ruchy dzienne

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE
KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH
Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na
tej samej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) i zależnych od parametru t przyjmującego wartości z pewnego zbioru T. Oznaczamy: {X(t), t ∈ T }.
Jeśli T = N , to proces stochastyczny jest zwykłym
ciągiem zmiennych losowych: {X(1), . . . , X(n), . . .}.
Zazwyczaj zbiór T interpretujemy jako czas. Wyróżniamy procesy stochastyczne z czasem dyskretnym (gdy
T jest zbiorem skończonym lub nieskończonym, ale przeliczalnym) i procesy stochastyczne z czasem ciągłym
(gdy T jest zbiorem nieskończonym i nieprzeliczalnym).
Jako proces stochastyczny można rozpatrywać np. ruch
cząstki gazu, poziom wody w zbiorniku, wahania skrzydła samolotu itp.
Podkreślmy jeszcze raz, że proces stochastyczny jest
funkcją dwóch zmiennych: t ∈ T, ω ∈ Ω. Jeśli t ∈ T
jest ustalone, to mamy zmienną losową X(t, ·) określoną na Ω. Jeśli ω ∈ Ω jest ustalone, to mamy zwykłą
funkcję X(·, ω) określoną na T, która nazywa się realizacją procesu stochastycznego lub trajektorią procesu
stochastycznego.
1
Przykłady. 1. Niech ξ i η będą dwoma niezależnymi
zmiennymi losowymi. Określmy proces stochastyczny
{X(t), t ∈ R} jako X(t, ω) = 0, gdy t < ξ(ω), oraz
X(t, ω) = η(ω), gdy t > ξ(ω). Czym jest trajektoria
tego procesu stochastycznego? Zbiór wszystkich trajektorii?
2. Niech ϕ będzie zmienną losową przyjmująca wartości z przedzialu [0, 2π]. Określmy proces stochastyczny
{X(t), t ∈ R} jako X(t, ω) = sin(at + ϕ(ω)), gdzie
a ∈ R jest ustalone. Czym jest trajektoria tego procesu stochastycznego? Zbiór wszystkich trajektorii?
Jeśli proces stochastyczny {X(t), t ∈ T } jest zadany,
to dla ustalonych wartości t1, . . . , tn ∈ T można policzyć rozkład wektora losowego (X(t1, ω), . . . , X(tn, ω)).
Taki rozkład nazywa się skończenie wymiarowym rozkładem procesu stochastycznego. Okazuje się (jest to
treść tzw. Twierdzenia Kołmogorowa), że podanie wszystkich rozkładów skończenie wymiarowych, zgodnych
między sobą, jednoznacznie określa proces stochastyczny.
Definicja. Proces stochastyczny {X(t), t ∈ T } nazywamy procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych, jeśli dla każdego n ∈ N i każdego naboru t0 <
t1 < . . . < tn, ti ∈ T, zmienne losowe X(t0), X(t1) −
X(t0), . . . , X(tn) − X(tn−1) są niezależne.
2
Jeśli T = [0, a] lub T = [0, +∞), to zazwyczaj t0 = 0.
Zmienna losowa X(0) nazywa się początkową wartością
procesu stochastycznego, a jej rozkład - rozkładem początkowym. Dalej dla uproszczenia będziemy zakładać,
że X(0) = 0 z prawdopodobieństwem 1.
Przykład. Niech X1, . . . , Xn, . . . będą niezależnymi
zmiennymi losowymi. Określmy: T = N , X(n) =
X1 + . . . + Xn. Wówczas {X(t), t ∈ T } jest procesem
stochastycznym o przyrostach niezależnych (nazywanym błądzeniem losowym).
Dla takich procesów stochastycznych rodzina rozkładów zmiennych losowych X(t) − X(s) (przyrostów w
przedziale [s, t]), s < t, s ∈ T, t ∈ T, określa każdy
rozkład skończenie wymiarowy procesu, co oznacza, ze
jednoznacznie określa proces stochastyczny.
Własność „braku pamięci”. Jeśli {X(t), t ∈ [0, +∞)}
jest procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych, to dla każdego n ∈ N , każdego naboru 0 6 t1 <
. . . < tn i każdego x ∈ R zachodzi
P (X(tn) 6 x|X(t1) = x1, . . . , X(tn−1) = xn−1) =
P (X(tn) 6 x|X(tn−1) = xn−1).
3
Definicja. Proces stochastyczny o przyrostach niezależnych {X(t), t ∈ T } nazywamy procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych i stacjonarnych
(jednorodnych), jeśli zmienne losowe X(t) − X(s) i
X(t + h) − X(s + h) mają takie same rozkłady dla
wszystkich s, t ∈ T, s < t, i h ∈ T takich, że s + h, t +
h ∈ T.
Jeśli w przykładzie z poprzedniej strony zmienne losowe X1, . . . , Xn, . . . mają takie same rozkłady, to określony proces stochastyczny jest procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych i stacjonarnych.
Dla takich procesów rozkład każdego przyrostu określa
się tylko długością przedziału.
Własność „nieskończonej podzielności”. Jeśli {X(t), t ∈
[0, +∞)} jest procesem stochastycznym o przyrostach
niezależnych i stacjonarnych, to dla każdego n ∈ N
zmienną losową X(t) przy ustalonym t > 0 można
przedstawić w postaci sumy n niezależnych zmiennych
losowych o tym samym rozkładzie.
Proces Wienera. Ruch Browna.
Definicja. Proces stochastyczny o przyrostach niezależnych i stacjonarnych {W (t), t ∈ [0, +∞)} nazywamy procesem Wienera, jeśli W (0) = 0 i każdy przy4
rost W (t)−W (s), t > s, ma rozkład normalny N (θ(t−s),
σ 2(t − s)) dla pewnych θ ∈ R, σ 2 > 0. Na dodatek
zakładamy, że wszystkie trajektorie procesu Wienera
są ciągłe. Proces Wienera nazywamy ruchem Browna,
gdy θ = 0, σ 2 = 1.
Prawie wszystkie trajektorie ruchu Browna są nigdzie
nie różniczkowalne.
Dla ruchu Browna zachodzi
EW (t) = 0,
EW (t)W (s) = min{t, s}.
Wektor losowy (W (t1), . . . , W (tn)), gdzie 0 < t1 <
. . . < tn, ma gęstość
f (x1, . . . , xn) = (2π)−n/2[t1(t2−t1) . . . (tn−tn−1)]−1/2×
1 ∑ (xk − xk−1)2
exp{−
}.
2
tk − tk−1
n
k=1
Proces Poissona.
Definicja. Proces stochastyczny o przyrostach niezależnych i stacjonarnych {Y (t), t ∈ [0, +∞)} o wartościach nieujemnych całkowitych nazywamy procesem
Poissona, jeśli Y (0) = 0 i każdy przyrost Y (t) − Y (s),
t > s, ma rozkład Poissona P(µ(t − s)) z pewnym
parametrem µ > 0.
5
Wszystkie trajektorie rozkładu Poissona są nieciągłe.
Dla procesu Poissona zachodzi
EY (t) = µt, E(Y (t)−EY (t))(Y (s)−EY (s)) = µ min{t, s}.
Rozkład wektora losowego (Y (t1), . . . , Y (tn)), gdzie 0 <
t1 < . . . < tn, określa się wzorem
P (Y (t1) = j1, P (Y (t2) = j2, . . . , Y (tn) = jn) =
µjn t1j1 (t2 − t1)j2−j1 . . . (tn − tn−1)jn−jn−1
.
j1!(j2 − j1)! . . . (jn − jn−1)!eµtn
Proces Poissona jest procesem skokowym, prawie wszystkie skoki którego wynoszą 1. Czyli, wartość Y (t) jest
liczbą skoków procesu w przedziale [0, t]. Punkty {ξk },
w których proces Poissona ma skoki, są zmiennymi losowymi, przy czym zmienne losowe ξ1, ξ2 −ξ1, . . . , ξn −
ξn−1, . . . są niezależne o tym samym rozkładzie wykładniczym E(µ).
6