Trzecia lista zadań ze „Wstępu do Rachunku Prawdopodobieństwa”

Trzecia lista zadań ze „Wstępu do Rachunku Prawdopodobieństwa”
Niezależność zdarzeń
Zad.32. Z czterech jednakowych kul jedną pomalowano na zielono, drugą na niebiesko, trzecią na
czerwono, a na czwartej umieszczono wszystkie trzy kolory. Kule wrzucono do urny. Wylosujemy
jedną kulę. Pokazać, że zdarzenia A=wylosujemy kulę, na której będzie kolor zielony, B=wylosujemy
kulę, na której będzie kolor niebieski oraz C=wylosujemy kulę, na której będzie kolor czerwony, są
parami niezależne, ale nie są niezależne.
Zad.33. (czy dobrze rozumiemy niezależność?) Rozważmy rodziny z trójką dzieci i załóżmy, że każdy z
ośmiu układów ddd, ddc, ..., ccc jest tak samo prawdopodobny. Niech H oznacza zdarzenie „rodzina
ma dzieci obu płci”, natomiast A zdarzenie „ jest tam co najwyżej jedna dziewczynka”. Czy zdarzenia
A i H są niezależne? Czy takie zdarzenia są niezależne, gdy rozpatrujemy rodziny z czwórką dzieci?
Zad.34. a) Pokazać, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to A i B c są niezależne.
b) Stosując indukcję i część a) pokazać, że układ zdarzeń A1 , A2 , ..., An jest niezależny wtedy i tylko
wtedy, gdy równość
P (Aε11 ∩ Aε22 ∩ ... ∩ Aεnn ) = P (Aε11 )P (Aε22 ) · ... · P (Aεnn )
zachodzi dla wszystkich możliwych układów, w których εi = 1 lub c i oczywiście A1i = Ai .
Zad.35. (wnioskowanie statystyczne) Pewien profesor uniwersytetu Cornella otrzymał 12 mandatów
za niedozwolony postój swego samochodu. Wszystkie mandaty były wydane we wtorki lub czwartki.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego zdarzenia, przy założeniu, że policja nie działa według jakiegoś
systemu, tzn. kontrole są jednakowo prawdopodobne każdego dnia. Czy byłoby uzasadnione wynajmowanie garażu tylko we wtorki i czwartki? Wsk. Statystycy przyjmują, że zdarzenia o prawdopodobieństwie poniżej 0,05 raczej się nie pojawiają.
Zad.36. Niech Sn oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego z parametrami n i p. Ustalmy
n i p i niech ak = P (Sn = k). Wykazać, że ciąg (an ) najpierw rośnie, a potem maleje. Dla jakiego
(jakich) k osiąga maksimum?
k
Zad.37. Dla jakiego k ciąg ( λk! e−λ )∞
k=0 osiąga maksimum?
Zad.38. Rozważmy ciąg prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie
równym p. Ile co najmniej prób trzeba wykonać, aby prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej
jednego sukcesu było większe bądź równe 0,99? Ile takich prób trzeba wykonać w totolotku, gdzie
p = 14 × 10−6 (chcemy trafić „szóstkę”)?
Zad.39.♥ Urna zawiera M kul białych i N − M czarnych. Losujemy kolejno bez zwracania n kul.
Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania ciągu zawierającego dokładnie k kul białych i n − k czarnych.
Zad.40.♥ (zadanie o rozmieszczeniu) (Feller tom I, str.41 i następne, J&S str. 25 i następne) Rozmieszczamy losowo r kul w n komórkach. Obliczyć prawdopodobieństwo pk tego, że dana komórka
będzie zawierać dokładnie k kul. Przedyskutowć problem, gdy: a) kule są rozróżnialne, b) kule są
nierozróżnialne. Zapoznać się z zastosowaniami w fizyce.