() dd A m B t = dddd A m B t = dd A m B t = dd A m B t = . d

WPPT; kier. Informatyka; lista zad. nr 2. pt. (z karty przedmiotu) Rozwiązywanie zadań z kinematyki punktu materialnego –
ruch jednowymiarowy, ruch dwuwymiarowy.[3 godz.] Zastosowanie zasad dynamiki w rozwiązywaniu problemów
dynamicznych w ruchu jednowymiarowym i ruchu płaszczyznowym do kursu Fizyka, r. ak. 2015/16; pod koniec listy zadania
do samodzielnego rozwiązania..
Opis metody analizowania i rozwiązywania zagadnienia dotyczącego ruchu ciała z wykorzystaniem zasad dynamiki Newtona.
a) Najpierw identyfikujemy/wskazujemy/wyznaczamy wektory sił przyłożonych do ciała (ciał), odpowiadamy na pytanie, czy
ciało (ciała) spoczywa, czy porusza się, a następnie sporządzamy rys. przedstawiający szkicowo rozpatrywany problem. b)
Wybieramy, kierując się zasadą prosty (upraszczając maksymalnie analizę problemu), układ współrzędnych (zazwyczaj
prostokątnych) i w tym układzie zapisujemy wektorową postać II zasadę dynamiki dla danego ciała ma=Fwypadkowa (dla
każdego ciała oddzielnie). c) W wybranym układzie współrzędnych wypisujemy skalarne równania ruchu max=Fx, may=Fy,
maz=Fz (zazwyczaj jest to jedno lub dwa równania skalarne, ponieważ w odpowiednio wybranym układzie, wektor siły
wypadkowej Fwypadkowa ma jedną lub dwie niezerowe składowe; uwzględniamy zwroty wektorów przyłożonych siłw
Fwypadkowa) i rozwiązujemy otrzymane równania, co pozwala wyznaczyć zależności od czasu wielkości kinematycznych:
wektorów chwilowego przyspieszenia a(t), prędkości v(t) oraz wektora położenia r(t) ciała. Opisaną metodę należy zastosować
w zadaniach zamieszczonych poniższej.
7. Opisz wszystkie siły działające na idącą po poziomym korytarzu uczelni studentkę (patrz
rys. obok) i wyjaśnij dlaczego jest możliwe jej przemieszczanie się.
8. Dynamika rzutu ukośnego. Ciało o masie m wyrzucono przy powierzchni ziemi pod kątem
ostrym α do poziomo nadając mu prędkość początkową v0. Przyjmując, że: ciało wyrzucono z
początku prostokątnego układu współrzędnych OXYZ, porusza się w płaszczyźnie OXY, przy
czym oś OX jest pozioma a OY pionowa, jedyną siłą działającą jest stała siła ciężkości (siła
grawitacyjna) Q1 i korzystając z II zas. dynamiki2
, gdzie wektor siły jest stały,
niezależny od czasu, wyznacz:
a. współrzędne wektorów: siły ciężkości Q = [Qx, Qy] i przyspieszenia chwilowego ciała a = (ax, ay) w
przyjętym układzie współrzędnych,
b. wektorową postać równania ruchu ciała (II zas. dynamiki), a następnie wyprowadź skalarne równania
ruchu na kierunek osi OX i OY i wyznacz zależności od czasu składowych wektora prędkości chwilowej
V(t) = [Vx (t), Vy(t)] = Vx (t) i + Vy (t) j oraz długości wektora |V(t)| = V(t),
c. zależności od czasu składowych wektora (promienia) wodzącego3 R(t) = [X (t), Y(t)] = X(t) i + Y (t) j,
równanie toru (trajektorii) ruchu ciała, tj. zależność Y(X) oraz narysuj wykres toru umieszczając na nim w
co najmniej 3 różnych punktach wektor przyspieszenie całkowitego,
d. zasięg ruchu, czas tw wznoszenia się na wysokość Ymax, wartość Ymax, czas ts spadku z wysokości Ymax,
całkowity czas tc ruchu; czy prawdą jest, że tw = ts?
e. wzory pozwalające wyznaczyć zależność przyspieszenia normalnego an(t) i stycznego as(t) od czasu4,
f. wartość sumy V 2 ( t ) + 2 gY ( t ) i pokaż, że nie zależy od czasu; czego jest to przejaw? Korzystając z tego
wyniku obliczyć wartość prędkości z jaką ciało uderzy o powierzchnię ziemi.
1
Na oznaczenia wielkości fizycznych wektorowych będą używane zamiennie symbole: F , f (duża/mała litera ze strzałką
F, f (duża/mała litera pisane czcionką pogrubioną (bold)). Długości wektorów będą oznaczane symbolami F, f.
dA
dA
dA
dA
2
Wyrażenie typu m
= B jest równoważne układowi 3 równań skalarnych: m x = Bx , m y = B y , m z = Bz .
dt
dt
dt
dt
nad nią) lub
3
Wektor wodzący – dla danego punktu A to wektor zaczepiony w początku prostokątnego układu współrzędnych i o końcu w
punkcie A. W fizyce wektor wodzący jest wektorem położenia ciała względem początku układu współrzędnych. Długość
wektora wodzącego, czyli promienia wodzącego, jest odległością punktu od początku układu współrzędnych.
4
Wskazówka:
as (t ) =
dV
lub policz rzut wektora przyspieszenia całkowitego na wersor wektora prędkości chwilowej.
dt
1
9. Dynamika ruchu ciała po równi pochyłej. Ciało o masie m spoczywające (v0 = 0) początkowo na równi
o wysokości H zaczyna zsuwać się wzdłuż równi. Współczynnik tarcia wynosi µ. W wybranym,
prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do
niej prostopadła:
a. wyznacz składowe wektorów sił przyłożonych do ciała: ciężkości Q = [Qx, Qy], tarcia T = [Tx, Ty] i
siły reakcji równi R = [Rx, Ry] oraz wektora przyspieszenia chwilowego ciała a = (ax, ay) w przyjętym
układzie współrzędnych,
b. podaj wektorową postać równania ruchu ciała (zastosować II zas. dynamiki), następnie sformułować
matematyczne postacie skalarnych równań ruchu w kierunku osi OX i OY, a następnie wyznacz
zależności od czasu składowych wektora prędkości chwilowej V(t) = [Vx (t), Vy(t)] oraz długości |V(t)|
wektora prędkości chwilowej,
c. wyznacz czas ruchu ciała po równi oraz wartość prędkości końcowej ciała,
d. wyznacz zależności przyspieszenia stycznego as(t) i przyspieszenia normalnego an(t) od czasu,
e. wyznacz zależności od czasu składowych wektora prędkości chwilowej V(t) = [Vx (t), Vy(t)]
w wybranym układzie współrzędnych, jeśli ciało ruszy z prędkością v0 ≠ 0 w dół równi?
f. opisz jakościowo (nie korzystając ze wzorów) ruch tego ciała w wybranym układzie współrzędnych,
jeśli znajdując się u podstawy równi ruszy w górę równi z prędkością v0 ≠ 0,
g. opisz jakościowo ruch kropli, która oderwała się od chmury i zaczyna spadać (porównaj z zad. 8
z siłowni umysłowej).
10. Rysunek obok przedstawia majtka5 siedzącego na krześle bosmańskim zawieszonym
na linie, która jest przełożona przez krążek, a jej drugi koniec majtek trzyma w dłoniach
(patrz rys. obok). Masa układu majtek+ławka wynosi M. Lina i krążek mają znikome
masy, a tarcie jest zaniedbywalnie małe. Oblicz wartość siły z jaką majtek musi ciągnąć
linę, aby wznosił się do góry: a) ze stałą prędkością, b) z przyspieszeniem a. Obliczenia
wykonaj dla M = 65kg, a = 1,2 m/s2, g = 10 m/s2. R-nie: patrz wykład.
11. Największy i najmniejszy „ciężar” człowieka stojącego na wadze umieszczonej w
windzie wynosi odpowiednio 591 N i 391 N. Zakładając, że przyspieszenie podczas
ruszania i hamowania windy jest takie samo, wyznacz w inercjalnego układu odniesienia
(IUO): A) ciężar rzeczywisty człowieka i jego masę; B) przyspieszenie windy. Przyjąć g =
2
10 m/s . Spróbuj rozwiązać to zdanie w nieinercjalnym układzie odniesienia (NUO). Ws-ka: W IUO,
związanym np. ze spoczywającym budynkiem, II zasada dynamiki ma postać ma = Fzew , a w NUO
(związanym np. z windą) mab = Fzew + Fb , gdzie Fb – wypadkowa sił bezwładności działających w
NUO.
Wrocław, 22 lutego 2016
Oprac. W. Salejda
Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania
1. Dynamika rzutu poziomego z wysokości. Ciało o masie m rzucono poziomo z wysokości y0 przy powierzchni
ziemi nadając mu prędkość początkową v0 = (vx0 ≠ 0, vy0 = 0) = vx0i. Wykonać samodzielnie polecenia pkt. A) i B)
z zadania 6 wzorując się na jego rozwiązaniu. Obliczyć wybrane wartości wyznaczonych wcześniej wielkości
kinematycznych dla m = 0,3 kg, v0 = (5, 0) = 5i; wartości prędkości w SI. Jak zmienią się wyniki zadania, jeśli
opisane ciało wyrzucimy z prędkością v0 = (vx0 ≠ 0, vy0 ≠ 0) = vx0i + vy0j dla vy0 > 0 lub vy0 < 0?
2. Na gładkim stole położono dwa ciała o masach m1 = 250 g i m2 = 500 g połączone gumką. W pewnej chwili
ciała te rozsunięto, napinając gumkę, a następnie puszczono swobodnie. Lżejsze z nich ruszyło z przyspieszeniem
o wartości a1 = 0,2m/s2. Z jakim przyspieszeniem porusza się drugi ciężarek?
5
Znaczenie wyrazu w żeglarstwie: ten kto czyści pokład statku, prosty marynarz, pomocnik na pokładzie, zwykły marynarz, członek załogi wykonujący
proste roboty na statku, marynarz od czarnej roboty, sprząta na statku.
2
3. Masa Twojego ciała z plecakiem: m = 80 kg. Chcesz wejść na oblodzony pagórek nachylony do poziomu pod
kątem α = 15°. Współczynnik tarcia statycznego między podeszwami Twoich butów, a zboczem wynosi fs = 0,4.
A) Sprawdź, czy możesz wejść ruchem jednostajnym na ten pagórek? B) Zbadaj, czy wchodząc po zboczu i chcąc
zwiększać swoją szybkość, możesz podbiegać z przyspieszeniem o wartości a = 0,6 m/s2. C) Oblicz maksymalny
kąt nachylenia oblodzonego zbocza, po którym mógłbyś wchodzić w tych butach ruchem jednostajnym?
4. Ciało o masie M przesuwane jest w górę po pionowej ścianie pod działaniem stałej siły F skierowanej pod
kątem ostrym α do pionu. Wyznaczyć przyspieszenie ciała, jeżeli współczynnik tarcia ciała o ścianę wynosi f. Jaki
warunek musi być spełniony, aby ciało poruszało się w górę? Obliczenia wykonaj dla F = 11,5 N, α = 15o, f =
0,1, g = 10 m/s2.
5. Na stole przymocowano jedna za drugą masy m1, m2 i m3 (patrz rysunek obok)
m3
m2
m1
i połączono z masą M zwisająca pionowo. Znajdź: a) przyspieszenie układu, b) naM
prężenia wszystkich nici. Tarcie mas o płaszczyznę stołu i tarcie w bloczku i jego
masę pominąć. Obliczenia wykonaj dla M = 0.9 kg, m1 = 1,3 kg, m2 = 2,5 kg, m3 =
3.2 kg, g = 10 m/s2.
6. Samochód jedzie po zakręcie o promieniu r. Nawierzchnia zakrętu nachylona jest pod kątem Θ do poziomu (do
wnętrza łuku). A. Pokaż, że jeśli nie ma tarcia, a prędkość samochodu wynosi V, to pojazd ten nie wpadnie
w poślizg (tj. nie wyleci z zakrętu), gdy spełniona będzie równość V 2 = r ⋅ g ⋅ tgΘ. B. Załóżmy, że Θ = 0o a współczynnik tarcia wynosi µ ≠ 0. Jaki znak ograniczenia prędkości należy ustawić przed tym zakrętem, jeśli r = 125 m,
µ = 0,36 i g = 10 m/s2?
C. Zadanie nieobowiązkowe trudniejsze. Pokaż, że, gdy współczynnik tarcia
wynosi µ ≠ 0, to maksymalna szybkość, przy której samochód nie
wypadnie z zakrętu na skutek poślizgu, przy założeniu, że µ tg Θ < 1, dana
jest wzorem Vmax = [rg(µ + tg Θ)/(1 − µ tg Θ)]1/2. Uwaga: Rys. nie
uwzględnia siły tarcia.Ws-ka: Najwygodniej jest rozwiązywać to zadanie w
NUO.
7. Talerz twardego dysku o średnicy 3,5 cala (cal = 2,54 cm) uzyskuje, przyspieszając jednostajnie, końcową
prędkość kątową 7200 obrotów na minutę w czasie t = 3 sek. Wyznaczyć: a) końcową prędkość kątową wyrażoną
w radianach na sekundę; b) przyspieszenie kątowe talerza; c) drogę kątową punktów talerza zakreśloną w czasie t =
3 sek.; d) liczbę obrotów talerza podczas przyspieszonego ruchu obrotowego; e) przyspieszenie styczne punktów
położonych na brzegu talerza podczas przyspieszonego ruchu obrotowego; f) zależność od czasu prędkości
liniowej i przyspieszenia dośrodkowego punktów na brzegu talerza w trakcie przyspieszonego ruchu obrotowego;
g) prędkość liniową, przyspieszenie dośrodkowe oraz styczne punktów na brzegu talerza po czasie t = 3 sek.
8. Dynamika spadającej w powietrzu kropli deszczu. Na kroplę deszczu o
promieniu ri spadającą w polu grawitacyjnym z prędkością vi działa siła Fi
oporu powietrza, której wartość wyraża się wzorem Fi = Ci⋅(ri⋅vi)2, a
wartości stałych Ci podaje tabela. Wyznacz jednostkę
r[mm] Ci[?]
miary Ci. Opisz i wyjaśnij charakter ruchu kropli, która
0,95
zaczyna spadać z wysokości 500 m i naszkicuj wykres
1
zależności prędkości kropli od czasu jej ruchu. Wykres
1,04
2
obok przedstawia zależność końcowej prędkości
spadania kropli od jej średnicy d. Wyznacz wartość
1,51
3
siły oporu dla kropli o promieniu 2 mm spadającej z
prędkością końcową, którą należy odczytać z wykresu.
Jaka jest wówczas wypadkowa siła działająca na kroplę i porównaj ją z
ciężarem kropli. Jaka praca jest wykonana przeciwko sile oporu F2 w
trakcie spadania tej kropli? Wyjaśnij dlaczego w tym problemie możemy zaniedbać siłę wyporu powietrza? Przyjąć
gęstość wody 103 kg/m3, gęstość powietrza 1,2 kg/m3, przyspieszenie ziemskie 9,8 m/s2.
W. Salejda
Wrocław, 22 lutego 2016
3