Analiza matematyczna - 13. Elementy teorii równań różniczkowych

Analiza matematyczna - 13. Elementy teorii równań różniczkowych zwyczajnych
Często zdarza się, że poszukując zależności pomiędzy wielkościami ekonomicznymi (np.
A i B) napotykamy na informacje dotyczące prędkości wzrostu wielkości A w stosunku
do wielkości B. Jeśli potrafimy opisać tę prędkość jako funkcję 𝐴′ (𝐵) to wystarczy ją
scałkować, by uzyskać zależność funkcyjną 𝐴(𝐵). Jednak zdarza się, że mamy tylko
pewne informacje o 𝐴′ (𝐵) przedstawione w formie równania, a nie sam wzór. Takie
równanie, którego niewiadomą jest funkcja i w którym występują pochodne tej funkcji
nazywamy równaniem różniczkowym. Czasem takie równania się da rozwiązać i o tego
typu równaniach jest ten rozdział.
Dodam jeszcze, że równania różniczkowe mają poważne zastosowania w jakichkolwiek
badaniach naukowych, w których występuje ruch lub zmiana warunków (tzw. układ
dynamiczny). Na nich opiera się cała klasyczna fizyka, a coraz częściej są konieczne do
modelowania zjawisk z dziedzin innych nauk przyrodniczych i społecznych.
I. Podstawowe oznaczenia i definicje. Istnienie rozwiązań
W tym rozdziale rozważamy funkcje różniczkowalne jednej zmiennej 𝑦(𝑥), gdzie
𝑦 : ℝ ⊃ 𝐷𝑦 → ℝ. Pochodną takiej funkcji oznaczaliśmy przez 𝑦 ′ , jednak w tym rozdziale
𝑑𝑦
wyjątkowo będziemy zazwyczaj używać bardziej fizycznej notacji 𝑑𝑥
(ze względów
„mnemotechnicznych” - jak zobaczymy, taki zapis ułatwi nam rozwiązywanie pewnych
typów równań).
Definicja 1. Niech 𝑓 : ℝ𝑛+2 ⊃ 𝐷𝑓 → ℝ. Wtedy r ównaniem różniczkowym
zwyczajnym rzędu 𝑛 nazywamy równanie 𝑓 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), 𝑦 ′′ (𝑥), . . . , 𝑦 (𝑛) (𝑥)) = 0, w którym
niewiadomą jest funkcja jednej zmiennej 𝑦 i w którym występuje pochodna rzędu 𝑛 tej
funkcji (𝑦 (𝑛) (𝑥)) i mogą występować pochodne niższych rzędów, sama funkcja 𝑦 i zmienna
niezależna 𝑥. Rozwiązaniem (lub całką) takiego równania jest 𝑛-krotnie różniczkowalna
funkcja 𝑦, która je spełnia dla każdego 𝑥 w swojej dziedzinie.
Słowo „zwyczajny” w definicji odróżna te równania od równań różniczkowych cząstkowych,
które odpowiadają za poszukiwanie funkcji wielu zmiennych na podstawie informacji o
ich pochodnych cząstkowych. Takie równania są o wiele bardziej skomplikowane i nie
będziemy się nimi zajmować. Warto zauważyć, że równanie różniczkowe z definicji dane
jest w postaci uwikłanej ze względu na wszystkie zmienne.
Przykład (II zasada dynamiki Newtona).
Zasadę dynamiki Newtona znają Państwo na pewno w postaci 𝐹 = 𝑎𝑚, gdzie 𝐹 jest
siłą działającą na ciało, 𝑎 - przyspieszeniem, jakiego ciało nabiera pod wpływem tej siły,
a 𝑚 - masą ciała. Zauważmy, że jeśli przez 𝑥(𝑡) oznaczymy położenie ciała w czasie 𝑡
to 𝐹 może być dowolną funkcją zależną od 𝑥 i 𝑡, 𝑎(𝑡) jest drugą pochodną funkcji 𝑥, a
𝑚 jest stałą. Dlatego jeśli zdefiniujemy 𝑓 (𝑡, 𝑥(𝑡), 𝑥′ (𝑡), 𝑥′′ (𝑡)) = 𝐹 (𝑥(𝑡), 𝑡) − 𝑚 ⋅ 𝑥′′ (𝑡), to
𝑓 (𝑡, 𝑥(𝑡), 𝑥′ (𝑡), 𝑥′′ (𝑡)) = 0 jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia. Jeśli założymy,
𝐹
że 𝐹 jest stałe i 𝑚
= 𝑎 ∈ ℝ to rozwiązanie tego równania będzie znanym ze szkoły wzorem
na położenie ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym.
Teraz, do końca tego rozdziału, skupimy się na równaniach różniczkowych zwyczajnych
pierwszego rzędu, czyli zawierających tylko zmienną niezależną, funkcję oraz jej pierwszą
pochodną. Najczęściej równania te będą w postaci rozwikłanej ze względu na pierwszą
pochodną, czyli tzw. normalnej.
Definicja 2. Postać normalna równania różniczkowego pierwszego rzędu to równanie
𝑑𝑦
postaci 𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥, 𝑦(𝑥)), gdzie 𝐷𝑔 ⊂ ℝ2 .
Rozwiązywanie równania różniczkowego jest w pewnym sensie uogólnionym całkowaniem.
Dlatego równanie różniczkowe najczęściej ma nieskończenie rozwiązań. Aby otrzymać
pojedyncze rozwiązanie, narzuca się dodatkowe warunki np. wartość w pewnym „punkcie
początkowym”.
1
2
Definicja 3. Zagadnienie Cauchy’ego (lub zagadnienie początkowe) to zadanie polegające
na wyznaczeniu rozwiązania równania różniczkowego spełniającego warunek:
{
𝑦 ′ (𝑥) = 𝑔(𝑥, 𝑦(𝑥))
.
𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0
Takie zagadnienie, przy pewnych niezbyt restrykcyjnych założeniach, ma dokładnie jedno
rozwiązanie.
Twierdzenie 1 (Peano-Picarda). Jeśli 𝑔 : ℝ2 → ℝ jest funkcją różniczkowalną w pewnym
otoczeniu (𝑥0 , 𝑦0 ) to zagadnienie Cauchy’ego zadane tak jak w definicji 3 posiada dokładnie jedno rozwiązanie 𝑦 w pewnym otoczeniu 𝑥0 .
II. Przykłady ekonomiczne
Przykład (Model Friedmana oczekiwań inflacyjnych)
W warunkach długotrwałej inflacji ludzie przyjmują pewne oczekiwania inflacyjne (czyli
przewidują przyszłą inflację na pewnym poziomie), co wpływa na ich zachowania rynkowe.
Milton Friedman modelował te oczekiwania za pomocą prostego równania różniczkowego:
𝑑𝜋
= 𝑎(𝑝 − 𝜋),
𝑑𝑡
gdzie 𝑎 ∈ (0, 1], 𝜋(𝑡) oznacza oczekiwaną, a 𝑝(𝑡) rzeczywistą stopę inflacji w momencie
𝑡. Model powstał na bazie następującej obserwacji: jeśli w danej chwili 𝑝 > 𝜋 to stopa
oczekiwana będzie rosnąć (czyli 𝑑𝜋
> 0), zaś jeśli 𝑝 < 𝜋 to stopa oczekiwana będzie maleć
𝑑𝑡
𝑑𝜋
(czyli 𝑑𝑡 < 0).
Przykład (Model wzrostu Domara)
Budujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości
inwestycji (𝐼) na dochód narodowy (𝑌 ). Inwestycje w modelu wpływają na dochód w
przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego.
Inwestycje (𝐼) z definicji to stopa przyrostu kapitału (𝐾): 𝐼 = 𝑑𝐾
. Zakładamy, że po𝑑𝑡
tencjał produkcyjny (Υ), czyli największy produkt narodowy możliwy do wytworzenia
w chwili 𝑡 jest proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(𝑡) = 𝜌𝐾(𝑡), gdzie 𝜌 jest
współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że
𝑌 (𝑡) = Υ(𝑡).
Z kolei, jeśli 𝑠 jest krańcową skłonnością do oszczędzania
dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona:
zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać 𝑠 𝑑𝑌
= 𝑑𝐼
. Łącząc te równości otrzymu𝑑𝑡
𝑑𝑡
jemy:
𝑑𝐼
= 𝜌𝑠𝐼.
𝑑𝑡
III. Podstawowe typy równań różniczkowych i sposoby ich rozwiązywania
Zasadniczo, przygniatającej większości równań różniczkowych nie da się rozwiązać analitycznie, a przynajmniej przedstawić algorytmu, który w skończonej liczbie kroków dawałby
ich rozwiązanie. W wielu wypadkach również rozwiązania numeryczne (czyli przybliżone,
obliczone za pomocą komputerów) nie zdają egzaminu ze względu na tzw. silną zależność od warunków początkowych (popularniejszymi, acz mniej ścisłymi określeniami
tego zjawiska są chaos lub efekt motyla), czyli fakt, że mała niedokładność pomiaru stanu
początkowego układu, który dane równanie różniczkowe modeluje, może powodować po
pewnym czasie dowolnie dużą różnicę między przewidywaniami modelu a stanem rzeczywistym.
Poniżej zajmiemy się jedynie kilkoma najprostszymi rodzajami równań różniczkowych,
które akurat da się rozwiązać.
3
A. Najprostsze równania różniczkowe to równania postaci:
𝑑𝑦
= 𝑓 (𝑥), gdzie 𝑓 jest pewną funkcją zależną tylko od zmiennej 𝑥.
𝑑𝑥
∫
Ich rozwiązania są oczywiście wyrażone wzorem 𝑦(𝑥) = 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶.
B. Do prostych równań różniczkowych zalicza się też równania o rozdzielonych
zmiennych
𝑑𝑦
= 𝑔(𝑥)
𝑓 (𝑦)
𝑑𝑥
Rozwiązujemy je „mnożąc” obie strony przez 𝑑𝑥 i następnie całkując:
∫
∫
𝑑𝑦
𝑓 (𝑦)
= 𝑔(𝑥) =⇒ [𝑓 (𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] =⇒
𝑓 (𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑥
Oczywiście, zapis w nawiasie kwadratowym powyżej jest zupełnie niepoprawny
(przynajmniej według naszej wiedzy), bo samo 𝑑𝑥 bądź 𝑑𝑦 nie ma zdefiniowanego
znaczenia. To „mnożenie” jest tylko mnemotechniczną sztuczką, dzięki której możemy
łatwo zapamiętać sposób rozwiązywania równania o zmiennych rozdzielonych, a nie
jakimś znanym nam działaniem. Dlatego, zanim ćwiczeniowiec/wykładowca się
zorientuje, że robimy z tym równaniem coś nieprzyzwoitego, musimy dopisać szybko
całkę po obu stronach i już wszystko jest w porządku.
Przykład Dla stałego 𝑝, model Friedmana oczekiwań inflacyjnych jest zadany równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.
C. Rozdzielając zmienne możemy rozwiązać w szczególności równania liniowe jednorodne postaci:
𝑑𝑦
+ 𝑓 (𝑥)𝑦 = 0,
𝑑𝑥
przenosząc na drugą stronę i dzieląc przez 𝑦 (tu musimy zauważyć, że funkcja 𝑦 = 0
spełnia równanie, więc można założyć 𝑦 ∕= 0 i dzielić):
∫
∫
1
𝑑𝑦 = − 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥.
𝑦
Dostaniemy rozwiązanie postaci ln ∣𝑦∣ = −𝐹 (𝑥) + 𝑐, czyli 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒−𝐹 (𝑥) , gdzie 𝐹 (𝑥)
jest funkcją pierwotną dla 𝑓 (𝑥), a 𝐶 – dowolną stałą. Oczywiście pamiętamy, że
funkcja dana wzorem 𝑦(𝑥) = 0 też jest rozwiązaniem.
Przykład Model wzrostu Domara jest oparty na równaniu różniczkowym liniowym
jednorodnym.
D. Metoda uzmienniania stałej, przydaje się przy dostosowaniu poprzedniej metody
do rozwiązywania równań liniowych niejednorodnych postaci:
𝑑𝑦
+ 𝑓 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥).
𝑑𝑥
Postępujemy następująco: rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne
𝑑𝑦
+ 𝑓 (𝑥)𝑦 = 0
𝑑𝑥
metodą podaną powyżej, dostając ogólne rozwiązanie postaci 𝑦 = 𝐶𝑒−𝐹 (𝑥) .
Teraz zakładamy, że 𝐶 jest funkcją 𝐶(𝑥) zmiennej 𝑥, różniczkujemy:
𝑑𝑦
= 𝐶 ′ (𝑥) ⋅ 𝑒−𝐹 (𝑥) − 𝐶(𝑥) ⋅ 𝐹 ′ (𝑥)𝑒−𝐹 (𝑥) ,
𝑑𝑥
i podstawiamy do pierwotnego równania. Powinno się ładnie poskracać i dostaniemy
wzór na 𝐶 ′ (𝑥). Całkujemy go i dostajemy wzór na 𝐶(𝑥), który wstawiamy do
rozwiązania 𝑦 = 𝐶(𝑥)𝑒−𝐹 (𝑥) .
𝑦 = 𝐶(𝑥)𝑒−𝐹 (𝑥) =⇒
4
Przykład.
𝑦(0) = 3.
Rozwiązać równanie
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
− 𝑥𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 z warunkiem początkowym
E. Podstawienia
Niektóre równania dają się sprowadzić do równań o zmiennych rozdzielonych przez
proste podstawienie. Pierwszym przykładem są równania postaci:
𝑑𝑦
= 𝑓 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐),
𝑑𝑥
dla których stosujemy podstawienie 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐, przekształcamy (na podstawie
reguły łańcuchowej)
(
)
𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑦
1 𝑑𝑧
=𝑎+𝑏
⇒
=
−𝑎
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑏 𝑑𝑥
𝑑𝑧
i ostatecznie nasze równanie jest postaci, którą już łatwo scałkowac: 𝑑𝑥
= 𝑏𝑓 (𝑧) + 𝑎.
Uwaga! Proszę pamiętać, że szukaną funkcją jest 𝑦, a więc po znalezieniu 𝑧, należy
jeszcze wyznaczyć 𝑦 = 1𝑏 (𝑧 − 𝑎𝑥 − 𝑐).
𝑑𝑦
Przykład 𝑑𝑥
= (𝑥 − 𝑦)2 + 1.
Inny typ równania, które da się sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych
to równanie jednorodne, czyli równanie postaci 𝑦 ′ = 𝑓 ( 𝑥𝑦 ). Podstawiamy wtedy
𝑢 = 𝑥𝑦 , stąd 𝑦 = 𝑢𝑥 i na podstawie wzoru na pochodną iloczynu mamy:
𝑑𝑦
Przykład 𝑥2 𝑑𝑥
𝑑𝑢
1
𝑑𝑢
1
𝑑𝑦
=𝑢+𝑥
⇒
= .
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑓 (𝑢) − 𝑢 𝑑𝑥
𝑥
2
2
= 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 .