I Rok ZIP, LISTA 2 Ci agi, granica funkcji, ci ag losc funkcji

I Rok ZIP, LISTA 2
Ciagi,
granica funkcji, ciag
,
, lość funkcji, asymptoty wykresów funkcji.
1. Zbadać monotoniczność ciagów:
,
an =
4n + 1
,
n+1
bn =
√
n+1
cn =
p
n2 + 2n − n,
dn = cos(nπ),
en =
100n
n!
2. Obliczyć granice ciagów:
,
√
4n2 − 3n
n2 + n + 1
2n − 1
√ ,
an =
, bn =
, cn = 5 + n2 − 3n3 , dn =
2
5 − n + 2n
2 + 5n
5+ n
p
√
2n+1 + 3n
2n+1 + (−1)n
2 + n − n, g = n 2n + 6n + 10n , h =
n
en =
,
f
=
,
n
n
n
2n + 1
2n + 3n+1
1
2
n + 5 3−n
sin2 n + 4n
in = (1 − )3n , jn = (1 + )3n , kn = (
)
, ln =
.
n
n
n
3n − 2
Wsk. dla ln , gn skorzystać z twierdzenia o trzech ciagach.
,
3. Obliczyć, jeśli istnieja,
, granice
3x − 5x
2 − 5x − 10x2
x3 − 1
;
c)
lim
;
d)
lim
x→∞ 2x + 5x
x→∞
x→−∞
x→−∞ 1 + x2
3x + 15
√
x2 − 4x + 1
x − 6x
x2 − 9
x2 − x − 2
e) lim
; f ) lim
; g) lim 2
; h) lim
;
x→2
x→0 3x + 1
x→3 x − 2x − 3
x→−1
2x + 1
x3 + 1
p
a) lim ( x2 + 3x−x); b) lim
x2 − 4x + 3
3x + 6
x3 − 3x + 2
sin 2x
; j) lim 3
; k) lim 4
; l) lim
;
x→3
x→−2 x + 8
x→1 x − 4x + 3
x→0
2x − 6
x
i) lim
4. Obliczyć, jeśli istnieja,
, granice
1
1
1
1
; b) lim 2 x ; c) lim e x−1 ; d) lim e (x−1)2 ;
2
x→0
x→1
x→2 (x − 2)
x→1
a) lim
5. Korzystajac
, z twierdzenia o trzech funkcjach obliczyć granice podanych
funkcji:
2 + sin x
a) lim
;
b) lim 2−x (2 + cos x);
x→∞
x→∞
x2
6. Zbadać ciag
, lość wskazanych funkcji
a) f (x) =


 x


(
c) f (x) =
x
x−1
1
x
sin x
|x|
1
dla x ≤ 0,
dla 0 < x < 1, ,
dla x ≥ 1,
dla x 6= 0,
,
dla x = 0,
(
b) f (x) =
d) f (x) =
1
2x
x
dla x < 0,
,
dla x ≥ 0,


 2
dla x = 0 lub x = ±2,
4 − x2 dla 0 < |x| < 2,
,


4
dla |x| > 2.
7. Dobrać parametr a ∈ R tak, aby podane funkcje byly ciag
, le:
(
a) f (x) =
a
(
c) h(x) =
x2 −4x+3
x−1
x2 −1
x3 −1
a
dla x 6= 1,
,
dla x = 1,
dla x 6= 1,
,
dla x = 1,
(
b) g(x) =
(
d) k(x) =
51−x dla x ≤ 0,
,
a
dla x > 0,
x − a dla x < 10,
,
log x dla x ≥ 10.
8. Wyznaczyć asymptoty ukośne oraz pionowe (jeśli istnieja)
acych
, nastepuj
,
,
funkcji:
x
x3 + 8
x3
b) f (x) = 2
c) f (x) =
,
1−x
x −4
x−1
x2 − x
e) f (x) =
.
x−3
a) f (x) =
d) f (x) =
2−x
,
x2 − 3