Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne
3. Momenty zatrzymania
Ćw. 3.1 (J. S., Zad. 1. str. 225) τ jest momentem zatrzymania względem filtracji {Fn }n∈N . Czy
są momentami zatrzymania τ − 1 i τ 2 ?
Ćw. 3.2 (B., str. 13) W chwili t = 0 cząstka znajduje się w punkcie 0. W chwili t = 1 cząstka
przemieszcza się z prawdopodobieństwem 12 do punktu 1 lub z prawdopodobieństwem 12 do
punktu −1. W następnej chwili cząstka rusza ruchem jednostajnym w prawo z prawdopodobieństwem równym 21 (tzn. przemieszcza się w każdej następnej chwili o jedną jednostkę
w prawo) lub ruchem jednostajnym w lewo również z prawdopodobieństwem równym 12
(tzn. przemieszcza się w każdej następnej chwili o jedną jednostkę w lewo). Niech τ będzie
momentem dotarcia do punktu 1. Wyznacz Fτ .
Ćw. 3.3 (J. S., Zad. 5. str. 225) X1 , X2 , . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 1]. τ = inf{n ∈ N; X1 + . . . Xn ­ 1}.
Wyznacz Eτ .
Ćw. 3.4 Pokaż, że jeśli w grze opisanej w ćw. 2.5 oznaczymy przez T liczbę gier, które należy
rozegrać do momentu aż jeden z graczy zdobędzie wszystkie żetony, to ET = ab + bc + ca.
Ćw. 3.5 (S., Ex. 5.25 p. 223) W szatni wisi c1 płaszczy należących do c1 osób. Wychodząc,
wszystkie osoby podchodzą do szatniarza i jednocześnie podają losowo numer wieszaka (od
1 do c1 , przy czym numery mogą się powtarzać). Osoby, które trafiły w ten sposób na swój
własny płaszcz, wychodzą. Pozostałe zwracają okrycie do szatni i losują od nowa, podając
znów losowo numer wieszaka z zakresu od 1 do c2 , gdzie c2 oznacza liczbę osób, które jeszcze
nie wyszły. Sytuacja powtarza się tak długo aż wszyscy wyjdą. Niech N oznacza liczbę
potrzebnych rund. Pokaż, że EN = c1 .
Ćw. 3.6 (W., E 10.6 p. 233) W każdym momencie czasu n = 1, 2, 3, . . . małpa pisze losowo 1 literę
spośród 26 liter alfabetu angielskiego, tworząc w ten sposób ciąg niezależnych zmiennych
losowych o jednakowym rozkładzie.
Niech T będzie pierwszym momentem, w którym małpa napisała słowo ABRACADABRA.
Wykaż, że ET = 2611 + 264 + 26.
Wskazówka. Przed każdym momentem n do gry dołącza nowy gracz, który stawia 1$ na
to, że n-tą napisaną przez małpę literą będzie A. Jeśli przegrywa odchodzi. Jeśli wygrywa,
otrzymuje 26$, które stawia na to, że kolejną literą będzie B. Jeśli przegrywa odchodzi. Jeśli
wygrywa, otrzymuje 262 $, które stawia na to, że następną literą będzie R i tak dalej, zgodnie
z kolejnością liter w słowie ABRACADABRA.
Ćw. 3.7 (J. S., Zad. 13. str. 225) Rzucamy kostką tak długo, aż otrzymamy wszystkie oczka.
Znajdź średnią wartość sumy wyrzuconych oczek.
Ćw. 3.8 (K. S., Ex. 10 p. 200) Gracz rzucający monetą wygrywa 1 zł, gdy wypadnie orzeł, a 5 zł,
gdy wypadnie reszka. Gra kończy się, gdy gracz wygra co najmniej 1000 zł. Z dokładnością
±1 wyznacz wartość oczekiwaną momentu zakończenia gry.