Anna Tikhonenko - Przedziałowe rozszerzenie metody TOPSIS

Przedziałowe rozszerzenie metody TOPSIS
Anna Tikhonenko1
1 Wydział
Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Kierunek Informatyka, Rok V
{anna.tikhonenko}@gmail.com
Streszczenie
Metoda obliczajaca
˛ odległość alternatywy od rozwiazania
˛
idealnego (TOPSIS)
obecnie jest jedna˛ z najbardziej popularnych metod wielokryterialnego podejmowania decyzji. Poczatkowo
˛
ona została opracowana dla danych przedstawionych w
postaci liczb rzeczywistych, natomiast w pewnych przypadkach wyznaczenie dokładnych wartości kryteriów jest trudne i o wiele łatwiejszym jest przedstawienie
owej wartości w postaci przedziału. W obecnych publikacjach z tego tematu sposób rozwiazywania
˛
wskazanego problemu sprowadza si˛e do działań nad liczbami
rzeczywistymi. Przy takim podejściu wynik może okazać si˛e nieprawidłowy. W danej prezentacji ujawniono wady wskazanej metody i przedstawione nowe podejście
opierajace
˛ si˛e na matematyce przedziałowej.
1 Wst˛ep
Technika obliczania odległości do idealnego rozwiazania
˛
(TOPSIS) [5] jest jedna˛ z najbardziej znanych klasycznych metod wielokryterialnego podejmowania decyzji (MCDM).
Technika ta została opracowana przez Hwanga, Yoona [2] do rozwiazania
˛
problemów
MCDM.
Podstawowym założeniem metody TOPSIS jest to, że optymalne rozwiazanie
˛
powinno
mieć najkrótsza˛ odległość od rozwiazania
˛
idealnego i najwi˛eksza˛ odległość od rozwiaza˛
nia anty-idealnego. W klasycznej metodzie MCDM ranking i wagi kryteriów sa˛ dokładnie
znane. Przeglad
˛ tych metod został przedstawiony w [2]. W klasycznej metodzie TOPSIS
ranking wydajności i wagi kryteriów także podane sa˛ jako dokładne wartości.
Jednak czasami rozwiazanie
˛
zagadnienia dokładnego wyznaczenia wartości kryteriów jest
trudne, dlatego w konsekwencji ich wartości sa˛ przedstawione w postaci przedziałów.
Jahanshahlo w art. [3, 4], przedstawił rozszerzona˛ metod˛e TOPSIS opracowana˛ w celu
rozwiazywania
˛
MCDM problemów z danymi w postaci przedziałów. Główna˛ wada˛ tej
metody jest to, że idealne rozwiazania
˛
w niej sa˛ w postaci liczb rzeczywistych. Takie
podejście przedstawiono w [12].
Celem niniejszej prezentacji jest ujawnienie tego, że ta metoda może prowadzić do nieprawidłowych wyników, szczególnie w przypadku przecinania si˛e niektórych przedziałów
(wartości kryteriów).
W danej prezentacji zaproponowano nowe podejście do przedziałowego rozszerzenia metody TOPSIS swobodne od wad wcześniejszych metod.
1
2 Metoda TOPSIS i współczesne podejście do jej rozszerzenia przedziałowego
Klasyczna metoda TOPSIS opiera si˛e na założeniu, że najlepsze rozwiazanie
˛
powinno
znajdować si˛e najbliżej od rozwiazania
˛
idealnego oraz najdalej od rozwiazaniu
˛
antyidealnego. Zakłada si˛e przy tym, że jeśli każde kryterium lokalne monotonicznie rośnie
lub maleje, to łatwo jest określić rozwiazania
˛
idealne. Rozwiazania
˛
idealne składaja˛ si˛e
ze wszystkich najlepszych osiagalnych
˛
wartości kryteriów lokalnych, natomiast rozwia˛
zania anty-idealne składaja˛ si˛e ze wszystkich najgorszych osiagalnych
˛
wartości kryteriów
lokalnych.
Załóżmy, że problem MCDM dotyczy zbiorów m alternatyw A1 , A2 , . . . , Am i n kryteriów
C1 , C2 , . . . , Cn . Każda alternatywa zostaje oceniana wzgl˛edem n kryteriów. Oceny
[ odpo]
wiadajace
˛ wskazanym alternatywom i kryteriom tworza˛ macierz decyzyjna˛ D xi j n×m ,
gdzie xi j jest ocena˛ alternatywy Ai według kryteria C j . Niech W = [w1 , w2 , . . . , wn ] jest
wektorem wag kryteriów lokalnych spełniajacym
˛
warunek ∑nj=1 w j = 1.
Metoda TOPSIS składa si˛e z nast˛epujacych
˛
kroków:
1. Normalizacja macierzy decyzyjnej:
ri j = √
xi j
2
∑m
k=1 xk j
, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.
(1)
2. Obliczenie poszczególnych wartości macierzy decyzyjnej przy uwzgl˛ednieniu wag
poszczególnych kryteriów:
vi j = w j × ri j , i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.
(2)
3. Określenie rozwiazań
˛
idealnego i anty-idealnego odpowiednio w sposób nast˛epuja˛
cy:
{
} {(
) (
)}
+
+
A+ = v+
,
v
,
.
.
.
,
v
=
max
v
j
∈
K
,
min
v
j
∈
K
,
(3)
i
i
j
i
i
j
c
b
n
1
2
} {(
{
) (
)}
−
−
min i vi j j ∈ Kb , max i vi j j ∈ Kc ,
A− = v−
(4)
1 , v2 , . . . , vn =
gdzie Kb jest zbiorem kryteriów korzyści, a Kc jest zbiorem kryteriów kosztu.
4. Obliczenie odległości alternatyw od rozwiazań
˛
idealnych: dwie odległości Euklidesowe sa˛ obliczane, odpowiednio, dla każdej alternatywy:
√
(
)
2
∑nj=1 vi j − v+j , i = 1, . . . , m,
√
)2
(
−
Si = ∑nj=1 vi j − v−j , i = 1, . . . , m.
Si+ =
(5)
5. Obliczenie wzgl˛ednej bliskości alternatyw do rozwiazań
˛
idealnych:
RCi =
Si−
, i = 1, 2, . . . , m, 0 ≤ RCi ≤ 1.
Si+ + Si−
2
(6)
6. Przeznaczamy pozycj˛e w rankingu uwzgl˛edniajac
˛ bliskość alternatyw do rozwiazań
˛
idealnych: najwi˛eksze RCi wskazuje na to, że alternatywa Ai jest najlepsza˛ wśród
przedstawionych.
W [3, 4] zostało zaproponowane rozszerzenie klasycznej metody TOPSIS. Podejście to
może być
w sposób nast˛epujacy.
˛
]
[ przedstawione
L
U
Niech xi j , xi j b˛edzie wartościa˛ przedziałowa˛ j-tego kryteria dla i-tej alternatywy (xiLj i
= [w , w , . . . , wn ] b˛edzie wektorem wag
xU
i j sa˛ dolna˛ i górna˛ granicami, odpowiednio), W
[ ] 1 2
n
spełniajacym
˛
warunek ∑ j=1 w j = 1. Wtedy D xi j n×m jest macierza˛ decyzyjna˛ wartości
przedziałowych. Metoda zaproponowana w [3, 4] składa si˛e z nast˛epujacych
˛
kroków:
1. Normalizacja macierzy decyzyjnej za pomoca˛ nast˛epujacych
˛
wzorów:
riLj = (
xiLj
) 1 , j = 1, ..., m; i = 1, ..., n,
(7)
2
m
2
∑ ((xiLj )2 + (xU
ij) )
j=1
rU
ij
=(
xU
ij
) 1 , j = 1, ..., m; i = 1, ..., n,
(8)
2
m
2
∑ ((xiLj )2 + (xU
ij) )
j=1
2. Ze wzgl˛edu na znaczenie wag kryteriów elementy przedziałowej ważonej macierzy
decyzyjnej znormalizowanej określa si˛e nast˛epujacymi
˛
wzorami:
U
vLij = w j × riLj , vU
i j = w j × ri j , i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.
3. Rozwiazania
˛
idealne oraz anty-idealne obliczane sa˛ nast˛epujaco:
˛
{ + +
} {(
) (
)}
+
+
U
A = v1 , v2 , . . . , vn = max i vi j j ∈ Kb , min i vLij j ∈ Kc ,
} {(
) (
)}
{
−
−
min i vLij j ∈ Kb , max i vU
.
A − = v−
i j j ∈ Kc
1 , v2 , . . . , vn =
(9)
(10)
4. Odległość poszczególnych alternatyw od rozwiazań
˛
idealnych jest obliczana przy
pomocy wzoru na n-wymiarowa˛ odległość euklidesowa:
˛
}1
{
)2 2
)2
(
(
+
Si+ = ∑ vLij − v+j + ∑ vU
, i = 1, . . . , m.
(11)
i j −vj
j∈Kb
j∈Kc
Odległość od anty-idealnych rozwiazań
˛
jest obliczana podobnie:
}1
{
)2 2
(
)2
(
−
+ ∑ vLij − v−j
, i = 1, . . . , m.
Si− = ∑ vU
i j −vj
j∈Kb
(12)
j∈Kc
˛
idealnych:
5. Obliczenie wzgl˛ednej bliskości alternatyw do rozwiazań
RCi =
Si−
, i = 1, 2, . . . , m, 0 ≤ RCi ≤ 1.
Si+ + Si−
(13)
Przypisujemy alternatywie pozycj˛e w rankingu uwzgl˛edniajac
˛ jej bliskość do rozwiazań
˛
idealnych: najwi˛eksze RCi wskazuje na to, że alternatywa Ai jest najlepsza˛ wśród przedstawionych.
3
3 Bezpośrednie przedziałowe rozszerzenie metody TOPSIS
3.1 Sformułowanie problemu
Jest jasne, że we wzorach (9)[i (10) maksymalne
i minimalne wartości sa˛ poszukiwa]
L
U
ne wśród granic przedziałów vi j , vi j . Wynika to z założenia, że granice przedziałów
reprezentuja˛ ich wartości. Natomiast takie podejście wydaje si˛e uzasadnione jedynie w
przypadku, gdy przedziały te nie przecinaja˛ si˛e. W przypadku, gdy przedziały przecinaja˛
si˛e, wskazane podejście może doprowadzić do bł˛ednych wyników. Na przykład, rozważmy dwa przedziały [x1 1 ] = [5, 7] i [x2 1 ] = [0, 10] reprezentujace
˛ oceny alternatyw A1 i A2
według kryteria korzyści C1 .
−
Wówczas za pomoca˛ wzorów (9) i (10) otrzymujemy v+
˛ do1 = 10 i v1 = 0; używajac
wolnej metody porównania przedziałów (patrz niżej) otrzymujemy, że [x1 1 ] > [x2 1 ] i dla
−
rozwiazań
˛
idealnego oraz anty-idealnego mamy: [v] +
1 = [5, 7] i [v] 1 = [0, 10] odpowied+
+
nio. Łatwo zauważyć, że v1 = 10 nie zawiera si˛e w [v] 1 .
Wówczas bardziej właściwa˛ metoda˛ określenia rozwiazań
˛
idealnych jest przedstawienie
ich w postaci przedziałów używajac
˛ wzorów
[
] [ +L +U ]
]}
{[
+U
+U
. . , v+L
A+ ={( v+L
n [, vn
1 ,v
[1 , v]2 , v2 ), . (
]=
)} ,
(14)
L
U
L
U
=
maxi vi j , vi j j ∈ Kb , mini vi j , vi j j ∈ Kc
[
] [ −L −U ]
]}
{[
−U
−U
, ]
v2 , v2 ), .(. . , v−L
A− ={( v−L
n [, vn
1 , [v1
]=
)} .
L
U
L
U
=
mini vi j , vi j j ∈ Kb , maxi vi j , vi j j ∈ Kc
(15)
Ponieważ w ramach opisanej metodologii nie dokonujemy redukowania typów (przedstawienia przedziałów przez liczby rzeczywiste), przedstawione podejście otrzymało nazw˛e
Bezpośredniego Przedziałowego Rozszerzenia metody TOPSIS.
Ponieważ w (14) i (15) maja˛ zostać określone maksymalna i minimalna przedziałowe wartości, zasadniczym problemem przedstawionego wyżej podejścia jest porównanie przedziałów.
3.2 Porównanie przedziałów
Do porównania przedziałów zazwyczaj używa si˛e wskaźników ilościowych (patrz [6] i
[7]). Wang w art. [8] zaproponował prosta˛ metod˛e heurystyczna˛ wyznaczajac
˛ a˛ stopień
możliwości tego, że przedział
jest
wi˛
e
kszy
lub
mniejszy
od
drugiego
przedziału.
[
]
[
]
Dla przedziałów B = bL , bU , A = aL , aU prawdopodobieństwo tego, że B ≥ A i A ≥ B,
zostało zdefiniowane w [8, 9] i oblicza si˛e nast˛epujaco:
˛
{
}
{
}
max 0, bU − aL − max 0, bL − aU
P (B ≥ A) =
,
(16)
aU − aL + bU − bL
{
}
{
}
max 0, aU − bL − max 0, aL − bU
.
(17)
P (A ≥ B) =
aU − aL + bU − bL
Wzory te zostały wprowadzone przez Facchinetti w art. [1] i przez Xu i Da [10]. Xu i
Chen [11] pokazali, że wzory zaproponowane w [1, 8] i [10] sa˛ równoważne.
4
Pewna grupa metod używanych do porównania przedziałów opiera si˛e na tzw. podejściu
probabilistycznym (patrz art. [6]). Wyniki uzyskane przy użyciu (16) i (17) sa˛ na ogół
podobne do wyników uzyskanych z wykorzystaniem probabilistycznego podejścia do porównania przedziałów.
Główna˛ wada˛ opisanej wyżej metody jest to, że zapewnia ona wynik wiarygodny tylko jeśli przedziały te maja˛ wspólny obszar (przypadki przecinania si˛e przedziałów i zawierania
si˛e jednego przedziału w drugim sa˛ rozpatrywane oddzielnie w [6]). Jeśli nie wyst˛epuje
przeci˛ecie przedziałów, to prawdopodobieństwo tego, że przedział jest wi˛ekszy lub mniejszy od drugiego jest równe 1 lub 0 bez wzgl˛edu na odległość pomi˛edzy przedziałami. Na
przykład, niech A = [1, 2], B = [3, 4] i C = [100, 200]. Wtedy używajac
˛ podejścia opisanego powyżej otrzymujemy: P (C > A) = P (B > A) = 1, P (A > B) = 0.
Tak wi˛ec można powiedzieć, że w przypadku, gdy przedziały pokrywaja˛ si˛e, te metody
określaja˛ prawdopodobieństwo tego, że przedział jest wi˛ekszy lub mniejszy od drugiego przedziału i prawdopodobieństwo to może być traktowane jako stopień nierówności
przedziałów lub w pewnym sensie odległość pomi˛edzy przedziałami.
Z drugiej strony, metoda ta nie może określić nierówności, gdy przedziały nie maja˛ obszaru wspólnego.
Oczywiście, odległość Hamminga
)
1 ( L
a − bL + aU − bU 2
(18)
)2 (
)2 ) 21
1 (( L
a − bL + aU − bU
2
(19)
dH =
lub odległość Euklidesowa
dE =
moga˛ być używane do obliczania odległości pomi˛edzy przedziałami, natomiast otrzymane
wyniki nie wskazuja˛ wi˛ekszego (lub też mniejszego) przedziału.
W zwiazku
˛
z tym metody te nie moga˛ być stosowane do porównania przedziałów, zwłaszcza wtedy, gdy jeden z przedziałów zawiera si˛e w drugim.
Dlatego proponowano zastosowanie metody bezpośredniego odejmowania przedziałów.
Metoda ta pozwala obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jeden z przedziałów jest wi˛ekszy od drugiego, gdy maja˛ one
obszar
[ Lwspólny
]
[ L i Ugdy
] nie przecinaja˛ si˛e.
U
A wi˛ec dla przedziałów
[ L U ] AL= aL , a U i B U= b U, b Lwynikiem odejmowania jest przedział
C = A − B = c , c ; c = a − b , c = a − b . Łatwo zauważyć, że w przypadku,
gdy przedziały A i B maja˛ obszar wspólny, zawsze otrzymujemy ujemna˛ lewa˛ granic˛e
przedziału C i dodatnia˛ jego prawa˛ granic˛e. Dlatego, aby zmierzyć odległość pomi˛edzy
przedziałami, która ma także wskazać, który z przedziałów jest wi˛ekszy lub mniejszy,
posługujemy si˛e nast˛epujacym
˛
wzorem:
∆A−B =
) (
))
1 (( L
a − bU + aU − bL .
2
(20)
Można udowodnić, że dla przedziałów ze wspólnym środkiem wartość ∆A−B jest zawsze
równa 0. Istotnie, wyrażenie (20) może być zapisane w nast˛epujacy
˛ sposób:
(
)
) 1( U
)
1( L
U
L
∆A−B =
a +a − b +b
.
(21)
2
2
5
Łatwo zauważyć, że wyrażenie (21) stanowi odległość mi˛edzy środkami przedziałów przy
porównaniu A i B. Wniosek Wanga w art.[8] o tym, że wi˛ekszość metod porównania przedziałów całkowicie opiera si˛e na środkach przedziałów, nie jest zaskakujacy.
˛ Wynikiem
odejmowania przedziałów o wspólnych środkach jest przedział o środku 0. W ramach
analizy przedziałowej przedziały takie sa˛ traktowane jako przedziały zerowe.
Ściśle mówiac,
˛ jeśli a jest wartościa˛ rzeczywista,˛ to 0 możemy zdefiniować jako a −
a. Podobnie, jeśli [A jest przedziałem,
] to zero przedziałowe możemy zdefiniować jako
przedział A − A = aL − aU , aU − aL , którego środkiem jest 0. Wówczas wartość ∆A−B
równa˛ 0 dla A i B majacych
˛
wspólny środek może być traktowana jako określenie wartości
zera przedziałowego.
W tablicy 1 zostały zaprezentowane wartości P (A ≥ B), P (B ≥ A) (patrz wyrażenia (16),
(17)), odległość Hamminga dH oraz odległość Euklidesowa dE (patrz wyrażenia (18),
(19)) pomi˛edzy Ai i B , i ∆A−B dla przedziałów A1 = [4, 7], A2 = [5, 8], A3 = [8, 11],
A4 = [13, 16], A5 = [18, 21], A6 = [21, 24], A7 = [22, 25] i B = [7, 22] pokazanych na
Rys.1. Numery w pierwszym wierszu tabeli sa˛ odnoszone do numerów przedziałów Ai ,
i = {1, 2, . . . , 7}.
Rys. 1: Porównywane przedziały
Tab. 1: Wyniki odejmowania przedziałów
Metoda
1
2
3
4
5
6
7
P(A ≥ B)
0
0.06 0.22 0.5 0.78 1
1
P(A ≤ B)
1
0.94 0.78 0.5 0.22 0
0
dE
10.82 10 7.81 6 7.81 10 10.82
dH
9
8
6
6
6
8
9
∆A−B
-9
-8
-5
0
5
8
9
Zauważmy, że wartości ∆Ai −B sa˛ ujemne, gdy Ai ≤ B, i sa˛ dodatnie dla Ai ≥ B. Wyniki
oszacowań tych pokrywaja˛ si˛e (przynajmniej jakościowo) z P(Ai ≥ B) i P(Ai ≤ B). A wi˛ec
można powiedzieć, że znak wielkości ∆Ai −B wskazuje, który z przedziałów jest wi˛ekszy
(lub mniejszy) i wartości abs (∆Ai −B ) moga˛ być traktowane jako odległości pomi˛edzy
przedziałami, ponieważ wartości te sa˛ bliskie wartościom dH i dE w obu przypadkach:
gdy przedziały maja˛ wspólny obszar i gdy si˛e nie przecinaja.˛
6
3.3 Porównanie metod przedziałowego rozszerzenia metody TOPSIS
Po obliczaniu ∆A−B z (14) i (15) łatwo możemy uzyskać idealne rozwiazania
˛
przedziałowe:
{[
] [ +L +U ]
[
]}
+U
+U
A+ = v+L
, v2 , v2 , . . . , v+L
,
n , vn
1 , v1
{[
]
[
]
[
]}
−U
−U
−U
A− = v−L
, v−L
, . . . , v−L
.
n , vn
1 , v1
2 , v2
Ponieważ ∆A−B jest odległościa˛ mi˛edzy punktami środkowymi przedziałów A i B,
wartościSi+ i Si− sa˛ obliczane nast˛epujaco:
˛
Si+
Si−
1
=
2
((
) (
)) 1
+L
+U
L
U
∑ v j + v j − vi j + vi j + 2
j∈Kb
1
=
2
((
)) 1
) ( −L
−U
L
U
+
∑ vi j + vi j − v j + v j
2
j∈Kb
∑
((
))
) ( +L
L
U
+U
vi j + vi j − v j + v j
. (22)
∑
((
) (
))
−L
−U
L
U
vj +vj
− vi j + vi j . (23)
j∈Kc
j∈Kc
Wreszcie za pomoca˛ wyrażenia (13) otrzymujemy wzgl˛edna˛ bliskość RCi dla idealnej
alternatywy.
Rozważmy przykład.
Rozpatrzmy trzy alternatywy Ai , i = {1, 2, 3} i cztery kryteria lokalne C j , j = {1, 2, 3, 4}
w postaci przedziałów przedstawionych w Tablicy 2, gdzie C1 i C2 sa˛ kryteriami korzyści,
a C3 i C4 sa˛ kryteriami kosztu.
W celu podkreślenia zalet opisywanej metody wybraliśmy przykład, w którym wiele przedziałów reprezentujacych
˛
oceny przecinaja˛ si˛e.
A1
A2
A3
Tab. 2: Macierz decyzyjna
C1
C2
C3
C4
[6, 22] [10, 15] [16, 21] [18, 20]
[15, 18] [8, 11] [20, 30] [19, 28]
[9, 13] 12, 17] [42, 48] [40, 49]
Przy pomocy znanej metody rozszerzenia przedziałowego metody TOPSIS [3, 4] (wyrażenia (7)–(17)) otrzymujemy R1 = 0.5311, R2 = 0.6378, R3 = 0.3290 a wi˛ec R2 > R1 >
R3 ; gdy natomiast zastosujemy metody zaproponowanej (wzór (7), (8), (22), (23) i (13))
mamy R1 = 0.7688, R2 = 0.7528, R3 = 0.0717, a zatem R1 > R2 > R3 .
Zwróćmy uwag˛e na znaczna˛ różnic˛e rankingów finałowych uzyskanych za pomoca˛ dwóch
sposobów. Można wytłumaczyć to tym faktem, że metoda zaproponowana w [3, 4] ma
pewne ograniczenia zwiazane
˛
z przedstawieniem przedziałów w postaci wartości rzeczywistych przy obliczeniu rozwiazań
˛
idealnych i skorzystaniu z odległości Euklidesowej,
gdy przedziały przecinaja˛ si˛e.
4 Podsumowanie
W artykule zaproponowano nowe podejście do rozwiazania
˛
MCDM problem przy zastosowaniu przedziałowego rozszerzenia metody TOPSIS. Podejście otrzymało nazw˛e „bezpośredniego rozszerzenia przedziałowego metody TOPSIS” i jest swobodne od ograniczeń, z którymi zwiazane
˛
były dotychczas znane podejścia. Pokazano, że przedstawienie
7
przedziałów w postaci wartości rzeczywistych przy obliczeniu rozwiazań
˛
idealnych może
doprowadzić do wyników nieprawidłowych, również jak i obliczenia przy pomocy odległości Euklidesowej w przypadku, gdy przedziały przecinaja˛ si˛e. Na podstawie przykładu
numerycznego zostało ujawnione, że zaproponowana metoda „bezpośredniego rozszerzenia przedziałowego metody TOPSIS” może zapewnić bardziej dokładne rankingowanie
alternatyw, które znaczaco
˛ różni si˛e od wyników uzyskanych przy użyciu znanych metod.
Literatura
[1] Facchinetti G., Ricci, R.G., Muzzioli, S.: Note on ranking fuzzy triangular numbers. International Journal of Intelligent Systems, 13, 613-622 (1998).
[2] Hwang, C.L., Yoon, K.: Multiple Attribute Decision Making Methods and Applications,
Springer, Berlin Heidelberg, (1981).
[3] Jahanshahlo, G.R., Hosseinzade, L.F., Izadikhah, M.: An algorithmic method to extend TOPSIS for decision making problems with interval data. Applied Mathematics and Computation, 175, 13751384 (2006).
[4] Jahanshahlo, G.R., Hosseinzade, L.F., Izadikhah, M.: Extension of the TOPSIS method for
decision making problems with fuzzy data. Applied Mathematics and Computation, 181,
15441551 (2006).
[5] Lai, Y.J., Liu, T.Y., Hwang, C.L.: TOPSIS for MCDM. European Journal of Operational
Research, 76, 486500 (1994) .
[6] Sevastjanov P.: Numerical methods for interval and fuzzy number comparison based on the
probabilistic approach and DempsterShafer theory. Information Sciences, 177, 4645 - 4661
(2007).
[7] Wang, X., Kerre, E.E.: Reasonable properties for the ordering of fuzzy quantities (I) (II).
Fuzzy Sets and Systems, 112, 387-405 (2001).
[8] Wang, Y.M., Yang,J.B., Xu, D.L.: A preference aggregation method through the estimation
of utility intervals. Computers and Operations Research, 32, 2027-2049 (2005).
[9] Wang, Y.M., Yang,J.B., Xu, D.L.: A two-stage logarithmic goal programming method for
generating weights from interval comparison matrices. Fuzzy Sets and Systems, 152, 475498 (2005).
[10] Xu, Z., Da ,Q.: The uncertain OWA operator. International Journal of Intelligent Systems,
17, 569- 575 (2002).
[11] Xu, Z., Chen, J.: Some models for deriving the priority weights from interval fuzzy preference relations. European Journal of Operational Research, 184,266-280 (2008).
[12] Yue, Z.: An extended TOPSIS for determining weights of decision makers with interval
numbers. Knowledge-Based Systems, 24, 146-153 (2011) .
8