1 - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
SYSTEMY DYNAMICZNE
Stabilność systemów dynamicznych
Materiały pomocnicze do ćwiczeń – Termin T7
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Krzysztof Mazur, mgr inż.
Wprowadzenie
Stabilność jest jednym z głównych pojęć charakteryzujących systemy dynamiczne.
Zapewnienie jej jest priorytetem dla układów automatycznej regulacji. W przypadku
ciągłych liniowych stacjonarnych systemów SISO, a więc posiadających opis
transmitancyjny Gc ( s ) , badaniu stabilności służą następujące metody (podstawowe):
kryterium Hurwitz’a,
kryterium Routh’a
kryterium Nyquist’a.
Pierwsze dwa z wymienionych kryteriów są metodami algebraicznymi, podczas gdy
trzecie jest metodą wykreślną wyprowadzoną na gruncie analizy częstotliwościowej
liniowych systemów dynamicznych.
W przypadku dyskretnych liniowych stacjonarnych systemów SISO, analogicznie,
posiadających
opis
transmitancyjny
Gd ( z )
(względnie
Gs ( z −1 ) ),
kryteria
obowiązujące dla systemów ciągłych mogą być, nieznacznie zmodyfikowane,
również przydatne w badaniu stabilności.
Prócz algebraicznych metod badania stabilności związanych z teorią ciągłych
liniowych układów sterowania, istnieją również metody bezpośrednio operujące na
dyskretnej postaci analizowanych systemów. Podstawowe z nich to:
kryterium Jury’ego,
kryterium Shur’a-Cohn’a.
Najdokładniejszym
narzędziem
badania
stabilności
rozważanych
systemów
dyskretnych jest analiza położenia pierwiastków równania charakterystycznego.
W połączeniu z numerycznymi metodami znajdywania ich współrzędnych jest
jednocześnie najbardziej efektywnym podejściem do tego zagadnienia.
Problemem o większym stopniu złożoności jest badanie stabilności systemów nie w
pełni dyskretnych, tzn. składających się zarówno z dyskretnych jak i ciągłych
podsystemów. W takim wypadku podstawowym czynnikiem jest zapewnienie
odpowiedniego okresu próbkowania Ts podsystemu Gd ( z ) względem właściwości
dynamicznych Gc ( s ) .
2
Metody algebraiczne
a) o genezie ciągłej
Dwie pierwsze metody algebraiczne, tj. kryterium Hurwitz’a oraz kryterium
Routh’a, zastosowane do systemów ciągłych służą sprawdzeniu, czy wszystkie
pierwiastki
Gc ( s ) =
ten
równania
Lc ( s )
Mc ( s )
jest
to
charakterystycznego
Mc ( s )
badanego
systemu
znajdują się w lewej półpłaszczyźnie zespolonej zmiennej s . Fakt
gwarantem
stabilności
asymptotycznej
(ciągłych
liniowych
stacjonarnych systemów SISO) powodując zanikanie w czasie odpowiedzi
impulsowej systemu, a zatem i zanikanie w czasie stanów przejściowych
spowodowanych skokową zmianą wymuszenia.
Obszar na płaszczyźnie zespolonej zmiennej z o analogicznych właściwościach
względem stabilności badanego systemu dyskretnego Gd ( z ) =
wewnątrz okręgu jednostkowego
Ld ( z )
Md ( z )
znajduje się
z < 1 . Stąd potwierdzenie, iż pierwiastki
równania charakterystycznego Md ( z ) znajdują się wewnątrz tego okręgu, jest
jednoznaczne ze wykazaniem stabilności asymptotycznej (dyskretnego liniowego
stacjonarnego systemu SISO), a więc zanikania w czasie odpowiedzi impulsowej
systemu, a zatem i zanikania w czasie stanów przejściowych spowodowanych
skokową zmianą wymuszenia.
Aby wykorzystać, czy to kryterium Hurwitz’a czy też kryterium Routh’a, do
badania stabilności rozważanych systemów dyskretnych należy zastosować
przekształcenie wnętrza okręgu jednostkowego
z < 1 na płaszczyźnie
zespolonej zmiennej z na lewą półpłaszczyznę zespoloną zmiennej s .
Dokonuje tego podstawienie:
z = e sTs
(1)
gdzie Ts jest okresem próbkowania systemu dyskretnego. Niestety podstawienie
(1), choć w idealny sposób przekształca współrzędne biegunów dyskretnych na
3
ciągłe, prowadzi do niealgebraicznej zależności względem zmiennej s . Tej
wykluczającej podstawienie (1) wady nie posiada przekształcenie biliniowe:
z=
s +1
s −1
(2)
które pomimo że nie jest idealne względem transformacji współrzędnych
biegunów, prowadzi do algebraicznej postaci transmitancji systemu ciągłego
Gdc ( s ) =
Gd ( z ) =
Ldc ( s )
Mdc ( s )
Ld ( z )
Md ( z )
Zastosowanie
dyskretnych,
odpowiadającej transmitancji dyskretnej badanego systemu
.
przekształcenia
pozwala
biliniowego
(2) do
na przeprowadzenie
rozważanych
badania
systemów
stabilności metodami
algebraicznymi na odpowiadających im systemach ciągłych, z tym iż wynik
badania
pozostaje
prawdziwy
dla
pierwotnie
analizowanych
systemów
dyskretnych.
b) o genezie dyskretnej
Alternatywnie do wstępnie modyfikowanych kryteriów Hurwitz’a oraz Routh’a
możliwe jest zastosowanie, bezpośrednio do równania charakterystycznego
Md ( z ) , kryterium Jury’ego. Niestety w większości przypadków pozwala ono
jedynie na wnioskowanie o niestabilności rozważanego systemu dyskretnego,
ponieważ analitycznie stosowalne warunki (3) – (6) są warunkami koniecznymi,
lecz nie wystarczającymi. Wyjątkiem jest tu system dyskretny drugiego rzędu (
n = 2 ) dla którego owe warunki (3) – (6) dostarczane przez kryterium Jury’ego są
wystarczającymi. Analitycznie kryterium Jury’ego przedstawia się następująco:
ad
< ad n
(3)
Md (1) > 0
(4)
Md ( −1) > 0 dla n parzystego
(5)
0
4
Md ( −1) < 0 dla n nieparzystego
gdzie
ad i ,
dla
i = 0, K , n
są
rzeczywistymi
(6)
współczynnikami
równania
charakterystycznego Md ( z ) oraz n jest rzędem dynamiki systemu dyskretnego.
W przeciwieństwie do powyższej metody kryterium Shur’a-Cohn’a dostarcza
warunki konieczne i wystarczające do stwierdzenia, czy pierwiastki równania
charakterystycznego Md ( z ) znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego. Warunki
te opisywane są zależnościami (7) – (9):
ad
0
< ad n
(7)
oraz wielomian n − 1 stopnia md ( z ) :
(
)
md ( z ) = z −1 ad n Md ( z ) + ad 0 Md ( z −1 ) z n = bd 0 + bd 1z + K + bd n −1 z n −1
(8)
posiada pierwiastki wewnątrz okręgu jednostkowego, gdzie:
bd n −1−k = ad n ad n − k − ad 0 ad k
dla k = 0,1, K , n − 1
(9)
Warunki (7) – (9) stosuje się rekurencyjnie, aż do osiągnięcia wielomianu stopnia
n =1
i oceny położenia pojedynczego pierwiastka lub do wcześniejszego
stwierdzenia braku stabilności asymptotycznej, w przypadku, gdy nie jest spełniony
warunek (7).
Metody częstotliwościowe
Główną zaletą kryterium Nyquist’a jest fakt, iż pozwala ono określić stabilność
układu zamkniętego Gccl ( s ) na podstawie badania układu otwartego Gco ( s ) .
Ponieważ jest to metoda wykorzystująca analizę częstotliwościową systemów, to
układ otwarty reprezentowany jest przez transmitancję widmową. W przypadku
rozważanych systemów ciągłych Gco ( s ) otrzymuje się ją na podstawie transmitancji
operatorowej GcoF ( jω ) , tzn. przez podstawienie:
5
s = jω
(10)
Z kolei w przypadku dyskretnego systemu transmitancja widmowa GdoF ( e jω )
otrzymywana jest poprzez zastosowanie podstawienia:
z = e jω
(11)
Przedstawione powyżej zastosowanie podstawień (10) oraz (11) jest równorzędne w
tym sensie, iż zarówno w pierwszym jak i drugim przypadku wykorzystywane w
transmitancjach operatorowych transformaty: odpowiednio Laplace’a oraz Z,
przyjmują w transmitancjach widmowych postać transformat Fourier’a: ciągłej oraz
dyskretnej. Tym samym graficzna analiza charakterystyk amplitudowo-fazowych, czy
też częstotliwościowych charakterystyk logarytmicznych, na potrzeby badania
stabilności rozważanych systemów dyskretnych, jest analogiczna jak w przypadku
systemów ciągłych.
Analiza położenia pierwiastków równania charakterystycznego
Algebraiczne metody badania stabilności dyskretnego liniowego stacjonarnego
systemu SISO pozwalają stwierdzić, czy ma się do czynienia z systemem stabilnym
asymptotycznie, czy też nie (system na granicy stabilności lub niestabilny). Metody
częstotliwościowe dodatkowo umożliwiają wyróżnienie systemu dyskretnego na
granicy stabilności oraz analizę zapasu stabilności, ale tylko i wyłącznie w stosunku
do układu zamkniętego na podstawie badań układu otwartego.
Dokładne badanie stabilności rozważanych układów dyskretnych możliwe jest, gdy
znane są położenia pierwiastków równania charakterystycznego. Związane z nimi
warunki stabilności zawarte są w tabeli 1.
6
Tabela
1.
Położenie
pierwiastków
równania
charakterystycznego
systemów
dyskretnych
Rodzaj
Warunek
stabilności
stabilność
wszystkie pierwiastki wewnątrz okręgu jednostkowego:
zi < 1 dla i ∈ {1, K , n}
asymptotyczna
(12)
pewne pojedyncze pierwiastki na okręgu jednostkowym oraz
reszta pojedynczych pierwiastków i wszystkie wielokrotne
granica
wewnątrz okręgu jednostkowego:
z j = 1 pojedyncze pierwiastki: j ∈ {1, K , n}
stabilności
(13)
oraz
zi < 1 pozostale pierwiastki: i ∈ {1, K , n}
i≠ j
∧
(14)
przynajmniej jeden pierwiastek jednokrotny poza okręgiem
jednostkowym lub przynajmniej jeden pierwiastek wielokrotny na
okręgu jednostkowym:
niestabilność
z j > 1 pojedyncze pierwiastki: j ∈ {1, K , n}
(15)
lub
zk = 1 wielokrotne pierwiastki: k ∈ {1, K , n}
∧
k≠ j
(16)
Bibliografia
Byrski, W. (2007). Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych. Uczelniane
Wydawnictwa Naukowo – Dydaktyczne Akademii Górniczo – Hutniczej
w Krakowie.
Praca zbiorowa pod red. L. Szklarskiego (1976). Podstawy teorii układu regulacji
automatycznej.
Tom
I.
Układy
liniowe.
Akademia
Górniczo–Hutnicza
im. S. Staszica.
Kaczorek, T., Dzieliński, A., Dąbrowski, W., Łopatka, R. (2005). Podstawy teorii
sterowania. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne.
Mazurek, J., Vogt H., Żydanowicz W. (2002). Podstawy automatyki. Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej.
7