Analiza matematyczna II WE-Elektrotechnika (11E-NP)

Analiza matematyczna II
WE-Elektrotechnika (11E-NP)
Lista 8. Całka powierzchniowa niezorientowana. Całka powierzchniowa zorientowana
Zad: 1. Obliczyć całki:
4
 ( z  2 x  3 y)ds ,
(1)
gdzie
S
jest częścią płaszczyzny
S
x  y  z  1 leżącą w
2 3 4
pierwszej ósemce układu współrzędnych.
(2)
2 2
 x y ds , gdzie S
jest półsferą
z  1  x2  y 2 .
S
(4)
2
2
ds
, gdzie S jest powierzchnią boczną stożka x  y  1 ograniczonego
2
2
S x  y z

2
płaszczyznami
Zad:
2.
z0
Obliczyć
płaszczyznami
z  1.
i
masę
z0
i
części
z  1,
paraboloidy
z  1 (x2  y2 )
2
jeżeli gęstość masy w punkcie
zawartej
( x, y, z )
między
jest równa
( x, y, z )  z .
z  a2  x2  y2
Zad: 3. Obliczyć masę półsfery
( x, y, z )
jest równa
( x, y, z )  z
a
, jeżeli gęstość masy w punkcie
.
Zad: 4. Obliczyć całki:
(1)
 xdydz  dzdx  ( x  y  z )dxdy,
gdzie
S
jest częścią płaszczyzny
x  y  z 1
S
leżącą w pierwszej ósemce układu współrzędnych z orientacją wyznaczoną przez pole
wersorów normalnych
(2)
n  [ 1 , 1 , 1 ].
3
3
3
 xdydz  ydzdx  zdxdy , gdzie S
jest zewnętrzną stroną sześcianu ograniczonego
S
płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyznami:
 xydydz  yzdzdx  xzdxdy,
(3)
S
gdzie
jest
x  1, y  1, z  1 .
wewnętrzną
stroną
powierzchni
S
czworościanu ograniczonego płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyznami i
płaszczyzną x  y  z  1 .
(4)
 xzdydz  xydzdx  yzdxdy, gdzie S
jest wewnętrzną stroną powierzchni leżącej w
S
pierwszej
ósemce
układu
współrzędnych, płaszczyzną
KB 2014/2015
współrzędnych
z 1
i walcem
ograniczonej
płaszczyznami
układu
x 2  y 2  1.
Strona 1/2
Analiza matematyczna II
(5)
2
2
 xzdydz  x ydzdx  y zdxdy , gdzie S
S
w
WE-Elektrotechnika (11E-NP)
pierwszej
ósemce
układu
współrzędnych, paraboloidą
współrzędnych
z  x2  y2
 xdydz  ydzdx  zdxdy ,
(6)
jest zewnętrzną stroną powierzchni leżącej
gdzie
i walcem
S
ograniczonej
płaszczyznami
układu
x 2  y 2  1.
jest
zewnętrzną
stroną
części
sfery
S
2
2
x  y  z 2  1 leżącą nad płaszczyzną z  0 .
Zad: 5. Obliczyć z definicji oraz przy pomocy wzoru Stokesa całkę
 ydx  zdy  xdz ,
C
jeżeli
Zad:
C
jest krzywą powstałą z przecięcia sfery
6.
Obliczyć
z
definicji
x2  y 2  z 2  2
oraz
przy
2
2
2
 ( x  yz)dx  ( y  xz)dy  ( z  xy)dz ,
jeżeli
pomocy
C
płaszczyzną
wzoru
z  1.
Stokesa
jest częścią spirali
całkę
x  a cost
,
C
x  a sin t , z  t
2
Zad:
7.
od punktu
Obliczyć
definicji
do punktu
oraz
przy
 ( x  yz)dx  ( y  xz)dy  ( z  xy)dz ,
jeżeli
2
z
A(a,0,0)
2
2
B(a,0,1) .
pomocy
C
wzoru
Stokesa
jest częścią spirali
całkę
x  a cost
,
C
x  a sin t , z  t
2
KB 2014/2015
od punktu
A(a,0,0)
do punktu
B(a,0,1) .
Strona 2/2