, promień podstawy R a długość L.
20. Kulka o masie m lecąca poziomo z prędkością v uderzyła w środek pręta o masie M i długości L i utkwiła w nim. O
jaki maksymalny kąt odchyli się pręt? Ile ciepła wydzieli się w wyniku tego zderzenia? Oś na której zawieszony jest
pręt przechodzi przez koniec pręta i pręt może obracać się wokół niej.
21. Kulka o masie m lecąca poziomo z prędkością v uderzyła w koniec pręta o masie M i długości L i przebiła go tracąc
50 % swojej prędkości. O jaki maksymalny kąt odchyli się pręt? Ile ciepła wydzieli się w wyniku tego zderzenia? Oś
na której zawieszony jest pręt przechodzi przez koniec pręta i pręt może obracać się wokół niej.
22. Dwie tarcze o masach m1 i m2 i promieniach r1 i r2 wirują wokół tej samej osi (prostopadłej do obydwu tarcz) z
częstotliwościami f1 i f2. W pewnej chwili tarcze zsunęły się i zlepiły. Z jaką częstotliwością końcową wirują tarcze i
ile wydzieliło się ciepła? Tarcze wirują:
- w tym samym kierunku
- w kierunkach przeciwnych.
3
Bryła sztywna
23. Ze studni za pomocą kołowrotu podnoszone jest wiadro z wodą o masie 10 kg. W chwili gdy wiadro znajduje się na
wysokości 5 m nad powierzchnią wody, oswobodzono rączkę kołowrotu i wiadro zaczęło opuszczać się w dół.
Znaleźć prędkość liniową rączki kołowrotu w chwili uderzenia wiadra o powierzchnię wody, jeżeli odległość rączki
od osi obrotu jest równa 30 cm, promień wału kołowrotu 10 cm, a jego masa 20 kg. Zaniedbać ciężar liny na której
zawieszone jest wiadro.
24. Koło zamachowe o masie M przymocowane jest współśrodkowo do krążka o promieniu r i masie m. Krążek
wprawiany jest w ruch obrotowy za pomocą opuszczającego się w dół ciężarka o masie 3m przywiązanego do
nawiniętego na krążek sznurka. Po jakim czasie częstość obrotów koła zamachowego będzie równa f? Przyjąć, że cała
masa koła zamachowego rozłożona jest na jego obwodzie w odległości R od osi obrotu.
25. Do końca cienkiej, nierozciągliwej nici, nawiniętej na walcowy blok o promieniu r i masie m1 przyczepiono ciało o
masie m2, które znajduje się na równi pochyłej o kącie nachylenia α (jak na rysunku). Jaką drogę przebędzie ciało po
równi w czasie t, jeżeli współczynnik tarcia jest równy k. Ciało początkowo spoczywa, tarcie na osi bloku można
zaniedbać.
26. Z gwiazdy o masie 4·1030 kg, promieniu 106 km i okresie wirowania 105 s w czasie wybuchu supernowej zostaje odrzuconych w
przestrzeń kosmiczną 90% masy. Z pozostałej masy powstaje gwiazda neutronowa o promieniu 100 km. Odrzucona masa nie
unosi momentu pędu. Oblicz okres wirowania gwiazdy neutronowej oraz gęstość gwiazdy przed i po wybuchu.
4