lista zadań 4

WM-E; kier. MBM, lista zad. nr 4. pt. (z karty przedmiotu): Rozwiązywanie wybranych zagadnień z zakresu
dynamiki ruchu postępowego z wykorzystaniem zasad dynamiki Newtona do kursu Fizyka 1.6, r. ak. 2015/16; pod
koniec listy zadania do samodzielnego rozwiązania oraz tabele wybranych wzorów matematycznych i fizycznych.
Materiał dydaktyczny dostępny na stronie:
19. Dynamika ruchu ciała po równi pochyłej. Ciało o masie m spoczywające (v0 = 0) początkowo na równi
o wysokości H zaczyna zsuwać się wzdłuż równi. Współczynnik tarcia wynosi µ. W wybranym, prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej
prostopadła:
a) wyznacz składowe wektorów sił przyłożonych do ciała: ciężkości Q = [Qx, Qy], tarcia T = [Tx, Ty] i siły
reakcji równi R = [Rx, Ry] oraz wektora przyspieszenia chwilowego ciała a = (ax, ay) w przyjętym układzie
współrzędnych,
b) podaj wektorową postać równania ruchu ciała (zastosować II zas. dynamiki), wyprowadź matematyczne
postacie skalarnych równań ruchu w kierunku osi OX i OY, a następnie wyznacz zależności od czasu
składowych wektora prędkości chwilowej V(t) = [Vx (t), Vy(t)] oraz długości |V(t)| wektora prędkości
chwilowej,
c) wyznacz czas ruchu ciała po równi oraz wartość prędkości końcowej ciała,
d) wyznacz zależności od czasu składowych wektora prędkości chwilowej V(t) = [Vx (t), Vy(t)] w wybranym
układzie współrzędnych, jeśli ciało ruszy z prędkością v0 ≠ 0 w dół równi?
e) opisz jakościowo (nie korzystając ze wzorów) ruch tego ciała w wybranym układzie współrzędnych, jeśli
znajdując się u podstawy równi ruszy w górę równi z prędkością v0 ≠ 0.
20. Największy i najmniejszy „ciężar” człowieka stojącego na wadze umieszczonej w windzie wynosi odpowiednio 591 N i 391 N. Zakładając, że przyspieszenie podczas ruszania i hamowania windy jest takie samo,
wyznacz w inercjalnego układu odniesienia ciężar rzeczywisty człowieka i jego masę; B) przyspieszenie
windy. Przyjąć g = 10 m/s2.
m
m
m
21. Na stole przymocowano jedna za drugą masy m1, m2 i m3 (patrz rysunek obok)
M
i połączono z masą M zwisająca pionowo. Znajdź: a) przyspieszenie układu, b)
naprężenia wszystkich nici. Tarcie mas o płaszczyznę stołu i tarcie w bloczku i jego masę
pominąć. Obliczenia wykonaj dla M = 0.9 kg, m1 = 1,3 kg, m2 = 2,5 kg, m3 = 3.2 kg, g = 10
m/s2.
1
22. Rys. obok przedstawia majtka siedzącego na krześle bosmańskim zawieszonym na linie,
która jest przełożona przez krążek, a jej drugi koniec majtek trzyma w dłoniach. Masa układu
majtek+ławka wynosi M. Lina i krążek mają znikome masy, a tarcie jest zaniedbywalnie małe.
Oblicz wartość siły z jaką majtek musi ciągnąć linę, aby wznosił się do góry: a) ze stałą prędkością, b) z przyspieszeniem a. Obliczenia wykonaj dla M = 65kg, a = 1,2 m/s2, g = 10 m/s2.
23. Samochód jedzie po zakręcie o promieniu r. Nawierzchnia zakrętu nachylona jest pod kątem
Θ do poziomu (do wnętrza łuku). A. Pokaż, że jeśli nie ma tarcia, a prędkość samochodu
wynosi V, to pojazd ten nie wpadnie w poślizg (tj. nie wyleci z zakrętu), gdy spełniona będzie
2
równość V = r ⋅ g ⋅ tgΘ. B. Załóżmy, że Θ = 0o a współczynnik tarcia wynosi μ ≠ 0. Jaki znak ograniczenia
prędkości należy ustawić przed tym zakrętem, jeśli r = 125 m, μ = 0,36 i g = 10 m/s2?
C. Zadanie nieobowiązkowe trudniejsze. Pokaż, że, gdy współczynnik tarcia wynosi μ ≠ 0, to maksymalna
szybkość, przy której samochód nie wypadnie z zakrętu na skutek poślizgu, przy założeniu, że μ tg Θ < 1, dana jest wzorem Vmax = [rg(μ + tg
Θ)/(1 − μ tg Θ)]1/2. Uwaga: Rys. nie uwzględnia siły tarcia.Ws-ka:
Najwygodniej jest rozwiązywać to zadanie w NUO.
3
2
1
Oprac. W. Salejda, L. Bujkiewicz, K. Kluczyk, M. Mulak, J. Szatkowski.
Wrocław, 16 października 2015
1
Znaczenie wyrazu w żeglarstwie: ten kto czyści pokład statku, prosty marynarz, pomocnik na pokładzie, zwykły marynarz, członek załogi wykonujący proste
roboty na statku, marynarz od czarnej roboty, sprząta na statku.
1
Tabele wzorów fizycznych i matematycznych
Ruch prostoliniowy (podano wartości)
Prędkość średnia
v =∆s ∆t
Przyspieszenia: średnie i
chwilowe
a=
v − v0
F (t ) dv
=
a =
m
dt
t − t0 ;
vk = v0 + a ⋅ t
Prędkość
s = s0 + v0 t + at 2 2
Droga
vk2 = v02 + 2a ⋅ ( sk − s0 )
Prędkość i droga w ruchu
jednostajnie zmiennym
Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania
1.Dynamika rzutu ukośnego. Ciało o masie m wyrzucono przy powierzchni ziemi pod kątem ostrym α do poziomo nadając mu
prędkość początkową v0. Przyjmując, że ciało wyrzucono z początku prostokątnego układu współrzędnych OXYZ, ciało porusza
się w płaszczyźnie OXY, przy czym oś OX jest pozioma a OY pionowa, jedyną siłą działającą na ciało jest stała siła ciężkości

 

dV 
(siła grawitacyjna) Q 2 i korzystając z II zas. dynamiki 3 =
ma
m
=
Fwypadkowa  , wyznacz:

d
t


a) składowe wektora prędkości początkowej ciała,
b) współrzędne wektorów: siły ciężkości Q = [Qx, Qy] i przyspieszenia chwilowego ciała a = (ax, ay) w przyjętym układzie
współrzędnych,
c) wektorową postać równania ruchu ciała (II zas. dynamiki), a następnie sformułować skalarne równania ruchu na kierunek osi
OX i OY,
d) zależności od czasu składowych wektora prędkości chwilowej V(t) = [Vx (t), Vy(t)] = Vx (t) i + Vy (t) j oraz długości wektora
|V(t)| = V(t),
e) zależności od czasu składowych wektora (promienia) wodzącego 4 R(t) = [X (t), Y(t)] = X(t) i + Y (t) j,
f) wzór pozwalający wyznaczyć zależność przyspieszenia stycznego as(t) od czasu 5,
g) wzór umożliwiający obliczenie zależność przyspieszenia normalnego an(t) od czasu,
h) zasięg ruchu, czas tw wznoszenia się na największą wysokość Ymax, wartość Ymax, czas ts spadku z wysokości Ymax, całkowity
czas tc ruchu; czy prawdą jest, że tw = ts?
i) równanie toru (trajektorii) ruchu ciała, tj. zależność Y(X) oraz narysuj wykres toru umieszczając na nim w co najmniej 3
różnych punktach wektor przyspieszenie całkowitego,
j) uzasadnij, że w trakcie ruchu wartość sumy
V 2 ( t ) + 2 gY ( t ) nie zależy od czasu t, czego jest to przejaw? Korzystając z tego
wyniku obliczyć wartość prędkości z jaką ciało uderzy o powierzchnię ziemi.
2. Dynamika rzutu poziomego z wysokości. Ciało o masie m rzucono poziomo z wysokości y0 przy powierzchni ziemi nadając
mu prędkość początkową v0 = (vx0 ≠ 0, vy0 = 0) = vx0i. Wykonać samodzielnie polecenia pkt. a) i b) z zadania 18 wzorując się na
jego rozwiązaniu. Obliczyć wybrane wartości wyznaczonych wcześniej wielkości kinematycznych dla m = 0,3 kg, v0 = (5, 0) = 5i;
wartości prędkości w SI. Jak zmienią się wyniki zadania, jeśli opisane ciało wyrzucimy z prędkością v0 = (vx0 ≠ 0, vy0 ≠ 0) = vx0i +
vy0j dla vy0 > 0 lub vy0 < 0?
3. Na gładkim stole położono dwa ciała o masach m1 = 250 g i m2 = 500 g połączone gumką. W pewnej chwili ciała te rozsunięto,
napinając gumkę, a następnie puszczono swobodnie. Lżejsze z nich ruszyło z przyspieszeniem o wartości a1 = 0,2m/s2. Z jakim
przyspieszeniem porusza się drugi ciężarek?
4. Masa Twojego ciała z plecakiem: m = 80 kg. Chcesz wejść na oblodzony pagórek nachylony do poziomu pod kątem α = 15°.
Współczynnik tarcia statycznego między podeszwami Twoich butów, a zboczem wynosi fs = 0,4. A) Sprawdź, czy możesz wejść
ruchem jednostajnym na ten pagórek? B) Zbadaj, czy wchodząc po zboczu i chcąc zwiększać swoją szybkość, możesz podbiegać z
przyspieszeniem o wartości a = 0,6 m/s2. C) Oblicz maksymalny kąt nachylenia oblodzonego zbocza, po którym mógłbyś
wchodzić w tych butach ruchem jednostajnym?
2
Na oznaczenia wielkości fizycznych wektorowych będą używane zamiennie symbole:
 
F , f (duża/mała litera ze strzałką nad nią) lub
F, f (duża/mała litera
pisane czcionką pogrubioną (bold)). Długości wektorów będą oznaczane symbolami F, f.
3
Wyrażenie typu
4

dA 
m
=B
dt
jest równoważne układowi 3 równań skalarnych:
m
dA
dAx
dA
= B x , m y = B y , m z = Bz .
dt
dt
dt
Wektor wodzący – dla danego punktu A to wektor zaczepiony w początku prostokątnego układu współrzędnych i o końcu w punkcie A. W fizyce wektor
wodzący jest wektorem położenia ciała względem początku układu współrzędnych. Długość wektora wodzącego, czyli promienia wodzącego, jest odległością
punktu od początku układu współrzędnych.
5
Wskazówka:
as (t ) =
dV
dt
lub policz rzut wektora przyspieszenia całkowitego na wersor wektora prędkości chwilowej.
2
5. Ciało o masie M przesuwane jest w górę po pionowej ścianie pod działaniem stałej siły F skierowanej pod kątem ostrym α do
pionu. Wyznaczyć przyspieszenie ciała, jeżeli współczynnik tarcia ciała o ścianę wynosi f. Jaki warunek musi być spełniony, aby
ciało poruszało się w górę? Obliczenia wykonaj dla F = 11,5 N, α = 15o, f = 0,1, g = 10 m/s2.
6. Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono pionowo do góry z prędkością v0 = 5 m/s. Prędkość
końcowa ciała (tuż przed upadkiem) wyniosła |vk| = 5v0. Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H nad powierzchnię ziemi
wzniosło się ciało? Ile czasu tc trwał ruch ciała?
7. Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H, nadając mu prędkość początkową v0 = 5m/s. Ciało uderzyło o ziemię z
prędkością vk = 35 m/s. Z jakiej wysokości H zostało rzucone? Ile sekund trwał ruch ciała? Jaką prędkość v1 miało to ciało w
chwili, gdy przebyło drogę s1 = H/6?
8. Kamień rzucono pionowo do góry. Mija on punkt A z prędkością v, a punkt B, leżący 3m wyżej niż punkt A z prędkością 1/2
v. Oblicz: (a) prędkość v; (b) maksymalną wysokość wzniesienia się kamienia ponad punkt B
9. Ciało spada swobodnie na ziemię z wysokości H. Na jakiej wysokości prędkość tego ciała będzie n razy mniejsza od jego
prędkości końcowej? Obliczenia numeryczne wykonaj dla H=27 m i n=3.
10. Układający się do drzemki kot spostrzega doniczkę przelatującą za oknem, najpierw w górę potem w dół. Łączny czas, w
jakim kot ma doniczkę w polu widzenia wynosi 0,5 s, a wysokość okna, przez które ją obserwuje jest równa 2 m. Jak wysoko nad
górną framugę okna wzniosła się doniczka?
11. W rzucie poziomym prędkość końcowa ciała jest n = 3 razy większa od prędkości początkowej. Prędkość początkowa ciała
wynosi v 0 = 9,8 m s . Obliczyć wysokość początkową rzutu. Przyspieszenie ziemskie g = 9,8 m s 2 .
12. Kula pistoletowa wystrzelona poziomo przebiła dwie pionowo ustawione kartki papieru, umieszczone w odległościach
l1 = 20 m i l2 = 30 m od pistoletu. Różnica wysokości na jakich znajdują się otwory w kartkach wynosi h = 5 cm. Oblicz prędkość
początkową kuli. Przyspieszenie ziemskie
13. Z wieży o wysokości H=10 m wystrzelono z prędkością v = 100m/s pod kątem α = 30o pocisk. Z jaką prędkością uderzył
pocisk o ziemię? Jaki kąt tworzył tor pocisku z płaszczyzną ziemi? Napisz równanie toru pocisku. Oblicz zasięg maksymalny.
14. Lotnik, który leci na wysokości h w kierunku poziomym z prędkością vx, puszcza ładunek, który ma upaść na ziemię w
punkcie A. Pod jakim kątem lotnik powinien widzieć cel w chwili puszczania ładunku, aby ten spadł w punkcie A? Za kąt
widzenia celu przyjmij kąt pomiędzy kierunkiem poziomym a linią łączącą samolot z celem.
15. Karabin jest wycelowany w tarczę, odległą od niego o s m. Kula trafia w tarczę d m poniżej punktu, w który celowano.
Wyznaczyć czas lotu kuli i jej prędkość początkową.
16. Na mistrzostwach świata w Tokio w 1991 r., Mike Powell skoczył w konkursie skoku w dal 8,95 m. Wyznaczyć jego prędkość
początkową, jeśli kąt wybicia był równy 40°. Przyjąć g = 9,85m/s2.
17. Kamień wyrzucono z katapulty z prędkością początkową 20 m/s w górę pod kątem 45°.Wyznaczyć położenie i prędkość
kamienia po czasie 1,2 s.
18. Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jego prędkość jest równa v = 7,6i + 6,1j. Jaka jest
maksymalna wysokość i zasięg rzutu? Jaka była prędkość początkowa i końcowa (tuż przed upadkiem) kamienia?
19. Wartość prędkości początkowej pewnego pocisku wyrzuconego ukośnie jest pięć razy większa od jego prędkości w punkcie
maksymalnego wzniesienia. Pod jakim kątem wystrzelono pocisk?
20. Samolot lecący z prędkością v = 290 km/h nurkuje pod kątem 30° do powierzchni morza i wypuszcza pakunek z żywnością dla
rozbitków znajdujących się w odległości 700 m liczonej po powierzchni morza od punktu leżącego bezpośrednio pod samolotem
w momencie, gdy wypuszcza ładunek. Jak długo trwał lot pakunku? Na jakiej wysokości znajdował się samolot w momencie
wyrzucenia ładunku?
21. Sterowiec leci na wysokości H = 2000 m w kierunku poziomym z prędkością u = 10 m/s. Ze sterowca wyrzucono kulkę
metalową, nadając jej poziomą prędkość początkową v = 5m/s (względem sterowca) w chwili, gdy przelatywał on nad
wierzchołkiem masztu stacji radiowej stojącego na płaskim terenie. Jak daleko od masztu upadła kulka? Jaki był czas ruchu kulki?
Wyznaczyć wektor prędkości v1, wysokość H, przyspieszenie całkowite a oraz składową styczną as przyspieszenia kulki po czasie
t = 3 s od momentu jej wyrzucenia ze sterowca. Opory powietrza zaniedbać. Jak zależy promień krzywizny toru kulki od czasu?
Przyjąć g = 10 m/s2.
22. Talerz twardego dysku o średnicy 3,5 cala (cal = 2,54 cm) uzyskuje, przyspieszając jednostajnie, końcową prędkość kątową
7200 obrotów na minutę w czasie t = 3 sek. Wyznaczyć: a) końcową prędkość kątową wyrażoną w radianach na sekundę; b)
przyspieszenie kątowe talerza; c) drogę kątową punktów talerza zakreśloną w czasie t = 3 sek.; d) liczbę obrotów talerza podczas
przyspieszonego ruchu obrotowego; e) przyspieszenie styczne punktów położonych na brzegu talerza podczas przyspieszonego
ruchu obrotowego; f) zależność od czasu prędkości liniowej i przyspieszenia dośrodkowego punktów na brzegu talerza w trakcie
przyspieszonego ruchu obrotowego; g) prędkość liniową, przyspieszenie dośrodkowe oraz styczne punktów na brzegu talerza po
czasie t = 3 sek.
W. Salejda
Wrocław, 16 października 2015
3