Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Transkrypt
Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Politechnika Gda ska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra In ynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa Materiały pomocnicze do wicze – termin T9 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in . Michał Grochowski, dr in . Robert Piotrowski, dr in . Tomasz Rutkowski, dr in . Gda sk, pa dziernik 2009 Transmitancja operatorowa Zapis liniowego układu ci głego w postaci równania ró niczkowego n-tego rz du nie jest jedynym sposobem zapisu. Układ ten mo na równie opisa w postaci transmitancji operatorowej. Niech s b dzie operatorem takim, e: dk s = k ; k = 1,2, dt k (1) ,n Dodatkowo, niech Y ( s ) oraz U ( s ) b d transformatami Laplace'a odpowiednio sygnału wyj cia y ( t ) oraz sygnału wej cia u ( t ) . Przypominaj c, liniowy układ ci gły opisany równaniem ró niczkowym n-tego rz du mo na przedstawi w postaci: an d n y (t ) d n −1 y ( t ) + a n −1 + n dt dt n −1 + a1 dy ( t ) d mu ( t ) d m −1u ( t ) + a 0 y (t ) = bm + b m −1 + m dt dt dt m −1 + b1 du ( t ) + b0 u ( t ) dt (2) gdzie: n ≥ m. Korzystaj c z zale no ci (1) równanie (2) mo na zapisa w nast puj cej postaci: (a n s n + a n −1 s n − 1 + + a 1 s + a 0 ) ⋅ Y ( s ) = ( b m s m + b m −1 s m −1 + + b1 s + b0 ) ⋅U ( s ) (3) Zatem, dla układu opisanego równaniem ró niczkowym (2) mo na wyznaczy transmitancj operatorow (zakładaj c zerowe warunki pocz tkowe): m m −1 Y ( s ) b m s + b m −1 s + G (s) = = U ( s ) a n s n + a n −1 s n −1 + def + b1 s + b0 + a1 s + a0 (4) Transmitancja operatorowa układu (funkcja przej cia układu) – stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyj ciowego tego układu Y ( s ) do transformaty Laplace'a jego sygnału wej ciowego U ( s ) przy zerowych warunkach pocz tkowych. Transmitancj operatorow oznaczamy jako G ( s ) i jest ona funkcj argumentu zespolonego s. Pierwiastki licznika transmitancji operatorowej to zera transmitancji operatorowej, za pierwiastki mianownika transmitancji operatorowej to bieguny transmitancji operatorowej. Transmitancja widmowa Analiza cz stotliwo ciowa układów dynamicznych słu y do analizy układu ze wzgl du na jego zdolno ci przenoszenia sygnałów sinusoidalnych, badaj c zmiany, jakim ulega sygnał tego typu po przej ciu przez układ dynamiczny. Podstawowym poj ciem charakteryzuj cym powy sze wła ciwo ci układu jest transmitancja widmowa. W oparciu o twierdzenie Eulera dla liczb zespolonych: e j ϕ = cos ϕ + j sin ϕ (5) mo emy zapisa wej ciowy sygnał harmoniczny w postaci: u ( t ) = A1 (ω ) ⋅ ( cos ω t + j sin ω t ) = A1 (ω ) ⋅ e j ω t (6) gdzie: A1 – amplituda sygnału, ω – pulsacja sygnału, T – okres drga Odpowied układu na wymuszenie harmoniczne u ( t ) b dzie równie harmoniczna o takiej samej pulsacji ω , ale o innej amplitudzie A2 i przesuni ta w fazie wzgl dem u ( t ) o k t ϕ : j ω t +ϕ ( ω ) ) y ( t ) = A2 (ω ) ⋅ cos (ω t + ϕ (ω ) ) + j sin (ω t + ϕ (ω ) ) = A2 (ω ) ⋅ e ( (7) Podstawiaj c (6) i (7) do (2) mamy: n n −1 j ω t +ϕ (ω ) ) j ω t +ϕ ( ω ) ) a n ( j ω ) ⋅ A 2 (ω ) ⋅ e ( + a n −1 ( j ω ) ⋅ A 2 (ω ) ⋅ e ( + m = b m ( j ω ) ⋅ A1 (ω ) ⋅ e j ω t + b m −1 ( j ω ) m −1 ⋅ A1 (ω ) ⋅ e j ω t + j ω t +ϕ (ω ) ) a 0 ⋅ A 2 (ω ) ⋅ e ( = b0 ⋅ A1 (ω ) ⋅ e j ω t (8) Z zale no ci (8) otrzymujemy: n n −1 j ω t +ϕ ( ω ) ) A 2 (ω ) ⋅ e ( ⋅ a n ( j ω ) + a n −1 ( j ω ) + m = A1 (ω ) ⋅ e j ω t ⋅ b m ( j ω ) + b m −1 ( j ω ) W konsekwencji dostajemy zale no G ( jω ) = m −1 a0 = (9) + b0 na transmitancj widmow : m m −1 n n −1 b m ( j ω ) + b m −1 ( j ω ) a n ( j ω ) + a n −1 ( j ω ) + b0 + a0 = A2 (ω ) A1 (ω ) ⋅ e j ϕ (ω ) (10) Transmitancj widmow mo na wyznaczy tak e na podstawie transmitancji operatorowej korzystaj c z podstawienia s = j ω : G ( j ω ) = G ( s ) s= jω (11) Korzystaj c z zale no ci (11), transmitancj widmow mo na przedstawi w postaci modułu L (ω ) = G ( j ω ) i argumentu ϕ (ω ) = arg G ( j ω ) : G ( j ω ) = L (ω ) ⋅ e j ϕ (ω ) = G ( jω ) ⋅e j arg G ( j ω ) (12) Z matematycznego punktu widzenia transmitancja widmowa jest wektorem, którego moduł L (ω ) dla ka dej pulsacji ω jest stosunkiem amplitudy sygnału wyj ciowego A2 (ω ) do amplitudy sygnału wej ciowego A1 (ω ) (Rysunek 1): L (ω ) = G ( j ω ) = A 2 (ω ) (13) A1 (ω ) za argumentem ϕ (ω ) jest przesuni cie fazowe sygnału wyj ciowego wzgl dem sygnału wej ciowego: ϕ (ω ) = arg G ( j ω ) (14) Oczywi cie transmitancj widmow (jak ka d liczb zespolon ) mo na zapisywa równie w postaci algebraicznej wyodr bniaj c cz rzeczywist P (ω ) = Re G ( j ω ) i urojon Q (ω ) = Im G ( j ω ) : G ( j ω ) = P (ω ) + j Q (ω ) = Re G ( j ω ) + j Im G ( j ω ) (15) Mi dzy poszczególnymi wielko ciami zachodz nast puj ce zale no ci (Rysunek 1): L ( ω ) = P 2 (ω ) + Q 2 (ω ) ϕ (ω ) = arc tg (16) Q (ω ) P (ω ) Q (ω) P (ω 1) ω = 0 ω→ ∞ P (ω) ϕ (ω 1) L (ω 1) Q (ω 1) Rysunek 1. Przykładowa charakterystyka amplitudowo – fazowa Dla ka dej pulsacji ω (np. ω = ω 1 ) transmitancja widmowa jest liczb zespolon i wyznacza ( ) punkt o współrz dnych P (ω 1 ) ,Q (ω 1 ) . Punkt ten jest ko cem wektora G ( j ω 1 ) o długo ci L (ω 1 ) i k cie nachylenia ϕ (ω 1 ) . Zadanie 1 Dany jest model matematyczny czwórnika RC (kondensator ładowany przez rezystor) (Rysunek 2) postaci: d u wy ( t ) dt =− 1 1 ⋅ u wy ( t ) + ⋅ u we ( t ) R ⋅C R ⋅C R iR(t) (17) iobc(t) iC(t) uR(t) uwe(t) uC(t) uwy(t) C Rysunek 2. Czwórnik RC Jako wej cie układu przyj u we ( t ) , jako wyj cie u wy ( t ) . Wyznaczy transmitancj operatorow i widmow . Wyznaczon transmitancj przedstawi w postaci umo liwiaj cej odczytanie nast puj cych wielko ci: wzmocnienie statyczne układu, stałe czasowe układu, zera i bieguny układu, cz rzeczywista transmitancji widmowej, cz urojona transmitancji widmowej. Rozwi zanie Zadania 1 Dokonuj c transformaty Laplace’a zale no ci (17), zakładaj c zerowe warunki pocz tkowe i korzystaj c z własno ci liniowo ci transformaty Laplace’a mamy: £ d u wy ( t ) dt Uwzgl dniaj c własno uzyskujemy: £ =− 1 1 ⋅ £ u wy ( t ) + ⋅ £ u we ( t ) R ⋅C R ⋅C transformaty Laplace'a zwi zan d u wy ( t ) dt =− (18) z mno eniem przez stał 1 1 ⋅ £ u wy ( t ) + ⋅ £ u we ( t ) R ⋅C R ⋅C Po podstawieniu do wyra enia (19) transformat odpowiednich pochodnych otrzymujemy: (19) s ⋅ U wy ( s ) = − 1 1 ⋅ U wy ( s ) + ⋅U we ( s ) R ⋅C R ⋅C (20) co po prostych przekształceniach pozwala uzyska : U we ( s ) = U wy ( s ) ⋅ ( s ⋅ R ⋅ C + 1) (21) Ostatecznie otrzymujemy transformat sygnału wyj ciowego do wej ciowego przy zerowych warunkach pocz tkowych: G (s) = U wy ( s ) = U we ( s ) 1 s ⋅ R ⋅C + 1 (22) Wyra enie (22) umo liwia odczytanie wzmocnienia statycznego oraz stałej czasowej układu: k = 1, T = R ⋅C . Transmitancja operatorowa opisana zale no ci (22) nie ma zer i zawiera jeden biegun: 1 1 = . T R ⋅C Przekształcaj c transmitancj operatorow do transmitancji widmowej w pierwszej kolejno ci w wyra eniu (22) wprowadzamy operator widmowy poprzez podstawienie s = jω : G ( jω ) = 1 jω ⋅ R ⋅C + 1 (23) Nast pnie mno c licznik i mianownik przez liczb sprz on do mianownika uzyskujemy: G ( jω ) = 1− jω ⋅ R ⋅C 1+ jω ⋅ R ⋅C 1− jω ⋅ R ⋅C 1 ⋅ (24) co po prostych przekształceniach pozwala uzyska : G ( jω ) = 1 1 + (ω ⋅ R ⋅ C ) Ostatecznie mo emy wyodr bni cz 2 − jω ⋅ R ⋅C 1 + (ω ⋅ R ⋅ C ) 2 (25) rzeczywist i urojon transmitancji widmowej: Re [G( jω )] = 1 1 + (ω ⋅ R ⋅ C ) Im [G( jω )] = − 2 ω ⋅ R ⋅C 2 1 + (ω ⋅ R ⋅ C ) (26) (27) Zadanie 2 Dany jest prosty model matematyczny pojazdu mechanicznego (Rysunek 3) postaci: d 2x µ dx 1 =− ⋅ + ⋅ f (t ) 2 dt m dt m (28) x f(t) m Rysunek 3. Uproszczony schemat pojazdu mechanicznego gdzie: f(t) – siła nap dowa, m – masa pojazdu, µ – współczynnik tarcia tocznego, x(t) – przesuni cie pojazdu w osi poziomej. f ( t ) , jako wyj cie x ( t ) . Jako wej cie układu przyj Wyznaczy transmitancj operatorow i widmow . Wyznaczon transmitancj przedstawi w postaci umo liwiaj cej odczytanie nast puj cych wielko ci: cz rzeczywista transmitancji widmowej, cz urojona transmitancji widmowej. Rozwi zanie Zadania 2 Dokonuj c transformaty Laplace’a zale no ci (28), zakładaj c zerowe warunki pocz tkowe i korzystaj c z własno ci liniowo ci transformaty Laplace’a mamy: £ Uwzgl dniaj c własno uzyskujemy: d 2x 1 µ dx = −£ ⋅ +£ ⋅ f (t ) 2 dt m dt m transformaty Laplace'a zwi zan (29) z mno eniem przez stał d 2x µ dx 1 = − ⋅£ + ⋅ £ f (t ) £ 2 dt m dt m (30) Po podstawieniu do wyra enia (30) transformat odpowiednich pochodnych otrzymujemy: s 2 ⋅ X ( s ) = −s ⋅ µ m ⋅ X (s) + 1 ⋅ F (s) m (31) co po prostych przekształceniach pozwala uzyska : F ( s) = X ( s) ⋅(m ⋅ s 2 + µ ⋅ s) (32) Ostatecznie otrzymujemy transformat sygnału wyj ciowego do wej ciowego przy zerowych warunkach pocz tkowych: G (s) = X (s) 1 = 2 F (s) m ⋅ s + µ ⋅ s (33) Przekształcaj c transmitancj operatorow do transmitancji widmowej w pierwszej kolejno ci w wyra eniu (33) wprowadzamy operator widmowy poprzez podstawienie s = jω : G ( jω ) = 1 2 m ⋅ ( jω ) + µ ⋅ j ⋅ ω 1 −m ⋅ ω + j µ ⋅ ω = (34) 2 Nast pnie mno c licznik i mianownik przez liczb sprz on do mianownika uzyskujemy: G ( jω ) = 1 −m ⋅ ω 2 − j µ ⋅ ω ⋅ −m ⋅ ω 2 + j µ ⋅ ω −m ⋅ ω 2 − j µ ⋅ ω (35) co po prostych przekształceniach pozwala uzyska : G ( jω ) = −m ⋅ ω 2 2 ( m ⋅ω ) + ( µ ⋅ω ) 2 Ostatecznie mo emy wyodr bni cz 2 − j⋅ µ ⋅ω 2 ( m ⋅ω ) + ( µ ⋅ω ) 2 2 (36) rzeczywist i urojon transmitancji widmowej: Re [G( jω )] = −m ⋅ ω 2 2 ( m ⋅ω ) + ( µ ⋅ω ) Im [G( jω )] = − 2 (37) 2 µ ⋅ω 2 ( m ⋅ω ) + ( µ ⋅ω ) 2 2 (38)