Podstawy fizyki: Elektryczność i magnetyzm

Podstawy fizyki: Elektryczność i magnetyzm
Zestaw 4
1. Znaleźć wartość siły, z jaką przyciągają się dwa różnoimienne jednorodnie naładowane
odcinki o długościach 11 i l2, leżące na jednej prostej, jeżeli ładunek całkowity pierwszego
wynosi q, ładunek drugiego Q, a odległość między środkami odcinków wynosi
r (2r > l1 + l2).
2. Oblicz energię potencjalną jednorodnie naładowanej sfery o promieniu R, gęstość
powierzchniowa ładunku jest równa σ (poprzez obliczenie pracy niezbędnej na
przeniesienie odpowiedniego ładunku elektrycznego znajdującego się w nieskończoności
na sferę), oraz energię potencjalną jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R, gęstość
objętościowa ładunku jest równa ρ (poprzez rozkład kuli na współkoncentryczne sfery
i obliczenie pracy niezbędnej na przeniesienie odpowiedniego ładunku elektrycznego
znajdującego się w nieskończoności). Rozwiąż powyższe problemy również poprzez
scałkowanie gęstości energii pola elektrostatycznego.
3. Cztery takie same ładunki q+ znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 2a. Oblicz
pracę jaką należy wykonać, aby zmniejszyć bok kwadratu dwukrotnie.
4. Funkcja φ(x, y, z) daje się rozwinąć w szereg potęgowy wokół punktu (x 0, y0, z0).
Pokazać, że jeśli φ spełnia równanie Laplace’a ∇2φ = 0 to φ(x0, y0, z0) jest równe średniej
wartości φ wziętej w sześciu punktach: (x0 ± δ, y0, z0), (x0, y0 ± δ, z0) i (x0, y0, z0 ± δ)
z dokładnością do członów trzeciego rzędu w δ. Pokazać jak udowodniona własność może
zostać zastosowana do rozwiązywania cząstkowych równań różniczkowych.
5. Znajdź rozkład ładunków wytwarzający pole o potencjale φ(r) = qe−ar/(4πεr).
6. Oblicz pojemność:
a. nieskończonego kondensatora płaskiego (na jednostkę powierzchni). Odległość
między okładkami kondensatora wynosi d.
b. nieskończenie długiego kondensatora walcowego (na jednostkę długości).
Promienie walców wynoszą R1 i R2 (R1 < R2).
7. Opisz zachowanie prostopadłościanu o masie m i wymiarach a×a×b wykonanego
z materiału o stałej dielektrycznej ε, który został wsunięty do połowy do kondensatora
podłączonego do baterii o napięciu U, a następnie puszczony swobodnie. Wartość siły
tarcia pomiędzy prostopadłościanem a okładkami kondensatora wynosi T. Okładki
kondensatora są kwadratowe, a odległość między nimi wynosi b. Pomiń wpływ sił
grawitacji na układ. Przenikalność elektryczna próżni wynosi ε0.
8. Rozważ uziemioną, przewodzącą sferę o promieniu R.
a. Ładunek punktowy q jest umieszczony w odległości s od środka sfery (s > R).
Znajdź potencjał pola elektrycznego w całej przestrzeni. Oblicz rozkład
wyindukowanego na sferze ładunku i wyznacz całkowity wyindukowany ładunek.
b. Sfera umieszczona jest w zewnętrznym jednorodnym polu elektrycznym
o natężeniu E0. Wyznacz rozkład indukowanego na sferze ładunku oraz oblicz
polaryzowalność elektryczną sfery.
http://chaos.if.uj.edu.pl/~sacha/elm.html