Ćwiczenia z analizy numerycznej

Ćwiczenia z analizy numerycznej
dla II roku informatyki magisterskiej
lista 6 - 18 listopada 2005
1. Niech [a0 , b0 ], [a1 , b1 ], . . . będzie ciągiem przedziałów skonstruowanych za pomocą metody bisekcji zastosowanej do wyznaczenia zera funkcji ciągłej f w przedziale [a0 , b0 ],
f (a0 )f (b0 ) < 0. Pokazać,że [an , bn ] ⊃ [an+1 , bn+1 ] i bn − an = 2−n (b0 − a0 ).
2. Do obliczenia zera następujących funkcji f (x)
(a)
(b)
(c)
(d)
f (x) = x1/3 , x0 6= 0,
f (x) = xp , p - duże
f (x) = e1−x − 1, x0 = 1 + lna, a.1 lub x0 = 10
f (x) = xe−x , x0 = 2 lub x0 = 40
stosujemy metodę Newtona (stycznych). Jakie wady lub zalety metody Newtona
ilustrują te przykłady?
3. (Stożek) Chcemy rozwiązać równanie 2x = 2x za pomocą metody iteracyjnej: xk+1 =
2xk −1 . Zbadać, czy i do czego jest zbieżny ciąg kolejnych przybliżeń w zależności od
wyboru początkowego przybliżenia x0 spełniającego warunki:
(a)
(b)
(c)
(d)
x0 ¬ 1
1 < x0 < 2
x0 = 2
x0 > 2.
4. (Stożek) Jaki jest wykładnik zbieżności metody Newtona zastosowanej do rozwiązania następujących równań:
x2 = 0,
x3 = 0,
x + x3 = 0,
x + x4 = 0?
5. (Stożek) Do których z pierwiastków 0, ±1 jest zbieżna metoda Newtona zastosowana
do równania x3 − x = 0? Czy to zależy
od wyboru przybliżenia początkowego? Czy
√
przybliżenie początkowe x0 = ±1/ 5 jest odpowiednie?
6. Aby obliczyć odwrotność liczby a bez wykonywania dzieleń, można zastosować metodę Newtona do rozwiązania równania x−1 − a = 0. Napisać schemat algorytmu wynikającego z bezpośredniego zastosowania metody Newtona do funkcji f (x) = x−1 − a.
Nie stosować ani dzieleń ani potęgowań. Niech a > 0. Zaproponować wybór przybliżenia początkowego.
7. Niech a > 0 i niech
1
a
xn+1 = (xn + ).
2
xn
Jest to ciąg kolejnych przybliżeń wyznaczanych metodą Newtona zastosowaną do
równania x2 − a = 0. Pokazać, że xn − xn+1 > 0 dla n > 0. Niech x0 > 0. Sprawdzić,
√
√
że xn+1 > a. Czy ciąg {xn } jest zbieżny do a?
1
8. Wzór na kolejne przybliżenie wyznaczone metodą siecznych może być przekształcony
do następującej postaci:
xn+1 =
f (xn )xn−1 − xn f (xn−1 )
.
f (xn ) − f (xn−1 )
Spróbuj wyjaśnić, dlaczego w praktyce (obliczanie na komputerze) ten wzór jest
gorszy niż wzór klasyczny.
9. Rozpatrzymy następującą modyfikację metody siecznych
xn+1 = xn −
xn − x0
f (xn ).
f (xn ) − f (x0 )
jest to metoda iteracyjna jednopunktowa. Załóżmy, że ciąg wyznaczony tą metodą
jest zbieżny do zera funkcji f . Pokazać, że szybkość zbieżności jest tylko liniowa.
10. Dwa spośród czterech pierwiastków wielomianu x4 + 2x3 − 7x2 + 3 są dodatnie. Wyznaczyć je za pomocą metody Newtona z dwoma cyframi dokładnymi.
11. (Kincaid, Cheney) Czy prawdą są następujące stwierdzenia. Niech f (x) = x2 −q, gdzie
q > 0.006. Do wyznaczenia zera funkcji f stosujemy metodę Newtona. Wówczas jeśli
przybliżenie xi ma k(k ­ 1) cyfr dokładnych po kropce, to przybliżenie xi+1 ma co
najmniej 2k − 1 takich cyfr.
12. Korzystając z odpowiedniego twierdzenia podanego na wykładzie uzasadnić, że wykładnik zbieżności p metody Newtona zastosowanej do wyznaczenia zera pojedyńczego r funkcji f (tzn. f (r) = 0, f ′(r) 6= 0) jest równy (lub większy) dwa. Uwaga.
Rozpatrzyć funkcję g(x) = x − ff′(x)
i pokazać, że g(r) = r, g ′ (r) = 0. Jaki brzmi
(x)
wspomniane wyżej twierdzenie?
Jaki będzie wykładnik zbieżności, jeśli metodę Newtona zastosujemy do wyznaczenia
zera podwójnego (tzn. f (r) = 0, f ′ (r) = 0)? Wskazówka: Pokazać, że g ′(r) 6= 0 zastosować regułę de l’Hospitala.
13. Czy funkcja g(x) = 12 x jest zwężająca na przedziale [−1, 1]? Czy ma punkt stały
tym przedziale? Wskazówka. Znaleźć taką stałą L, że |g(x) − g(y)| ¬ L|x − y| dla
x, y ∈ [−1, 1]. Czy L jest mniejsze od 1?
14. Za pomocą odpowiedniego rysunku sprawdzić, czy równanie 10 − 2x + sin x = 0 ma
rozwiązanie i zaproponować jakieś przybliżenie początkowe tego rozwiązania. Czy do
wyznaczenia rozwiązania równania można zastosować następującą metodę iteracyjną:
xn+1 = 5 +
1
sin xn ,
2
x0 − dane?
Wskazówka. Czy punkt stały odwzorowania g(x) = 5 + 12 sin x jest rozwiązaniem
powyższego rówania? Czy odwzorowanie g jest zwężające?
2
15. Zbadać zbieżność następującej metody:
xn+1 = φ(xn ),
gdzie φ(x) =
(
2x
0
|x| ¬ 1
|x| > 1
16. (Stożek) Chcemy rozwiązać równanie x + ln x = 0. Rozważamy następujące metody:
(a) xk+1 = −ln xk
(b) xk+1 = e−xk , x0 > 0
(c) xk+1 =
(d) xk+1 =
xk +e−xk
2
xk +2e−xk
.
3
Który z tych wzorów należy użyć?
17. (Phillips, Taylor) Chcemy wyznaczyć rozwiązanie równania ex + 10x − 2 = 0 z dokładnością do trzech cyfr dziesiętnych. Porównać koszty następujących metod:
(a) bisekcji na przedziale [0, 1]
xi
(b) xi+1 = 2−e
, x0 = 0.
10
Zlokalizować graficznie rozwiązanie tego równania.
18. (Phillips, Taylor) Niech α będzie zerem funkcji f (x) i niech f ′ (α) 6= 0. Czy metoda
xi+1 = xi −
f ”(xi ) f (xi ) 2
f (xi )
−
f ′ (xi ) 2f ′ (xi ) f ′ (xi )
ma rząd przynajmniej 3?
Krystyna Ziętak
3