seria1

I
Zad. 1. Dane są wektory:
r
r r
r
r r r
r
r
r
r
r r r
r
r
a) a = 6i + 2 j + 0k
b = 1i + 3 j + 0k
b) a = 2i + 1 j + 1k ,
b = 1i + 1 j + 2k
Wyznaczyć:
r r r r r r
r r
1) c = a + b , d = a − b
2) długości wektorów a , b
r
r r
r
3) iloczyn skalarny a ⋅ b
4) kąt zawarty między wektorami a oraz b
r r r
r
r r
5) iloczyny wektorowe h1 = a × b oraz h2 = b × a
r
r
r
6) wektor g będący rzutem wektora b na kierunek wyznaczony przez wektor a oraz jego długość
r
r
r
7) wektor f będący rzutem wektora a na kierunek wyznaczony przez wersor i = [1,0,0]
Odp. do punktu b)
r
r r r
r
r
r r
r
r r
r
5
3) a ⋅ b = 5 ; 4) cos α = ;
1) c = 3i + 2 j + 3k d = 1i + 0 j − 1k ; 2) a = b = 6 ;
6
r
r
r
r
r r
r
r r
r
r
r 10 r 5 r 5 r
5
g =
7) f = 2i ;
5) h1 = 1i − 3 j + k , h2 = −1i + 3 j − k ; 6) g = i + j + k
6
6
6
6
Zad. 2. Udowodnić tożsamości:
r r r r r r r r r
r r r r r r rr r
a) a ⋅ b × c = b ⋅ (c × a ) = c ⋅ a × b
b) a × b × c = b (a ⋅ c ) − c a ⋅ b
Zad. 3 (W). Obliczyć pracę wykonaną:
(
)
(
)
(
r
r
r
)
( )
a) przez wypadkową stałą siłę F = (3N)i +(4N) j przy przesuwaniu ciała po linii prostej łączącej
r
r
r
r
r
punkty A i B o współrzędnych rA = (1m )i oraz rB = (3m )i + (1m ) j od punktu A do punktu B.
b) przez siłę o wartości F=15N przy przesuwaniu ciała na odcinku d=2m, przy czym wektor siły
tworzy z wektorem określającym przemieszczenie ciała kąt α = 30 0 .
r
Wsk. Dla ruchu po linii prostej od punktu A do B pod wpływem stałej siły F praca wykonana przez tą
r r r
siłę wyraża się wzorem W = (rB − rA ) ⋅ F . Odp.
a) W = 10 J b) W = 15 3 J
Zad. 4 (W). Oblicz wartość momentu siły względem początku układu współrzędnych w przypadku:
r
r
r
r
a) siły F = (1N )i + (1N ) j + (1N )k działającej na ciało znajdujące się w punkcie wyznaczonym przez
r
r
r
wektor wodzący r = (2m )i + (1m ) j + (3m )k
b) siły o wartości F=2N działającej na ciało znajdujące się w odległości r=2m od początku układu
współrzędnych wiedząc, że kąt pomiędzy wektorem wodzącym określającym położenie ciała a wektorem
siły wynosi α = 60 0 .
r r r
Wsk. Moment siły (będący wielkością wektorową) określa wzór M = r × F . Wartość momentu siły jest
r
równa długości wektora M
Odp. a) M = 6 N ⋅ m b) M = 2 3 N ⋅ m
Zad. 5 (W). W chwili początkowej samochód znajdował się w odległości d=4km na wschód od ruin
zamku. Samochód przebył drogę S1=1km jadąc na wschód, następnie S2=5km jadąc na północ i w końcu
S3=4km jadąc w kierunku odchylonym o kąt α = 30 0 od wschodu ku południu.
1) Znaleźć w kartezjańskim dwuwymiarowym układzie współrzędnych o początku w miejscu położenia
ruin zamku i osi Ox zwróconej w kierunku wschodnim, zaś osi Oy zwróconej w kierunku północnym
a) wypadkowe przemieszczenie samochodu licząc od punktu startu
r
b) wektor (promień) wodzący rk określający położenie samochodu po przebyciu całej drogi.
2) Określić całkowitą drogę pokonaną przez samochód.
Zad. 6 (W). Czółno porusza się z jednego na drugi brzeg rzeki o szerokości d=30m z prędkością własną
(mierzoną względem wody) o wartości Vc = 3m / s skierowaną prostopadle do brzegu rzeki. Wskutek
prądu rzeki czółno po dotarciu do przeciwnego brzegu rzeki znalazło się w odległości l=20m poniżej
miejsca leżącego naprzeciw miejsca wyruszenia czółna. Określić wartość prędkości prądu rzeki.
Zad. 7 (W). Po obu brzegach rzeki o szerokości d znajdują się naprzeciwko siebie dwie przystanie.
Wartość prędkości prądu rzeki wynosi Vr . W jakim kierunku winna płynąć łódź przewoźnika, aby
przepłynąć rzekę wzdłuż linii prostej łączącej obie przystanie? Określić wartość wypadkowej prędkości, z
jaką będzie się wówczas poruszać łódź w poprzek rzeki oraz czas po którym przepłynie przez rzekę.
Wartość prędkość łodzi względem wody wynosi Vl .
Zad. 8. Samolot leci po linii prostej z miasta A do miasta B położonego względem miasta A w kierunku
wschodnim. Wiadomo, że czas przelotu samolotu przy pogodzie bezwietrznej wynosi t1. Czas przelotu
samolotu w sytuacji, gdy na całej trasie wiał wiatr z południa na północ o stałej nieznanej prędkości
wyniósł t2. Obliczyć czas przelotu samolotu w sytuacji, gdy wiatr o tej samej wartości prędkości wiałby ze
wschodu na zachód. Założyć, że wartość prędkości samolotu względem powietrza jest zawsze stała,
natomiast kierunek wektora prędkości pilot ustala w ten sposób, by lecieć po linii prostej łączącej oba
miasta. Odp. t =
t 1t 2
t 2 − t 22 − t12
Zad. 9 (W). Łódź płynie z prądem rzeki z przystani A do B w czasie t1, a z B do A pod prąd w czasie t2.
2t t
Ile czasu trzeba, aby łódź spłynęła z przystani A do B z wyłączonym silnikiem? Odp. t w = 1 2
t 2 − t1
Zad. 10 (W). Pierwszą połowę drogi pojazd przebył z prędkością o wartości V1=18 km/h, a drugą z
prędkością o wartości V2=9 km/h. Obliczyć średnią wartość prędkości pojazdu na trasie. Na wykresie
zależności wartości prędkości od czasu przedstawić geometrycznie drogę przebytą przez pojazd.
2V1V2
Odp. Vsr =
= 12km / h
V1 + V2
Zad. 11 (W). Biegacz przebiegł dwie trzecie trasy z prędkością o wartości V1=18km/h , a pozostałą cześć
trasy z inną prędkością V2. Gdyby biegł cały czas z prędkością o wartości V=12km/h to czas potrzebny na
VV1
przebycie całej drogi nie zmieniłby się. Obliczyć wartość prędkości V2. Odp. V2 =
= 7,2km / h
3V1 − 2V
Zad. 12 (W). Samochód jadący z prędkością o wartości V0=20m/s zaczyna hamować i porusza się ze
stałym opóźnieniem a op = 5m / s 2 . Jaka będzie droga hamowania? Po jakim czasie samochód zatrzyma
V0
V2
= 4 s , S h = 0 = 40m
a op
2a op
Zad. 13 (W). Rowerzysta porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. W ciągu t=10s przejechał on
drogę S=30m, przy czym jego prędkość wzrosła pięciokrotnie. Określić przyspieszenie rowerzysty.
4S
Odp. a = 2 = 0,4m / s 2
3t
Zad. 14. Maszynista pociągu osobowego jadącego z prędkością o wartości V1 spostrzega w odległości d
od początku swojego pociągu pociąg towarowy jadący po tym samym torze w tym samym kierunku z
mniejszą prędkością o wartości V2. Uruchamiając hamulce nadaje on swojemu pociągowi stałe
się? Odp. t h =
opóźnienie o wartości aop>0. Pokazać, że jeżeli d >
(V1 − V2 )2 to nie dojdzie do zderzenia, a jeżeli
2aop
(V1 − V2 ) to nastąpi zderzenie. Po jakim czasie ono nastąpi?
2
d≤
2a op
Zad. 15 (W). Chłopiec podrzuca piłkę do góry z prędkością początkową o wartości V0 . Po jakim czasie
wartość prędkości piłki zmniejszy się dwukrotnie? Na jakiej wysokości znajdować się będzie wówczas
V0
3V02
piłka? Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g. Odp. t p =
, h=
8g
2g
Zad. 16 (W). Ciało rzucone pionowo do góry powróciło na ziemie po upływie czasu tc=3,0s. Jaka była
wartość prędkości początkowej ciała? Na jaką wysokość wzniosło się ciało? Znana jest wartość
przyspieszenia ziemskiego g=9,81m/s2. Odp. V0 =
gt c
gt 2
≈ 14,7m / s ; h = c ≈ 11,0m
2
8
Zad. 17 (W). Z balonu wznoszącego się pionowo do góry ruchem jednostajnym z prędkością o wartości
V0=5m/s wypadł przedmiot. Na jakiej wysokości nad ziemią był balon w chwili wypadnięcia przedmiotu,
jeśli przedmiot po czasie tc=4s od chwili wypadnięcia spadł na ziemię? Jaka była wartość prędkości
przedmiotu w momencie upadku jego na ziemię? Po jakim czasie przedmiot osiągnął najwyższą
wysokość nad ziemią i na jakiej wysokości znajdował się on wówczas nad ziemią? Znana jest wartość
przyspieszenia ziemskiego g=9,81m/s2.
Zad. 18. Znaleźć wartość prędkości początkowej z jaką wyrzucono ciało pionowo do góry, jeżeli na
wysokości h znajdowało się ono dwukrotnie w odstępie czasu ∆t . Nie uwzględniać oporu powietrza.
Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g. Odp. V0 = 2 gh +  g∆t 
 2 
2