Nierówności dla kwantyli rozkładu chi-kwadrat

XXXV Konferencja
Statystyka Matematyczna Wisla 2009
NIERO WNOSCI DLA KWANTYLI
ROZKLADU CHI-KWADRAT
Tadeusz Inglot
Instytut Matematyki i Informatyki
Politechniki Wroclawskiej
PROBLEM
(z ) ? dystrybuanta rozkladu N (0; 1);
z () ? kwantyl rzedu 1 ? tzn.
,
(z ()) = 1 ? :
2 ? zmienna losowa o rozkladzie chi-kwadrat z k
stopniami swobody,
u(; k) ? kwantyl rzedu 1 ? dla 2 tzn.
k
,
k
P (2 u(; k)) = :
k
Jaka jest asymptotyka z() oraz u(; k);
gdy ! 0 i/lub k ! 1 ?
wa_zne dla pewnych rozwa_zan asymptotycznych,
typowa sytuacja: k = c1 log n; = e?
czyli = expf?e g.
inna asymptotyka dla ustalonego , a inna dla
ustalonego k.
c2
n
c2 k=c1
cel:
mo_zliwie precyzyjne oszacowania, cytowania w MR i ZBL.
KWANTYLE ROZKLADU
NORMALNEGO
Twierdzenie 1.
log(1
=
))
+
2
log(4
r
z () 2 log(1=) ? 2 log(1=) ;
r
log(2
log(1
=
))
+
3
=
2
r
z () 2 log(1=) ?
2 log(1=)
dla ka_zdego 0:1:
r
Formula przybli_zona
A
log(2
log(1
=
))
+
B
r
z () z^() = 2 log(1=) ?
2 2 log(1=) ;
A = 0:867; B = 2:382:
r
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
z () z^()
1.2816
1.6449
2.3263
2.5758
3.0902
3.7190
4.2649
4.7534
1.2825
1.6441
2.3253
2.5750
3.0902
3.7202
4.2670
4.7562
blad
+0.07%
-0.05%
-0.04%
-0.03%
0
+0.03%
+0.05%
+0.06%
,
Dla 0:000001 0:1 blad nie przekracza 0.07%.
,
OGON ROZKLADU CHI-KWADRAT
Calkowanie przez czesci daje
,
Z 1 (k?2)=2
e? 2dx =
Z 1 1 ( ?2) 2 ? 2
(
?
2)
2
?
2
2u
e + (k ? 2) x x
e dx:
u
k
=
x
x=
u=
k
=
x=
u
Stad, dla k 2; u > k ? 2
8
9
>
>
<
2
u
k
?
2
2
P ( u) 2 2?(k=2) exp >:? 2 + 2 log u=>;
oraz
,
k
k=
P (2 u) 2
u exp 8><? u + k ? 2 log u9>= :
>
;
2 2?(k=2) u ? k + 2 >: 2
2
k
k=
Po przeksztalceniach
1 E (u) P (2 u) p1
u E (u);
2
u ? k + 2
8k 2 8u > k ? 2;
k
k
k
gdzie
9
>
u
k
k
?
2
u
1
E (u) = exp ? 2 + 2 + 2 log k ? 2 log k=>; :
8
>
<
>
:
k
Po dokladniejszych rachunkach oszacowanie z dolu
mo_zna poprawic
( )
?2
1
?
e
u
2
P ( u) 2 u ? k + 2pk E (u);
8k 2 8u k:
k
k
OSZACOWANIA Z GO RY
Nierownosc globalna
Laurent & Massart (2000)
v
u
u
1
u
1
u
t
u(; k) k + 2 log + 2 k log ; 8k 1 8 2 (0; 1):
Nierownosci w dolnym zakresie
Twierdzenie 2. 8c 2 (0v; 2) 9a = a(c) > 0
u
u
1
u(; k) k + 2 log + cuutk log 1 ; 8k 1 8 < e? :
ak
Twierdzenie 3.
p 5 4 0B 1 1C
1
u(; k) k + 2 log + 2 k log @log A ;
8k 2 8 < expf?e( ?2) 16 g:
wykladnik 5/4 mo_zna dowolnie zmniejszyc,
=
k
ograniczajac odpowiednio zakres .
,
4=
k
2
OSZACOWANIA Z DOLU
Nierownosci globalne
Brain & Mi p(2001) ? oparta na CLT
u(; k) > k + k;
8k 1 8 0:15:
Inglot & Ledwina (2006)
u(; k) k + 2 log 1 ? 3; 8k 3 8 k1 :
Stosujac (*) mamy
,
Twierdzenie 4.
1
u(; k) k + 2 log ? 5=2; 8k 2 8 0:17;
u(; k) k + 2 log 1 ;
8k 9 8 171 :
OSZACOWANIA Z DOLU
Nierownosci w dolnym i srodkowym zakresie
Inglot & Ledwina (2006)
p
1
1
u(; k) k + 2 log + 3 k log log 1 ? 3:1;
8k 3 8 e? 3;
k=
v
u
u
u
u
t
u(; k) k + 2 log 1 + 14 k log 1 ;
8k 32 8 2 [e? 3; 1=k]:
k=
Stosujac (*) mamy
,
Twierdzenie 5.
p
1
1
u(; k) k + 2 log + k log log ;
8k 32 8 e? 8;
k=
v
u
u
u
u
t
1
1
1
u(; k) k + 2 log + 4 k log ;
8k 17 8 2 [e?560 ; 1=k]:
k
APROKSYMACJE KWANTYLI
Niejawne
Fisher (1925)
p
2
2 ? 2k ? 1 ! N (0; 1);
r
Z CLT
k
k ! 1:
p
1
Stad u(; k) 2 (z () + 2k ? 1)2:
Wilson-Hilferty (1931)
0
v
1
u
u
(2 =k)1 3 ma rozklad asymptotyczny N BBB@1 ? 92k ; uut 92k CCCA :
,
=
k
0
B
B
B
@
v
u
u
u
u
t
13
CC
CA
2
2
Stad u(; k) k 1 ? 9k + z () 9k :
Roz_ ne ulepszenia W-H:
,
Haldane (1937), Goldberg & Levine (1946),
Severo & Zelen (1960), Zar (1974, 1978).
Jawne
Hoaglin (1977)
0
B
B
B
@
p
v
u
u
u
u
t
u(; k) 1:06807 k + 2:13161 log10 1
v
u
u
u
u
t
12
CC
CA
1
?0:04589 k log10 ? 1:37266 :
Gilbert (1977).
Postac
NOWA APROKSYMACJA
p
1
1
u(; k) k + 2 log + C1 k log + C2 k log log 1
v
u
u
u
u
t
p
+C3 k + +C4 log 1 + C5 log log 1 + C6:
v
u
u
u
u
t
Dla porownania
Fisher
v
u
u
u
u
t
1
1
u(; k) k + log + 2 k log + reszta:
Wilson-Hilferty
v
u
u
4
1
u(; k) k + 3 log + 2uutk log 1 + reszta:
Propozycja wyboru stalych
p
1
1
u(; k) k +2 log +1:62 k log +0:63012 k log log 1
v
u
u
p
?1:12032 k ?2:48uutlog 1 ?0:65381 log log 1 ?0:22872:
v
u
u
u
u
t
Dla 0:0005 0:4; 4 k 100; blad < 0.3%.
Dla 0:0001 0:4; 3 k 100; blad < 0.71%.
k
0.0005 0.05
0.2
0.3
4 +0.29% +0.16% +0.23% +0.14%
6 +0.14% ?0.17% ?0.01% +0.03%
9 +0.05% ?0.24% ?0.04% +0.03%
25 ?0.03% ?0.07% +0.10% +0.13%
100 ?0.08% +0.13% +0.19% +0.16%
400
+0.14% +0.15% +0.12%
,
,