Przykłady do listy 13.
Transkrypt
Przykłady do listy 13.
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz 1 Przykłady do zadania 14.1: Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji. W punktach (c) i (d) znaleźć także poziomice wykresów podanych funkcji i na tej podstawie naszkicować te wykresy.: (a) f (x, y) = ln(1 − x2 − y 2 ) • Df = {(x, y) : 1 − x2 − y 2 > 0} = {(x, y) : x2 + y 2 < 1} jest to koło otwarte (czyli bez brzegu) o środku (0, 0) i promieniu 1 1.5 1 0.5 D f 0 1 −0.5 −1 −1.5 −1.5 (b) f (x, y, z) = −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 10 ex+y−z − 1 • Df = {(x, y, z) : ex+y−z − 1 6= 0} = {(x, y, z) : x + y − z 6= 0} jest to przestrzeń R3 bez płaszczyzny o równaniu x + y − z = 0 35 30 D 25 f 20 15 10 5 0 x+y−z=0 0 10 0 20 D 30 10 f 20 30 40 2 40 (c) f (x, y) = √ x2 + y 2 • Df = R2 • Poziomice Ph = {(x, y) : f (x, y) = h} to: Ph = ∅ dla h < 0 P0 = {(0, 0)} Ph = {(x, y) : x2 + y 2 = h2 } dla h > 0, czyli okręgi o wspólnym środku (0, 0) i promieniach równych h 2 2 2 1.5 1.5 2 1 5 1. 2 1. 5 1 1 1.5 1 2 0. 2 5 0.25 1 1.5 0 0.5 0.5 −0.5 1 −1 1.5 −1.5 1.5 2 −2 −2 −1.5 2 −1 −0.5 2 0 0.5 1 1.5 2 • Wynika stąd, że wykres badanej funkcji to powierzchnia obrotowa, obracamy wokół osi √ 2 Oz funkcję z = f (x, 0) = x = x dla x 0 2 z 1.5 1 z=x 0.5 0 x −0.5 −2 −1.5 −1 3 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 • Otrzymujemy stożek 2.5 2 1.5 1 0.5 −2 0 0 −2 −1.5 −1 −0.5 0 4 0.5 1 1.5 2 2 (d) f (x, y) = 1 x+y • Df = {(x, y) : x + y 6= 0} - płaszczyzna bez prostej x + y = 0 • Poziomice Ph = {(x, y) : f (x, y) = h} to: Ph = ∅ dla h = 0 1 Ph = {(x, y) : x + y = } dla h 6= 0, czyli proste równoległe do prostej x + y = 0 h 1 0.8 0.8 1 x+y=0 0.6 0.4 0.8 0.2 2 1 0 −0.2 −1 −2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −0.8 −1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 • Wynika stąd, że wykres badanej funkcji to powierzchnia walcowa (w dwóch częściach, bo przerwa w dziedzinie) o przekroju hiperboli 50 40 30 20 10 0 przekroj plaszczyzna prostopadla do prostej y=x −10 −20 −30 −40 −50 −2 −1.5 −1 5 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 • Otrzymujemy wykres 4 3 2 1 0 x+y=0 −1 −2 −3 −4 2 1 0 −1 −2 −2 −1.5 6 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Przykłady do zadania 14.2: Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji: (a) f (x, y) = xy + x2 + y − 2x • Df = R2 ∂f • (x, y) = y + 2x − 2 ∂x ∂f • (x, y) = x + 1 ∂y (b) f (x, y) = ex ln(x + y) • Df : x + y > 0, x + y 6= 1 ex ln(x + y) − ex · ∂f • (x, y) = ∂x ln2 (x + y) 1 x+y ·1 ! ∂f −1 1 • (x, y) = ex ·1 · 2 ∂y x+y ln (x + y) (c) f (x, y) = sin2 (x − y 2 ) • Df = R2 ∂f • (x, y) = 2 sin(x − y 2 ) cos(x − y 2 ) · 1 ∂x ∂f • (x, y) = 2 sin(x − y 2 ) cos(x − y 2 ) · (−2y) ∂y (d) f (x, y) = xy • Df : x > 0 ∂f (x, y) = yxy−1 • ∂x ∂f • (x, y) = xy ln x ∂y 7 (e) f (x, y, z) = y − √ x2 + z 3 • Df : x2 + z 3 0 1 ∂f (x, y, z) = − (x2 + z 3 )−1/2 · 2x dla x2 + z 3 > 0 • ∂x 2 ∂f • (x, y, z) = 1 ∂y ∂f 1 • (x, y, z) = − (x2 + z 3 )−1/2 · 3z 2 dla x2 + z 3 > 0 ∂z 2 (f) f (x, y, z) = q 3 arctg(x + eyz ) • Df = R2 ∂f 1 1 • (x, y, z) = (arctg(x + eyz ))−2/3 · ·1 yz ∂x 3 (x + e )2 + 1 ∂f 1 1 • (x, y, z) = (arctg(x + eyz ))−2/3 · · eyz · z yz 2 ∂y 3 (x + e ) + 1 1 1 ∂f (x, y, z) = (arctg(x + eyz ))−2/3 · · eyz · y • yz ∂z 3 (x + e )2 + 1 dla wszystkich pochodnych x + eyz 6= 0 Przykłady do zadania 14.3: Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane są równe: (a) f (x, y) = ln(x − y) • Df : x − y > 0 ∂f 1 • (x, y) = , ∂x x−y ∂ 2f ∂ • (x, y) = 2 ∂x ∂x ∂f 1 1 (x, y) = · (−1) = ∂y x−y y−x 1 x−y ! =− ∂ 2f ∂ (x, y) = ∂y∂x ∂y 1 x−y ! ∂ 2f ∂ (x, y) = ∂x∂y ∂x 1 y−x ! ∂ 2f ∂ (x, y) = 2 ∂y ∂y • Sprawdzenie: 1 y−x 1 (x − y)2 =− 1 · (−1) (x − y)2 =− 1 · (−1) (y − x)2 ! =− 1 (y − x)2 ∂ 2f ∂ 2f 1 (x, y) = = (x, y) ∂y∂x (x − y)2 ∂x∂y 8 x (b) f (x, y) = e y • Df : y 6= 0 ∂f 1 x • (x, y) = e y , ∂x y 2 ∂ f 1 xy • (x, y) = e ∂x2 y2 x x ∂f (x, y) = − 2 e y ∂y y ∂ 2f 1 x 1 x x (x, y) = − 2 e y + − 2 ey ∂y∂x y y y ! ∂ 2f 1 x x 1 x (x, y) = − 2 e y − 2 · e y ∂x∂y y y y ∂ 2f x 2x xy x xy − (x, y) = e − e ∂y 2 y3 y2 y2 ! = x(x + 2y) xy e y4 x + y xy ∂ 2f ∂ 2f (x, y) = − 3 e = (x, y) • Sprawdzenie: ∂y∂x y ∂x∂y (c) f (x, y, z) = x2 + y 3 x − 2x3 y 2 z 5 • Df = R2 ∂f ∂f ∂f • (x, y, z) = 2x + y 3 − 6x2 y 2 z 5 , (x, y, z) = 3y 2 x − 4x3 yz 5 , (x, y, z) = −10x3 y 2 z 4 ∂x ∂y ∂z ∂ 2f ∂ 2f 2 5 • (x, y, z) = 2 − 12xy z (x, y, z) = 3y 2 − 12x2 yz 5 ∂x2 ∂x∂y ∂ 2f ∂ 2f (x, y, z) = 3y 2 − 12x2 yz 5 (x, y, z) = 6yx − 4x3 z 5 ∂y∂x ∂y 2 ∂ 2f ∂ 2f (x, y, z) = −30x2 y 2 z 4 (x, y, z) = −20x3 yz 4 ∂z∂x ∂z∂y ∂ 2f (x, y, z) = −30x2 y 2 z 4 ∂x∂z ∂ 2f (x, y, z) = −20x3 yz 4 ∂y∂z ∂ 2f (x, y, z) = −40x3 y 2 z 3 2 ∂z • Sprawdzenie: ∂ 2f ∂ 2f (x, y, z) = 3y 2 − 12x2 yz 5 = (x, y, z) ∂y∂x ∂x∂y ∂ 2f ∂ 2f 2 2 4 (x, y, z) = −30x y z = (x, y, z) ∂z∂x ∂x∂z ∂ 2f ∂ 2f 3 4 (x, y, z) = −20x yz = (x, y, z) ∂y∂z ∂z∂y 9 Przykłady do zadania 14.4: Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji: y ∂ 3f (a) (x, y) dla f (x, y) = cos 2 ∂x∂y x • Df : x 6= 0 ∂ 3f ∂ • Mamy obliczyć = 2 ∂x∂y ∂x ∂ ∂y ∂f ∂y !! ∂f y 1 • (x, y) = − sin · ∂y x x ∂ • ∂y ∂f ∂y ∂ • ∂x ∂ ∂y ! ∂ 1 y − sin ∂y x x (x, y) = ∂f ∂y !! (b) ∂ y 1 − 2 cos ∂x x x (x, y) = y y 2 1 cos − 2 − sin 3 x x x x = y y y 2 ∂ 3f − 4 sin (x, y) = 3 cos 2 ∂x∂y x x x x Odp.: 1 y 1 1 y = − cos · = − 2 cos x x x x x ∂ 5f (x, y, z) dla f (x, y, z) = x2 y 3 z 4 ∂x2 ∂z∂y 2 • Df = R3 ∂ 5f ∂ • Mamy obliczyć = 2 2 ∂x ∂z∂y ∂x • ∂ ∂x ∂ ∂z ∂ ∂y ∂f ∂y !!!! ∂f (x, y, z) = 3x2 y 2 z 4 ∂y ! ∂ 2 2 4 3x y z = 6x2 yz 4 ∂y ∂ • ∂y ∂f ∂y ∂ • ∂z ∂ ∂y ∂f ∂y ∂ • ∂x ∂ ∂z ∂ ∂y ∂f ∂y !!! ∂ • ∂x ∂ ∂x ∂ ∂z ∂ ∂y ∂f ∂y Odp.: (x, y, z) = !! (x, y, z) = ∂ 2 4 6x yz = 24x2 yz 3 ∂z (x, y, z) = ∂ 24x2 yz 3 = 48xyz 3 ∂x !!!! (x, y, z) = ∂ 5f (x, y, z) = 48yz 3 ∂x2 ∂z∂y 2 10 ∂ 48xyz 3 = 48yz 3 ∂x · − y x2