Zad 1. a)Obliczyć iloczyn skalarny wektorów a b , gdzie a = p + q, b

Geometria analityczna
Zad 1. Wektory:
a)Obliczyć iloczyn skalarny wektorów ~a ◦ ~b, gdzie ~a = p~ + ~q, ~b = 2~
p − 3~q oraz p~ ⊥ ~q.
b)Obliczyć długość wektora ~a = 4~
p − 3~q, gdzie |~
p| = 2, |~q| = 3 oraz p~ ⊥ ~q.
−−→ −→
−−→
−−→ −→
c)Dane są wektory AB i AC tworzące boki trójkąta ABC. Wyrazić wektor BC za pomocą wektorów AB AC.
d)Dane są wektory ~a = [2, −1, 3] oraz ~b = [−2, 2, 4]. Obliczyć 2~b − 3~a, ~a ◦ ~b, |~a|, |~a − ~b| oraz cosinus kąta między ~a i ~b.
e)Obliczyć kąty w trójkącie A(1,2,0), B(3,1,-2), C(2,-1,3) oraz pole tego trójkąta.
f)Obliczyć objętość czworościanu A(1,2,0), B(3,1,-2), C(2,-1,3), D(3,0,0)
−−→
−→
−−→
g)Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach AB = [2, 1, 0], AC = [4, 0, −1], AD = [2, 2, 6].
h)Obliczyć długość wysokości trójkąta A(2,1,0), B(4,0,-1), C(2,2,6) prostopadłej do boku łączącego dwa ostatnie wierzchołki.
Zad 2. Płaszczyzna
−−→
a)Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej punkt A(2,4,7) i prostopadłej do wektora AB = [−3, 1, 1]
b)Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej punkty A(1,1,3), B(4,0,-3), C(2,0,1).
c)Znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny 3x+2y-z=5 i zawierającej punkty A(0,0,1), B(2,2,0).
d)Znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do wektorów [1,2,3] i [0,2,1] oraz zawierającą punkt A(2,0,1).



x + 2y + 3z = 3
i zawiera punkt A(2, 3, −1). Jaka jest odległość π od
e)Płaszczyzna π jest prostopadła do prostej

−x + y − 2z = 0
początku układu współrzędnych?
f)Niech π będzie płaszczyzną prostopadłą do płaszczyzn x + y + 4z − 1 = 0 i x − 2y = 0 oraz przechodzącą przez punkt
(1, −1, 1). Oblicz odległość punktu P (1, 3, 0) od płaszczyzny π.
Zad 3. Prosta:
a)Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty (1, 2, 4) i (2, 1, −1).
b)Wyznacz równanie parametryczne prostej prostopadłej do płaszczyzny x + 2y + z = 3 i zawierającej punkt (1, 1, 1).
c)Znaleźć prostą zawierającą punkt A(0,1,2) równoległą do płaszczyzn x+2y+z-4=0 oraz 2x-z+2.
d)Znaleźć równanie prostej równoległej do płaszczyzny x+y+z=10 i prostopadłej do osi OX.
e)Znaleźć prostą przecinająca pod kątem prostym prostą o równaniu
f)Znaleźć prostą prostopadłą do prostej
x−1
2
=
y−1
3
=
z−1
1
x+5
2
=
y−2
1
=
z−1
4
zawierającą punkt A(3,2,2).
oraz do wektora [2,0,-1] przechodzącą przez punkt (1,0,2).
g)Wyznacz równanie prostej zawierającej punkt (1, −2, 2) oraz prostopadłej do prostych


x + y − z = 1
x−2
2
=
y+3
2
=
z
−1
i

−2x + y + 3z = 2
Zad 4. Inne
a)Wyznacz rzut prostopadły punktu A(2,3,0) na płaszczyznę x+4y-2z=1.
b)Wyznacz rzut prostopadły punktu P (5, 4, 3) na prostą l :
c)Znaleźć rzut prostej
x−1
3
=
y+2
2
=
z
4
x−1
2
=
y−3
1
=
z
−1 .
na płaszczyznę x+y-z+1=0.
d)Znaleźć punkt symetryczny do A(1,1,1) względem płaszczyzny x+y+2z=8
y+2
z−5
e)Znaleźć punkt symetryczny do A(1,2,0) względem prostej x−4
2 = 3 = 1


x = 2λ + 3



f)Znaleźć równanie prostej symetrycznej do prostej
y = −λ − 5 względem płaszczyzny x+y=0.




z = 3λ + 2
Przygotował: Andrzej Musielak