Zad. 1. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej

Zad. 1. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
xi
-5
-2
0
1
3
8
pi
0,1
0,2
0,1
0,2
c
0,1
Wyznaczyć: a. stałą c, b. wykres funkcji prawdopodobieństwa i jej histogram c. dystrybuantę
i jej wykres, d. prawdopodobieństwa: P( X = 1) , P( X ≤ 3) , P( X ≤ 2) , P( X > 0) ,
P(− 2 < X ≤ 3) dwoma sposobami, korzystając: 1. z danej funkcji prawdopodobieństwa, 2. z
wyznaczonej dystrybuanty.
Zad. 2.Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X :
x
F (x )
(− ∞, − 2) [− 2,1) [1, 3) [3, + ∞ )
0
0,2
0,8
1
Wyznaczyć jej funkcję prawdopodobieństwa.
Zad. 3. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa postaci:
xi
-3
-1
3
5
pi
0,1
0,2
0,5
0,2
Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej U , jeśli:
a. U = 2 X + 3 , b. U = X 3 , c. U = X 2 − 5 .
Zad. 4. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :
xi
-2
-1
2
5
pi
0,3
0,1
0,2
0,4
Wyznaczyć dwoma sposobami wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej
U = 2 X − 3 ; 1. znajdując najpierw funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej U oraz 2.
korzystając z odpowiednich własności wartości oczekiwanej i wariancji.
Zad. 5. Dane są funkcje prawdopodobieństwa zmiennych X i Y :
xi
0
1
2
pi
0,3
0,4
0,3
yi
0
1
2
3
pi
0,1
0,4
0,4
0,1
Zakładając brak jakiejkolwiek zależności między jakością produkcji obu zmiennych, znaleźć
funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej a. U = X + Y b. U = X − Y .
Zad. 6. Sprawdzić, że D 2 X = E[ X ( X − 1)] − EX (EX − 1)
Zad. 7. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
xi
-2
-1
2
pi
0,3
0,1
c
Wyznaczyć stałą c. Obliczyć dwoma sposobami wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej
losowej U = 3 X + 1 ; znajdując najpierw funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej U
oraz B. korzystając z odpowiednich własności wartości oczekiwanej i wariacji.
Zad. 8. Sprawdź czy funkcja
­0
°
F (x ) = ® x
°1
¯
dla x ≤ 0
dla 0 < x ≤ 1
dla x > 1
jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X . Czy ta zmienna jest zmienną losową
skokową? Oblicz P( X ≥ 0,5) .
Zad. 9. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z prawdopodobieństwem sukcesu p i
liczbą doświadczeń n . Wyznaczyć wartość średnią, wariancję, odchylenie standardowe,
współczynnik zmienności i asymetrii dla:
a. p = 0,3 i n = 16
b. p = 0,6 i n = 50
Zad. 10. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 3 . Podać wartość
oczekiwaną i odchylenie standardowe tego rozkładu oraz obliczyć prawdopodobieństwa:
P( X ≤ 2) , P( X ≥ 6 ) , P(3 ≤ X ≤ 5) .
Zad 11. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,001 . Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wśród 200 losujących:
a. żaden nie wygra,
b. wygra tylko jeden,
c. wygra co najwyżej dwóch.
Zad. 12. Liczba wyjazdów służbowych w ciągu miesiąca pracowników zatrudnionych w
jednej z firm kształtowała się następująco:
Liczba wyjazdów
Liczba osób (częstości empiryczne)
0
0,16
1
0,20
2
0,30
3
0,20
4
0,10
5
0,04
Zakładając, że rozkład liczby wyjazdów jest dwumianowy (przyjąć średnią x jako wartość
oczekiwaną rozkładu):
a. wyznaczyć prawdopodobieństwa teoretyczne,
b. narysować rozkład empiryczny i teoretyczny,
c. wyznaczyć dystrybuantę teoretyczną,
d. obliczyć prawdopodobieństwo więcej niż 4 wyjazdów służbowych w ciągu
miesiąca.
Zad. 13. PZU ocenia, że każdego roku 1% ubezpieczonych traci życie w określonego rodzaju
wypadkach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w danym roku PZU będzie musiało wypłacić
odszkodowania więcej niż trzy razy, jeśli ubezpieczyło od wypadku 300 osób.
Zad. 14. Z badań wynika, że 40% nowo powstałych w Polsce przedsiębiorstw „przeżywa” 5
lat. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród 6 nowo powstałych przedsiębiorstw
przynajmniej 3 przeżyje okres 5 lat.
Zad. 15. Pewien niewielki zakład transportowy jest w stanie wynająć każdego dnia 2
samochody. Przypuśćmy, ze dzienna liczba zgłoszeń klientów chcących nająć samochód, jest
zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 1,6 .
a. Jaką część w działalności firmy stanowią dni, kiedy nikt nie zgłasza się po
samochód?
b. Jaką część stanowią dni, kiedy popyt przekracza możliwości firmy?
c. Jaka jest oczekiwana dzienna liczba zgłoszeń klientów?
Zad. 16. Dana jest funkcja gęstości
­cx 2
f (x ) = ®
¯0
a.
b.
c.
d.
dla
dla
0 < x <1
pozostalych
Znaleźć stałą normującą c
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
Obliczyć klasyczny współczynnik zmienności
Znaleźć dystrybuantę
Zad. 17. Dana jest funkcja gęstości pewnej zmiennej losowej X
­0
°
f ( x ) = ® Bx
°0
¯
dla x ≤ 0
dla 0 < x ≤ 1
dla x > 1
,
Znaleźć wartość parametru B, obliczyć P(− 1 / 2 < X ≤ 3 / 4 ) .
Zad. 18. Dla jakiej wartości c następująca funkcja jest gęstością prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X
0
­
°
f ( x ) = ®c(1 − x )
°
0
¯
dla x < 0
dla 0 ≤ x ≤ 1
dla x > 1
Po znalezieniu c naszkicować wykres f ( x ) . Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X oraz
policzyć wartość oczekiwaną, wariancję, klasyczny współczynnik asymetrii oraz medianę.
Czy badana gęstością prawdopodobieństwa ma dominantę?
Zad. 19. Zmienna losowa X ma gęstość;
­ cx
°
f ( x ) = ® cx 2
°0
¯
dla x ∈ [0,1)
dla x ∈ [1, 2)
dla x ∉ [0, 2)
a. wyznacz c
b. wyznacz dystrybuantę,
c. oblicz P( 12 < X ≤ 32 ) ,
d. obliczyć EX i DX .
Zad. 20 Zmienna losowa X ma gęstość
f (x ) =
1
π 1+ x2
(
)
Wyznacz dystrybuantę. Oblicz oraz zaznacz na wykresie P(− 1 < X < 1) .
Zad. 21. Zmienna losowa X ma gęstość
f ( x ) = ce
−x
Wyznacz stałą normującą c oraz zaznacz na wykresie P(− 12 < X < 1) .
Zad. 22. Wyznacz tak stałą a , by funkcja
0
­
°
F ( x ) = ®2(1 − 1 / x )
°
1
¯
dla x ≤ 1
dla 1 < x ≤ a
dla x > a
była dystrybuantą zmiennej losowej X typu ciągłego. Wyznaczyć jej gęstość.
Zad. 23. Długość czasu pracy między kolejnymi awariami generatora elektrycznego ma
rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną równą 10 dni. Generator został właśnie
naprawiony.
a. wyznacz i narysuj funkcję gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuantę,
b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że generator ulegnie kolejnemu uszkodzeniu w
ciągu następnych 14 dni?
c. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie pracował bezawaryjnie dłużej niż 20 dni?
d. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przepracuje on więcej niż 5 dni, ale nie dłużej
niż 14 dni?
Szukane prawdopodobieństwa zaznaczyć na wykresie.
Zad. 24. Inwestor uważa, że cena interesujących go akcji wzrośnie jutro na giełdzie o pewną
wartość X z przedziału [0 ,1] zł. Przypuśćmy, że X jest zmienną losową o rozkładzie
jednostajnym. Wyznaczyć i narysować funkcję gęstości prawdopodobieństwa oraz
dystrybuantę. Obliczyć:
a. P(0,5 < X < 1) ,
b. P(0,25 ≤ X < 0,5)
c. EX i DX
Szukane prawdopodobieństwa zaznaczyć na wykresie.
Zad. 25. Doświadczenie pokazuje, że dochody z reklamy pewnego tygodnika mają rozkład
normalny z wartością oczekiwaną 80 mln złotych tygodniowo i odchyleniem standardowym 5
mln złotych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dochody z reklamy w pewnym tygodniu
będą:
a. mniejsze niż 70 mln złotych,
b. większe niż 85 mln zł,
c. większe niż 65 mln złotych i mniejsze niż 95 mln złotych.
Szukane prawdopodobieństwa zaznaczyć na rysunku.
Zad. 26. Załóżmy, że czas przepisywania jednej strony pracy dyplomowej przez pewną
maszynistkę ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną m = 15 minut i odchyleniem
standardowym σ = 3 minuty. Jeśli praca zawiera 100 stron, to jak długo należy oczekiwać na
jej przepisanie? Jaki procent stron będzie przepisywany dłużej niż 20 minut?
Zad. 27. Z badań wynika, że żywotność opony radialnej ma rozkład N (90 000,10 000) km.
a. Znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo kupiona opona będzie miała żywotność 95
000 km lub więcej.
b. Zakupiono 4 opony. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich łączna żywotność
wyniesie 400 000 km lub więcej?
Zad. 28. W windach osobowych znajduje się instrukcja następującej treści: ”maksymalne
obciążenie 7 osób lub 500 kg”. Zakładając, że waga pasażera ma rozkład N (70, 8) , policzyć
prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg.
Zad. 29. Wydajność pracy pracowników ma rozkład normalny o parametrach N (7, 4)
(wydajność w szt./ godz.). Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że robotnik wyprodukuje w
ciągu godziny od 3 do 9 sztuk.