Badanie funkcji:

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
f ( x) =
x +1
x−2
1) Dziedzina funkcji
Mianowniki muszą być różne od zera, stąd:
x−2≠0 ⇔x≠2
D= ℜ \{2}= (− ∞ ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
2) Punkty przecięcia z osiami.
Punkt leży na osi x , gdy: f ( x ) = 0
x +1
= 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 ⇒ Do wykresu funkcji należy punkt (-1;0).
x−2
Punkt leży na osi y , gdy: x = 0 .
0 +1
1
f ( 0) =
= − ⇒ Do wykresu funkcji należy punkt (0 ; -0,5).
0−2
2
3) Parzystość i nieparzystość funkcji.
Funkcja jest parzysta, gdy f ( − x) = f (x )
− x +1
, czyli f (− x ) ≠ f (x ) . Funkcja nie jest parzysta.
f (− x) =
−x−2
Funkcja jest nieparzysta, gdy f ( − x) = − f (x )
⎛ x +1 ⎞ − x −1
, czyli f (− x ) ≠ − f (x ) . Funkcja nie jest nieparzysta.
− f (x ) = − ⎜
⎟=
⎝ x −2⎠ x − 2
4) Granice na końcach przedziałów określoności funkcji.
lim ⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ = lim {x + 1)' = lim 1 = 1
x→−∞ x − 2
⎝
⎠ x→−∞ ( x − 2)' x→−∞ 1
lim ⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ = lim {x + 1)' = lim 1 = 1
x→+∞ x − 2
⎝
⎠ x→+∞ ( x − 2)' x→+∞ 1
5) Asymptoty.
a) Asymptota pionowa istnieje gdy w punktach nieokreśloności granica funkcji jest
równa ± ∞ .
lim− ⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ = − ∞
lim+ ⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ = + ∞
x→2 ⎝ x − 2 ⎠
x→2 ⎝ x − 2 ⎠
Funkcja ma asymptotę pionową: x = 2 .
b) Funkcja ma asymptotę poziomą y = a gdy istnieje granica funkcji w
nieskończoności.
lim ⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ = lim {x + 1)' = lim 1 = 1
lim ⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ = lim {x + 1)' = lim 1 = 1
x→−∞ x − 2
x→+∞ x − 2
⎝
⎝
⎠ x→−∞ ( x − 2)' x→−∞ 1
⎠ x→+∞ ( x − 2)' x→+∞ 1
Funkcja ma asymptotę poziomą; y = 1 .
f ( x)
c) Funkcja ma asymptotę ukośną: y = ax + b , gdy granica funkcji
= a
x
x →± ∞
i a≠0
lim ( f ( x ) ) = lim ⎛⎜⎜ x + 1 ⎞⎟⎟ = lim (2x + 1)' = lim ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 0
x→m∞
x→m∞ ( x − 2) x
x→m∞ 2 x − 2
x
⎝
⎠
⎝
⎠ x→m∞ ( x − 2 x)'
x +1
Funkcja f ( x ) =
nie ma asymptoty ukośnej, ponieważ liczba a = 0
x−2
lim
6) Pochodna funkcji.
'
(x + 1) ' (x − 2 ) − (x + 1)(x − 2 ) ' = x − 2 − x − 1 = − 3 = − 3
⎛ x +1 ⎞
f ' ( x) = ⎜
⎟ =
( x − 2 )2
( x − 2 )2
( x − 2 )2
( x − 2 )2
⎝ x−2⎠
7) Przedziały monotoniczności
Funkcja jest rosnąca w przedziale, jeżeli f ' ( x) > 0 w tym przedziale.
Funkcja jest malejąca w przedziale, jeżeli f ' ( x ) < 0 w tym przedziale.
3
Ponieważ dla każdego x ≠ 2 prawdziwa jest nierówność:
−
< 0,
( x − 2 )2
stąd wniosek, że:
x ∈ (−∞ ; 2) ∪ (2 ; + ∞ ) ⇒ funkcja jest malejąca.
8) Ekstrema lokalne funkcji.
Funkcja ma ekstremum lokalne lub punkt przegięcia w punkcie ( x0 ; y 0 ) , jeżeli pochodna
funkcji w tym punkcie równa się zero.
3
Równość −
= 0 dla każdego x ≠ 2 jest fałszywa,
( x − 2 )2
stąd wniosek, że funkcja nie ma ekstremum.
9) Tabela i wykres funkcji.
x
−∞
f ' ( x)
1
f (x)
...
-
-1
0
...
-
0
-0,5
...
-
2
#
#
...
+
+∞
+
1