Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruc

3. KINEMATYKA
Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez
wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie
między ciałami, ani też rola, jaką to oddziaływanie odgrywa w zjawisku ruchu.
Ruchem nazywa się wzajemne przemieszczanie się w przestrzeni, w miarę
upływu czasu, jednych ciał względem innych. Ruch jest zjawiskiem względnym.
Oznacza to, ż ciało A poruszając się względem ciała B może w tym samym czasie
spoczywać względem innego ciała C.
Ruch ciał opisuje się w ten sposób, że podaje się położenie tego ciała
w każdej chwili względem jakiegoś innego wybranego ciała (lub zbioru ciał
w stosunku do siebie nieruchomych). Ciało lub zbiór ciał względem, których
opisuje się ruch innego ciał nazywa się układem odniesienia. Najczęściej jest to
układ kartezjański.
Rzeczywiste obiekty naszego świata mają określone rozmiary. Dlatego
wygodne jest stosowanie pojęcia punktu materialnego. Punkt materialny uosabia
cały obiekt i w przybliżeniu przyjmuje się, że położenie tego punktu jest również
umownym położeniem naszego obiektu. Oczywiście tego typu zabieg to
"idealizacja fizyczna", czyli uproszczenie sobie rzeczywistości tak, aby było
wygodniej ją opisywać.
Co można uznać za punkt najlepiej symbolizujący położenie obiektu?
Środek masy, czyli taki punkt, który znajdując się w środku ciała.
Położenie punktu materialnego względem danego układu odniesienia jest
opisane przez podanie, co najwyżej trzech jego współrzędnych x,y,z.
Torem ruchu ciał nazywamy krzywą utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciał w przestrzeni.
Droga jest to długość toru zakreślonego podczas ruchu.
Ruch prostoliniowy - to taki ruch, w którym wszystkie położenia wybranego
punktu poruszającego się leżą na jednej prostej, nieruchomej względem układu
odniesienia.
Gdy tor jest linią prostą mówimy, że ciało porusza się ruchem
prostoliniowym, gdy linią krzywą- ruch jest ruchem krzywoliniowym.
io
Długością toru s nazywamy drogę. Jest to
wielkość skalarna
Położenie ciała względem danego układu odniesienia można też określać

przy pomocy wektora położenia r ciał, inaczej zwanego promieniem wodzącym
tego ciała. Jest to wektor łączący początek układu odniesienia z aktualnym
położeniem ciał w przestrzeni. Różnica geometryczna dwóch wektorów położenia

ciał określa przemieszczenie tego ciała. Przemieszczenie  r w odróżnieniu od
drogi s jest wielkością wektorową.
Przy rozwiązywaniu wielu zagadnień kinematycznych bardzo pomocna jest
znajomość kinematycznego równania ruchu ciał. Jest to zależność lub układ
zależności określających położenie ciała w przestrzeni w funkcji czasu.
W postaci wektorowej kinematyczne równanie ruchu jest zależnością
określającą wektor położenia ciała jako funkcję czasu. Wektor położenia jest
wyrażony:




r ( t )  x ( t ) i  y( t ) j  z ( t ) k
  
gdzie i , j , k są wersorami odpowiednio osi x, y i z.
Ważnymi pojęciami kinematycznymi służącymi do opisu ruchu są prędkość
i przyspieszenie ciał. Można wyróżnić prędkość i przyspieszenie średnie,
określone dla skończonego odstępu czasu, oraz prędkość i przyspieszenie
chwilowe, określone dla nieskończenie krótkiego czasu obserwacji.
Prędkość średnią definiujemy jako iloraz przemieszczenia i czasu, w którym
ciało się przemieściło:
2
io


Δr
v(t) śr 
Δt
Na rysunku
v(t) śr 
Δx
Δt
jest sieczną.
Dla nieskończenie krótkiego czasu otrzymujemy wyrażenie określające prędkość
chwilową:



 r dr dx  dy  dz 
v( t ) ch  lim


i
j k
t 0
t dt dt
dt
dt
Prędkości chwilowe dla czasów t1, t2 i
t3.
Składowe prędkości chwilowej wzdłuż kierunków osi układu współrzędnych są
określone wzorami:
vx 
dx
,
dt
vy 
dy
,
dt
3
vz 
dz
.
dt
io
Podobnie definiuje się też oba przyspieszenia. Przyspieszenie średnie:


Δv
a(t) śr 
Δt
i przyspieszenie chwilowe:



Δv dv dv x  dv y  dv z 
a(t) ch  lim


i
j
k.
 t  0 t
dt
dt
dt
dt
Przyspieszenie chwilowe jest pierwszą pochodną prędkości ciała względem czasu
oraz
drugą
pochodną
wektora
położenia
względem
czasu.
Składowe
przyspieszenia wzdłuż kierunków osi układu współrzędnych kartezjańskich są
określone wzorami:
dv x d 2 x
ax 
 2 ,
dt
dt
dv x d 2 x
ax 
 2 ,
dt
dt
dv z d 2 z
az 
 2 .
dt
dt
Wektor prędkości chwilowej ciała jest styczny do toru, po którym to ciał się
porusza. Wektor przyspieszenia chwilowego zachowuje się nieco inaczej. Jest on
styczny do toru tylko w ruchu prostoliniowym.
3.1.Ruchy prostoliniowe
W ruchu prostoliniowym tor ciał jest z definicji linią prostą. Właściwość ta
umożliwia stosowanie opisu skalarnego, w którym posługujemy się zamiast
wektorami przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia wartościami tych
wektorów.
Ruchy prostoliniowe można dzielić w zależności od charakteru zmian
prędkości i przyspieszenia ciał na ruch jednostajny i ruch zmienny. Ten ostatni
z kolei można dzielić na jednostajnie zmienny i niejednostajnie zmienny.
3.1.1.Ruch
prostoliniowy jednostajny
Ruchem jednostajnym nazywa się ruch ze stała prędkością, niezależnie od
kształtu toru.
4
io
Prędkość i przyspieszenie w tym ruchu:


V  const. , a  0
a równanie ruchu dla tego przypadku:
x  v 0 t .
Ogólne rówanie:
s  s0  v0 t .
3.1.2.Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
Ruch
prostoliniowy
jednostajnie
zmienny
to
ruch
prostoliniowy
z przyspieszeniem nie zmieniającym się w czasie.
W ruchu tym przyspieszenie ciała jest stałe:

a  const. Wynika stąd, że przyspieszenie
średnie i przyspieszenie chwilowe są sobie
równe.
Równanie ruchu dla tego przypadku:
at 2
.
s  s 0  v0 t 
2
Korzystając, więc z definicji przyspieszenia
średniego można podać zależność określającą
prędkość chwilową ciała po czasie t od chwili
rozpoczęcia ruchu:
v  v 0  at .
3.1.3.Rzut pionowy i swobodny spadek ciał
Przykładami ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego są swobodny
spadek ciał i rzut pionowy.
Swobodny spadek ciała jest to ruch wzdłuż prostej pionowej bez prędkości początkowej,
5
io

z przyspieszeniem grawitacyjnym g . Jest to ruch prostoliniowy jednostajnie
przyspieszony.
Rzut pionowy w górę jest ruchem ciała wzdłuż prostej pionowej, którego prędkość
początkowa jest zwrócona do góry. Ruch ten jest ruchem prostoliniowym
jednostajnie opóźnionym.
Prędkość i położenie ciała opisują równania ruchu:
gt 2
y  v0 t 
2
v  v 0  at
Powyższe równania pozwalają wyznaczyć wszystkie parametry rzutu, np. czas
wznoszenia. Korzystając z faktu, że w punkcie maksymalnego wzniesienia się ciała
jego prędkość końcowa jest równa zeru (tj.: vy=0), czas wznoszenia:
tw 
v0
,
g
i że rzut pionowy jest ruchem opóźnionym, można otrzymać wyrażenie określające
wysokość maksymalnego wzniesienia:
v 20
h
2g .
6
io
3.1.4.Ruchy krzywoliniowe płaskie
Rzut poziomy jest złożeniem dwóch ruchów: jednostajnie zmiennego wzdłuż osi OY
i jednostajnego wzdłuż osi OX.
Prędkość początkowa, z jaką ciało zostało wyrzucone wynosi: v0. Prędkość
i położenie ciała w dowolnej chwili czasu t opisują równania ruchu:
Rzut
ukośny
vx  v0
x  v0 t
v y  gt
gt 2
y
2
jest
złożeniem
dwóch
ruchów:
jednostajnie
zmiennego
prostoliniowego wzdłuż osi OY i ruchu jednostajnego wzdłuż osi OX.
Prędkość i położenie ciała w dowolnej
chwili czasu t opisują równania ruchu:
v x  v 0 cos 
x  v 0 cos   t
gt 2
v y  v 0 sin   gt y  v 0 sin   t 
2
7
io
Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym. Rzuty poziomy i ukośny są przykładami
ruchu niejednostajnego krzywoliniowego. Wektor przyspieszenia, w takim ruchu nie
ma kierunku stycznego do toru (jak w przypadku ruchu prostoliniowego). Tym
niemniej możemy rozłożyć go na dwie składowe, z których jedna, as, będzie styczna
do toru, natomiast druga, ar, będzie prostopadła (normalna) do toru.
Przyspieszenie
v2
a
r
8
io
nazywa się przyspieszeniem normalnym bo jest prostopadłe do toru. W przypadku
ruchu po okręgu kierunek prostopadły do toru jest skierowany do środka i dlatego
takie
przyspieszenie
nazywamy
również
przyspieszeniem
dośrodkowym.
Przyspieszenie normalne zmienia kierunek prędkości.
Prędkość względna
Prędkość względną w przypadku ruch na płaszczyźnie lub w przestrzeni
3.wymiarowej określa się poprzez dodawanie wektorów prędkości ciał biorących
udział w tym ruchu. Ogólnie:

 
v wzg  v1  v 2 .
3.1.5.Ruch punktu materialnego po okręgu
Prędkość kątową ciała poruszającego się po okręgu definiujemy jako:
ch  lim
 t 0
 d 
,

t dt
gdzie Δ – przesunięcie kątowe.
9
io
Ruch jednostajny po okręgu występuje wtedy, gdy ω=const. Droga kątowa przebyta przez
ciało w ruchu jednostajnym po okręgu wynosi:
  t .
Ponieważ ω=const, to prędkość kątową możemy wyrazić jako stosunek kąta pełnego,
2π, do czasu jednego pełnego obiegu ciała po okręgu - czyli okresu T:

2
.
T
Odwrotność okresu T nazywamy częstotliwością f, która jest równa liczbie obiegów
ciała po okręgu w jednostce czasu. Jednostką częstotliwości jest Hz [1/s].
W ruchu jednostajnym po okręgu prędkość v jest stała, ale kierunek wektora prędkości
ulega zmianie. Istnieje, więc przyspieszenie prostopadłe (normalne) do toru, które
w tym przypadku nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym an (jest zawsze skierowane
do środka okręgu). Jego wartość wynosi:
a n  2 R
gdzie R jest promieniem okręgu.
Ruch jednostajnie zmienny po okręgu to ruch, w którym przyspieszenie kątowe jest
wielkością stałą i określoną w następujący sposób:
  lim
t 0
 d 
.

t
dt
Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe są wielkościami wektorowymi.
Wektory te są skierowane prostopadle do płaszczyzny obrotu wyznaczonej przez
10
io
tory punktów materialnych obracającej się bryły. Zwrot wektorów można określić
korzystając z reguły śruby prawoskrętnej.
  
ω r  v
11