2013 03 18 Dlaczego w DW warto grać kwantowo

Modelowanie
Preferencji a Ryzyko
Dlaczego w dylemat więźnia
warto grać kwantowo?
Marek Szopa
Uniwersytet Śląski
INSTYTUT FIZYKI
im. Augusta Chełkowskiego
Zakład Fizyki Teoretycznej
Klasyczny dylemat więźnia
Tabela wypłat dylematu więźnia
Alicja
Bartek
W
O
W
( , )
( , )
O
( , )
( , )
>
2013-03-29
>
>
W - współpraca
O - odmowa
>
+
2
Klasyczny dylemat więźnia
Tabela wypłat dylematu więźnia
Alicja
Bartek
W
O
W
(3,3)
(0,5)
O
(5,0)
(1,1)
>
2013-03-29
>
>
W - współpraca
O - odmowa
>
+
2
Diagram użyteczności
klasycznego DW
Jeśli gracze grają strategiami mieszanymi:
6
(!, ")
5
Bartek
∈ [0, ]
Alicja
W cos
=0
4
Wypłata Bartka
,
O sin
W cos
( , )
( , )
O sin
,
( , )
(!, !)
3
Równowaga Nasha jest
daleka od rozwiązań
Pareto-optymalnych
=0
2
=
= 5, = 3,
=1i =0
1
(", ")
(", !)
=
0
0
2013-03-29
1
2
3
4
Wypłata Alicji
5
6
Gry kwantowe – sfera Blocha
Strategie mieszane są podobne do kubitów:
|$% = cos |! % + ei' sin |"%
2
2
2013-03-29
∈ [0, ]
' ∈ [− , ]
Kolaps funkcji falowej
Jeśli układ kwantowy (kubit) pozostaje w superpozycji
stanów to jest to wyrazem braku naszej wiedzy o nim.
|$% = cos |! % + ei' sin |"%
2
2
∈ [0, ]
' ∈ [− , ]
Mierząc stan powyższego kubitu dostaniemy albo |! % albo |"%,
z prawdopodobieństwami cos lub sin odpowiednio.
W interpretacji Kopenhaskiej MK, superpozycja stanów kolapsuje
do stanu mierzonego, a nieobserwowany składnik bezpowrotnie
znika.
Ten proces nazywa się kolapsem funkcji falowej.
2013-03-29
Nieobserwowany składnik znika z pola widzenia jak przegrany los
na loterii. Podobnie jak w znanym przykładzie kota Schrödingera
1
1
Ψ (kota) =
żywy +
martwy
2
2
Gry kwantowe
– sformułowanie procesu
Proces gry kwantowej przebiega według schematu:
Alicja
,.
+
|!!%
)*
|$0 %
),†
|$ %
,+
Bartek
gdzie |!! % jest odpowiednio przygotowanym stanem początkowym,
)* =
0
(1* + 234 ⨂34 ), jest operatorem splatającym
, =+
,
a +
,' ,6
, =+
,
oraz +
,
+
, ' , 6 , gdzie
7 89: cos
, ', 6 =
2
−7 89; sin
2013-03-29
2
7 9; sin
7 9: cos
2
,
2
są kwantowymi strategiami Alicji i Bartka odpowiednio.
),< nazywamy operatorem rozplatającym a |$= % stanem końcowym procesu.
Gry kwantowe
– realizacja fizyczna
Ψ
in
=1W + 0 O = W
(
)
(
)
W
W
1 iφ
e +1
2
O
O
1 iφ
e −1
2
1 1 1   1 0  1 1 1  1 1+ eiφ 1− eiφ 


 ⋅ 
 
 = 
H ⋅ Pφ ⋅ H =
iφ 
iφ
iφ 
2 1 −1  0 e  2 1 −1 2 1− e 1+ e 
Ψ
2013-03-29
out
(
1 iϕ
= H ⋅ Pϕ ⋅ H W = ( e + 1) W + ( eiϕ − 1) O
2
)
obrót o kąt ' wokół osi >
Gry kwantowe
– wynik gry
Stan końcowy gry jest na ogół stanem splątanym
|$= % = ?@@ |!! % + ?@A |!"% + ?A@ |"! % + ?AA |""%
gdzie ?@@ , … , ?AA
?@@ = cos
?@A = sin
?A@ = sin
?AA = cos
2
2
2
2
cos
cos
cos
cos
są prawdopodobieństwami
2
2
2
2
cos ' + '
− sin
cos(6 − ' ) − cos
sin(6 − ' ) + cos
sin ' + '
+ sin
2
2
2
2
sin
sin
sin
sin
2
2
2
2
sin 6 + 6 ,
sin ' − 6
,
cos(' − 6 ) ,
cos 6 + 6
,
że w wyniku pomiaru (kolapsu) |$= % przejdzie w jeden z 4 stanów.
Wartość oczekiwana wypłaty Alicji wynosi:
$ =
2013-03-29
?@@
+ ?@A
+ ?A@
+ ?AA
Wynik gry jako stan splątany
Jeśli w wyniku gry otrzymujemy np. stan splątany
|$= % =
1
2
|!! %
1
2
|""%
to oznacza, że niezależnie od losowego charakteru pomiaru stanu
końcowego pewnym pozostaje, że obaj gracze zagrają tak samo.
Jeśli zaś
1
1
|$ = %
|"! %
|!"%
2
2
to wiadomo, że gracze zagrają przeciwnie.
Tego typu splątany wynik gry jest charakterystyczny dla gier
kwantowych i nie występuje w grach klasycznych.
Podobne stany splątane występują w słynnym paradoksie EPR.
2013-03-29
Granica klasyczna gry kwantowej
Jeśli strategie graczy nie zawierają zespolonych faz
D
, , 0, 0 oraz +
D
,
+
+
+
, 0, 0 , to
, ⨂+
, )*|!! %
),< +
|$= %
D ⨂+
D |!! %
+
dla przypomnienia
,
+
, 0,0
7 89E cos
(7
89E
7 9E sin
9E
sin
.
7 cos
W tym przypadku wynik Alicji (Bartka) będzie
$
cos
sin
2
2
cos
cos
cos
2
2
sin
2
2
sin
sin
2
2
- identyczny z wynikiem gry klasycznej.
Splątanie nie jest możliwe!
2013-03-29
0
Strategie
kwantowego DW
Wybierzmy (dowolną) strategię kwantową Alicji
.*
,
+
,' ,6
, =+
,
oraz oznaczmy .′
G
,' − ,6 −
, będą strategiami Bartka (zależnymi od
Niech -H i -′
,
-H = +
+ ,6 ,' −
G
G
.
, ' , 6 ):
G
, =+
,
, -′
+ ,6 − ,' −
Wypłaty graczy stosujących te strategie kwantowe są:
Alicja
Bartek
2013-03-29
-H
,
-′
.*
( , )
( , )
,
.′
( , )
( , )
więc są równoważne …grze o sumie zerowej (matching pennies).
Równowagi Nasha
kwantowego DW
Jeśli teraz przeciwnicy grają strategiami mieszanymi
cos
I
.* + sin
I
, i cos
.′
I
-H + sin
to gra ma jedyną (dla danych
G
γ =γ =
I
, , gdzie J , J ∈ 0,
-′
, ' , 6 ) RN w punkcie siodłowym
= 5, = 3,
=1i =0
2013-03-29
Diagram użyteczności
kwantowego DW
Jeśli gracze zastosują swoje strategie siodłowe γ
to w.o. ich wypłat wyniosą
LMN
γ
G
2,5
= 5, = 3,
=1i =0
2013-03-29
Podsumowanie
Równowaga Nasha kwantowego DW jest bardziej
korzystna od równowagi klasycznego DW
1.
Osiągniecie korzystniejszej RN dla gier kwantowych jest
możliwe dzięki zjawisku splątania stanów końcowych gry
2.
Gry kwantowe można rozgrywać wykorzystując komputer
kwantowy
3.
4.
Możliwe są klasycznie symulacje rozgrywki kwantowej
Niektóre procesy rynkowe, zachowania partnerów
negocjacji, naśladują RN kwantowego DW
5.
Pytania:
2013-03-29
1.
Czy kolaps funkcji falowej jest obserwowany w grach
klasycznych?
2.
Czy splatanie kwantowe ma swój odpowiednik w grach
klasycznych?