Zeszyt 1 Funkcje i ciągi liczbowe

Ćwiczenia z matematyki
Janusz Górczyński
Zeszyt 1
Funkcje i ciągi liczbowe
2
Zeszyt ten jest pierwszą pozycją w serii materiałów dydaktycznych
Ćwiczenia z matematyki.
W najbliższym czasie ukażą się kolejne pozycje:
Zeszyt 4. Macierze i rozwiązywanie układów równań liniowych
Zeszyt 2. Granice ciągów i funkcji. Pochodna i jej zastosowanie
Zeszyt 3. Całki i ich zastosowanie
Zeszyt 5. Równania różniczkowe i ich zastosowania
Wydanie I
Materiały do druku zostały w całości przygotowane przez Autora.
ISBN 83-88-781-00-6
Wydawca: Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu w Sochaczewie
Arkuszy wydawniczych 2,75
Arkuszy drukarskich 2,75
3
Spis treści
OD AUTORA .................................................................................................4
1. FUNKCJE .................................................................................................5
1.1 INFORMACJE WSTĘPNE ...........................................................................5
1.2 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH .................................................10
1.3 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE ..........................................................26
2. CIĄGI ......................................................................................................36
2.1 CIĄG ARYTMETYCZNY .........................................................................38
2.2 CIĄG GEOMETRYCZNY .........................................................................40
2.3 SZEREG GEOMETRYCZNY .....................................................................43
3. LITERATURA .......................................................................................44
4
U podstaw decyzji o wydaniu serii zeszytów pod wspólnym tytułem „Ćwiczenia z matematyki” są moje wieloletnie doświadczenia nauczyciela akademickiego w zakresie
nauczania przedmiotów ilościowych (matematyka, statystyka matematyczna, doświadczalnictwo, ekonometria) jak i informatycznych (arkusze kalkulacyjne, relacyjne bazy danych).
Od szeregu lat obserwujemy narastające problemy znacznej grupy studiujących ze
zrozumieniem tych przedmiotów, przy czym jest to szczególnie niekorzystne w przypadku
osób studiujących w trybie zaocznym.
Seria „Ćwiczenia z matematyki” została pomyślana z jednej strony jako materiał
ułatwiający przypomnienie programu matematyki z zakresu szkoły średniej. Z drugiej
strony materiał zawarty w tej serii jest już pewnym przygotowaniem pod nauczanie takich
przedmiotów jak właśnie statystyka, ekonometria, arkusze kalkulacyjne, bazy danych czy
badania operacyjne.
Seria „Ćwiczenia z matematyki” powinna być traktowana raczej jako literatura uzupełniająca klasyczną literaturę przedmiotu (podawaną przez prowadzących poszczególne
przedmioty) niż jako jedyny i wystarczający do zrozumienia matematyki skrypt. Mam
jednak nadzieję, że przedstawiony materiał z szeregiem szczegółowych przykładów ułatwi
zrozumienie tych wybranych działów matematyki.
W serii „Ćwiczenia z matematyki” ukażą się następujące pozycje:
•
Zeszyt 1. Funkcje i ciągi liczbowe
•
Zeszyt 2. Granice ciągów i funkcji. Pochodna i jej zastosowanie
•
Zeszyt 3. Całki i ich zastosowania
•
Zeszyt 4. Macierze i rozwiązywanie układów równań liniowych
•
Zeszyt 5. Równania różniczkowe i ich zastosowania.
Zeszyty pierwszy i czwarty ukażą się w roku 2000, a pozostałe trzy w roku 2001.
5
1. Funkcje
1.1 Informacje wstępne
Rozpatrzmy dwa zbiory liczbowe oznaczone odpowiednio symbolami
tych zbiorów odpowiednio symbolami ∈ i ∈ .
i , a elementy
Określenie: Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru
przyporządkujemy jeden i tylko
jeden element ze zbioru , to w zbiorze określiliśmy funkcję = ( )
o wartościach w zbiorze .
Zgodnie z powyższym określeniem funkcja jest relacją wiążącą jednoznacznie każdy
element zbioru z odpowiednim, jednym elementem ze zbioru .
Zbiór
nazywamy dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną lub zbiorem
wartości funkcji = ( ) .
Element ∈ nazywamy argumentem funkcji, a = ( ) jest wartością funkcji dla
argumentu .
Poniżej pokazane są trzy możliwe przyporządkowania elementom zbioru odpowiednich elementów ze zbioru .
1
Każdemu elementowi ze zbioru
przyporządkowany jest jeden i tylko
jeden element ze zbioru
Także: każdemu ∈ przyporządkowany jest jeden i tylko jeden ∈ .
2
Każdemu elementowi ze zbioru
przyporządkowany jest jeden i tylko
jeden element ze zbioru
Ale nie jest prawdą przyporządkowanie
odwrotne (ponieważ pewne elementy
∈ mają przyporządkowany więcej
niż jeden element ∈ ).
Każdemu elementowi ze zbioru przyporządkowany jest więcej niż jeden
element ze zbioru
Ale prawdziwe jest przyporządkowanie
odwrotne: każdemu ∈
przyporządkowany jest jeden i tylko jeden element ∈ .
3
6
Zgodnie z podanym wyżej określeniem sytuacja pierwsza i druga opisuje funkcję
= ( ) zdefiniowaną w zbiorze X (każdemu ∈ odpowiada dokładnie jeden ∈ ).
Sytuacja trzecia nie przedstawia funkcji, ponieważ pewnym ∈ odpowiadają więcej
niż jedna wartość ∈ .
Proszę także o zwrócenie uwagi na fakt, że wyłącznie w sytuacji pierwszej funkcja
może być zdefiniowana w „obie strony”; powiemy wtedy, że istnieje funkcja = ( ) .
Funkcję tę będziemy nazywać funkcją odwrotną do = ( ) .
Określenie: Funkcję
= ( ) będziemy nazywać różnowartościową, jeżeli dla
dowolnych dwóch różnych argumentów będzie przyjmować różne wartości:
( ) jest różnowartościowa ⇔
1 ≠ 2 ⇒ ( 1) ≠ ( 2 )
∧
1 , 2∈
Określenie: Funkcję
= ( ) będziemy nazywać stałą, jeżeli dla dowolnych dwóch
różnych argumentów będzie przyjmować takie same wartości:
( ) jest stała ⇔
1 ≠ 2 ⇒ ( 1) = ( 2 ) .
∧
1 , 2∈
= ( ) będziemy nazywać rosnącą, jeżeli dla dowolnych dwóch
argumentów 1 , 2 takich, że 1 < 2 , wartość funkcji w punkcie 1 jest
Określenie: Funkcję
mniejsza od wartości funkcji w punkcie
( ) jest rosnąca ⇔
∧
<
1
2
:
⇒ ( 1) < (
2
2)
.
1 , 2∈
= ( ) będziemy nazywać malejącą, jeżeli dla dowolnych dwóch
argumentów 1 , 2 takich, że 1 < 2 , wartość funkcji w punkcie 1 jest
Określenie: Funkcję
większa od wartości funkcji w punkcie
( ) jest rosnąca ⇔
Określenie: Funkcję
∧
1,
<
1
2
:
⇒ ( 1) > (
2
1,
takich, że
2
1
<
2,
jest niemniejsza od wartości funkcji w punkcie
∧
( ) jest niemalejąca ⇔
1,
Określenie: Funkcję
1
<
wartość funkcji w punkcie
⇒ ( 1) ≥ (
2
1
2:
2)
.
2∈
= ( ) będziemy nazywać nierosnącą, jeżeli dla dowolnych
dwóch argumentów
1,
2
takich, że
1
<
2,
jest niewiększa od wartości funkcji w punkcie
.
= ( ) będziemy nazywać niemalejącą, jeżeli dla dowolnych
dwóch argumentów
2)
2∈
( ) jest rosnąca ⇔
∧
1,
1
2∈
<
2
2:
⇒ ( 1) ≤ (
wartość funkcji w punkcie
2)
.
1
7
Z powyższych określeń wynika, że funkcje rosnąca i malejąca są jednocześnie
funkcjami różnowartościowymi. O takich funkcjach mówimy, że są monotoniczne.
Określenie: Wykresem funkcji = ( ) określonej w zbiorze
o współrzędnych ( ,
nazywamy zbiór punktów
Poniżej przedstawione są przykładowe
przedstawionych wyżej (w określeniach).
Rys. 1
Funkcja
rosnąca
Rys. 2
Funkcja
malejąca
Rys. 3
Funkcja
stała
Rys. 4
Funkcja
niemalejąca
Rys. 6
Funkcja
nierosnąca
wykresy
funkcji
o
własnościach
8
Określenie: Wykres funkcji = ( ) będziemy nazywać odpowiednio wklęsłym, jeżeli
styczne do wykresu położone są pod wykresem lub wypukłym, jeżeli
styczne położone są nad wykresem.
wypukły
wklęsły
Określenie. Jeżeli funkcja = ( ) istnieje w pewnym przedziale i jej wykres w tym
przedziale przechodzi w pewnym punkcie z wklęsłego w wypukły lub
odwrotnie, to punkt ten nazywamy punktem przegięcia tej funkcji.
= ( ) nazywamy taką wartość
, dla którego wartość funkcji jest równa zero:
Określenie: Miejscem zerowym (pierwiastkiem) funkcji
argumentu
0
∈
0
∈
jest miejscem zerowym
= ( ) ⇔ (
0)
=0
, jeżeli
= ( ) jest symetryczna z osią symetrii w punkcie
wartości funkcji w punktach
− i
+ są sobie równe dla każdego
∈ .
Określenie: Funkcja
∧
∈
(
− )= (
+ )
9
( )=
. Wyznaczmy dziedzinę, przeciwdziedzinę i miejsce zerowe funkcji
.
4−
2
Dziedziną tej funkcji będzie zbiór tych wszystkich liczb, dla których wyrażenie
4−
2
jest określone (ma sens liczbowy).
Wyrażenie powyższe ma postać ułamka, a jak wiemy mianownik ułamka musi być
różny od zera, jeżeli chcemy, aby cały ułamek był określony (miał sens). Tym samym
dziedziną naszej funkcji będzie zbiór liczb rzeczywistych (czyli wszystkich) z wyłączeniem
tych liczb, dla których mianownik jest równy zero. Mianownik naszego ułamka jest równy
zero dla:
4 − 2 = 2 2 − 2 = (2 − )(2 + ) = 0 ⇔ 2 − = 0 ∨ 2 + = 0 ⇒ = 2 ∨ = −2 .
Ostatecznie dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb
2 i −2 , co możemy zapisać następująco: ∈ − {− 2; 2} .
Ustalenie zbioru wartości jest trochę trudniejsze, musimy bowiem uruchomić
wyobraźnię i prześledzić możliwe wartości naszej funkcji dla ∈ .
Po pierwsze zauważmy, że zero należy do zbioru wartości analizowanej funkcji:
( )=0⇔
=0⇔ =0 .
4− 2
Licznik rozpatrywanej funkcji może przyjąć wartości z całego zbioru , mianownik zaś
może przyjąć wszystkie liczby ze zbioru z wyłączeniem zera. Będziemy mieli więc taką
sytuację, gdy (bez względu na znak wyrażeń) w liczniku będzie dość duża liczba, a w
mianowniku „prawie zero” (tak będzie, gdy ≈ m2 ). Wartość takiego ułamka będzie
bardzo duża, matematycznie będzie to nieskończoność (ze znakiem plus lub minus).
Praktycznie ta informacja już nam wystarcza do stwierdzenia, że zbiorem wartości tej
funkcji będzie zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: = ( ) ∈ .
Miejsce zerowe rozpatrywanej funkcji ustaliliśmy przed chwilą, jest nim oczywiście
= 0.
W trzecim zeszycie tej serii będziemy dość szczegółowo badać przebiegi zmienności
wielu funkcji, wrócimy wtedy także do tego przykładu.
. Wyznaczmy dziedzinę, przeciwdziedzinę i miejsce zerowe funkcji
=
−3 .
Jak wiemy pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczb nieujemnych, stąd dziedziną
tej funkcji będą liczby niemniejsze od 3: ∈< 3; + ∞) .
Wartość pierwiastka kwadratowego jest zawsze liczbą nieujemną, stąd przeciwdziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich plus zero: ∈ + ∪ 0 .
Pozostało ustalenie miejsca zerowego:
=
−3 = 0 ⇔ −3= 0⇒
= 3.
10
1.2 Przegląd funkcji elementarnych
1.2.1 Funkcja liniowa
Funkcja liniowa określona jest wzorem = + ,dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb
rzeczywistych, przeciwdziedziną (zbiorem wartości) jest również zbiór liczb rzeczywistych, a jej wykresem jest linia prosta. Parametr nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a parametr
wyrazem wolnym lub stałą funkcji liniowej. Wykres tej
funkcji, w sensie kierunku położenia prostej, zależy od wartości współczynnika
kierunkowego. Poniżej przedstawione są trzy możliwe wykresy tej funkcji.
a=0
a>0
a<0
= + jest funkcją:
rosnącą dla > 0 , a jej wartości rosną od −∞ do +∞ ,
stałą dla = 0 , a jej wartość jest równa ,
malejącą dla < 0 , a jej wartości maleją od +∞ do −∞ .
Funkcja liniowa
•
•
•
Dla
≠ 0 wykres funkcji liniowej przecina oś
w punkcje
0
=−
, tym samym
punkt ten jest miejscem zerowym tej funkcji.
. Dla jakich wartości
funkcja
= 4 − 8 przyjmuje wartości większe od
zera?
= 4 −8 > 0 ⇔ 4 −8 > 0 ⇒ 4 > 8 ⇒ > 2
Dla ∈ (2; + ∞) funkcja = 4 − 8 przyjmuje wartości większe od zera.
1.2.2 Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) określona jest wzorem = 2 + + ,
gdzie ≠ 0 . Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, przeciwdziedzina zaś
zależy od wartości jej parametrów , , . Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola,
a jej kształt (kierunek gałęzi) uzależniony jest od znaku parametru . Dla dodatnich
wartości parametru
gałęzie paraboli skierowane są do góry (wykres wklęsły), a dla
wartości ujemnych do dołu (wykres wypukły).
11
Funkcja kwadratowa może występować w czterech postaciach:
= 2+ +
(postać ogólna)
≠ 0, ≠ 0, ≠ 0
=
=
=
2
≠ 0, = 0, = 0
2
+
2
+
≠ 0, ≠ 0, = 0
≠ 0, = 0, ≠ 0
Istnienie miejsc zerowych funkcji kwadratowej uzależnione jest od wartości parametru
∆ = 2 − 4 , który nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego lub po prostu deltą.
Funkcja
=
2
+
+
ma:
− − ∆
,
2
2
•
Dwa miejsca zerowe, jeżeli ∆ =
•
Jedno (podwójne) miejsce zerowe, jeżeli ∆ =
•
Nie ma miejsc zerowych, jeżeli ∆ =
−4
>0:
=
1
− + ∆
2
−
=
2
2
=
Funkcja
=
2
+
+
2
−4
2
−4
=0:
1
=
2
<0
może być zapisana w tzw. postaci kanonicznej
= ( +
∆
4
)2 −
2
(
która jednoznacznie wskazuje położenie wierzchołka paraboli −
Jeżeli wyróżnik trójmianu jest nieujemny ( ∆ = 2 − 4
można zapisać w tzw. postaci iloczynowej
= ( − 1 )( − 2 )
która jednoznacznie określa miejsca zerowe tej funkcji.
Poniżej pokazane są wykresy funkcji
= 2+ +
parametru i wartości delty.
2
,−
∆
4
).
≥ 0 ), to
=
2
+
+
w zależności od znaku
a>0, ∆>0
a<0, ∆>0
a>0, ∆=0
a>0, ∆<0
a<0, ∆=0
a<0, ∆<0
12
Jak powiedziałem wcześniej zbiór wartości funkcji kwadratowej (przeciwdziedzina)
zależy od jej parametrów:
> 0 ⇒ = ( ) ∈ − 4∆ ; + ∞ )
zbiór wartości funkcji jest ograniczony od dołu,
<0⇒
(
= ( ) ∈ − ∞; −
∆
4
zbiór wartości funkcji jest ograniczony od góry.
Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny, a osią symetrii jest prosta poprowadzona przez wierzchołek paraboli, czyli prosta o równaniu = − 2 .
. Chcemy wyznaczyć miejsca zerowe, zbadać monotoniczność oraz znak
wartości funkcji = 2 − 5 + 4 .
Parametrami podanej funkcji są odpowiednio: = 1; = −5; = 4 . Obliczamy deltę:
2
2
∆ = − 4 = (−5) − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 25 − 16 = 9 .
Delta jest większa od zera, istnieją więc dwa różne miejsca zerowe:
− − ∆ − (−5) − 9 5 − 3 2
=
=
= =1
1
2
2 ⋅1
2
2
− + ∆ − (−5) + 9 5 + 3 8
=
=
= = 4.
2 =
2
2 ⋅1
2
2
Wyznaczymy teraz współrzędne wierzchołka paraboli:
−
−(−5) 5
− ∆ −9
9
=
=
= = 2,5
=
=
=− .
2
2 ⋅1
2
4
4 ⋅1
4
Dla zbadania monotoniczności tej funkcji jak i określenia znaku jej wartości warto
naszkicować jej wykres.
=
4
− 94
4
1
x=2,5
Z przeprowadzonych obliczeń i wykresu mamy, ze funkcja
=
=
∈ (−∞; 2,5) , a rosnąca dla ∈ (2,5; + ∞) . Funkcja
wartości dodatnie dla ∈ {(−∞; 1) ∪ (4; + ∞)} , a wartości ujemne dla
jąca dla
2
− 5 + 4 jest male-
2
− 5 + 4 przyjmuje
∈ (1; 4) .
13
. Proszę zbadać, dla jakiej wartości parametru
funkcja = 3 2 +
+3
ma dwa różne miejsca zerowe, jedno podwójne miejsce zerowe i brak miejsc zerowych.
Parametrami trójmianu kwadratowego są odpowiednio liczby
= 3; = ; = 3 .
O istnieniu miejsc zerowych decyduje, jak wiemy, delta.
Mamy ∆ = 2 − 4 = 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 − 36 = 2 − 6 2 = ( + 6)( − 6) .
, mamy już postać iloczynową tej funkcji, spoDelta jest funkcją kwadratową
rządzimy jeszcze schematyczny wykres.
∆=
2
− 36 = ( + 6)( − 6)
6
-6
Z przeprowadzonych obliczeń i wykresu mamy rozwiązania. Funkcja
ma:
dwa różne miejsca zerowe dla ∆ = ( + 6)( − 6) > 0 , stąd
< −6 lub
jedno podwójne miejsce zerowe dla ∆ = ( + 6)( − 6) = 0 , stąd
brak miejsc zerowych dla ∆ = ( + 6)( − 6) < 0 , stąd −6 <
=3
2
+3
>6;
= −6 lub
+
=6;
<6 .
1.2.3 Funkcja wielomianowa
Funkcja wielomianowa określona jest wzorem
=
+ −1 −1 + −2 −2 + ... +
gdzie
≠ 0; ∈
∪ {0};
∈ ; ∈ ; = 0, 1, ...,
2
2
+
+
1
0
Parametr
nazywamy stopniem wielomianu, a parametry
czynnikami wielomianu.
( = 0, 1, 2, ..., ) współ
Zauważmy, że omówiona wcześniej funkcja liniowa jest funkcją wielomianową stopnia
pierwszego, a funkcja kwadratowa funkcją wielomianową stopnia drugiego.
14
Przeciwdziedzina konkretnej funkcji wielomianowej, liczba miejsc zerowych, postać
wykresu, przedziały monotoniczności i typ wartości (dodatnie, ujemne) zależą od jej
parametrów i praktycznie nie ma możliwości podania jakiegoś ogólnego rozwiązania.
Poniżej pokazany jest fragment wykresu funkcji
dla ∈ (−2,5; 2,5)
3
= −4
−3
2
− + 10 naszkicowany
-3
-2
-1
0
1
2
3
Przybliżone miejsce zerowe funkcji = −4 3 − 3 2 − + 10 w przedziale (−2,5; 2,5)
można ustalić na podstawie wykresu. Widzimy, że miejsce zerowe znajduje się w otoczeniu
punktu = 1 , co wynika z faktu, że funkcja zmienia znak z „plus” na „minus”.
Określenie: Jeżeli liczby
=
+
1,
−1
2 , ...,
−1
+
są miejscami zerowymi funkcji wielomianowej
−2
−2
+ ... +
zapisać w postaci iloczynowej
=
2
+
2
( −
1
+
−
1 )(
0,
to funkcję tę można
2 )...(
−
) .
. Wyznaczmy ogólną postać funkcji wielomianowej o miejscach zerowych
równych odpowiednio 1, 2, 3 i 4, jeżeli wiadomo, że wykres tej funkcji przecina oś -ek
w punkcie 24.
Zgodnie z podanym wyżej określeniem mamy:
= ( − 1)( − 2)( − 3)( − 4) = ( 2 − 2 − + 2)( 2 − 4 − 3 + 12) =
=
(
2
− 3 + 2)(
(
4
−7
2
− 7 + 12) =
=
3
2
+ 12
−3
3
2
+ 21
− 36 + 2
2
− 14 + 24) =
= ( 4 − 10 3 + 35 2 − 50 + 24)
Pozostaje jeszcze ustalenie wartości parametru
= 4 ; z warunków zadania wiemy,
że funkcja przecina oś y-ek w punkcie 24. Mamy stąd następującą zależność:
24 = 4 (0 4 − 10 ⋅ 0 3 + 35 ⋅ 0 2 − 50 ⋅ 0 + 24) = 4 ⋅ 24 ⇒ 4 = 1 .
Ostatecznie funkcja ma postać:
=
4
− 10
3
+ 35
2
− 50 + 24 .
15
. Zbadajmy znak funkcji = ( 2 + 1)( − 1)( − 2 − 1) .
Znak rozpatrywanej funkcji wielomianowej stopnia 6-tego jest iloczynem znaków
wielomianów stojących po prawej stronie znaku równości. Zauważmy jednak, że wyrażenie
2
+ 1 jest zawsze dodatnie, a wyrażenie
− 2 − 1 jest zawsze ujemne (parabola
o gałęziach skierowanych w dół i położona poniżej osi x-ów – ponieważ ∆ = −3 ). Tym
samym iloczyn wielomianów ( 2 + 1)( − 2 − 1) jest ujemny dla każdej wartości .
Iloczyn pozostałych wielomianów ( − 1) jest „gotową” postacią iloczynową trójmianu
kwadratowego, jego wykresem jest parabola o miejscach zerowych w punktach 0 i 1, a jej
gałęzie skierowane są do góry (co wynika z faktu, że współczynnik przy 2 jest równy 1).
0
1
Z przedstawionego wykresu wynika, że trójmian
dla < 0 lub > 1 , a wartości ujemne dla 0 < < 1 .
( − 1) przyjmuje wartości dodatnie
Dla ustalenia znaku wielomianu
2
= (
2
+ 1)( − 1)( −
2
− 1)
musimy jednak
2
pamiętać, że iloczyn wielomianów ( + 1)( − − 1) jest zawsze ujemny, tym samym
znak wyjściowego wielomianu będzie odwrotny niż znak ( − 1) . Ostatecznie mamy:
= (
2
+ 1)( − 1)( −
= (
2
+ 1)( − 1)( −
2
− 1) > 0 ⇔ ∈ (0; 1)
2
− 1) < 0 ⇔ ∈ {(−∞; 0) ∪ (1; + ∞)} .
1.2.4 Funkcje wymierne
=
+
−1
−1
+ ... +
+
1
0
, gdzie w liczniku i mianowniku mamy
+ −1 −1 + ... + 1 + 0
dwa wielomiany dowolnych stopni
i , przy czym wielomian w mianowniku nie jest
wielomianem zerowym nazywamy funkcją wymierną.
Funkcję
Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem tych
punktów, które są miejscami zerowymi wielomianu w mianowniku: ∈ − (gdzie
oznacza zbiór miejsc zerowych wielomianu
+
−1
−1
+ ... +
1
+
0
).
16
Przykłady funkcji wymiernych.
{(
=
2
, dziedziną są
−3
) (
) ( 3; + ∞)}
∈ − ∞; − 3 ∪ − 3 ; 3 ∪
2
−7
, dziedziną są ∈ {(−∞; − 3) ∪ (−3; + ∞)}
+3
Proszę zauważyć, że każda funkcja wielomianowa jest funkcją wymierną, mamy
bowiem:
+ −1 −1 + ... + 1 + 0
=
+ −1 −1 + ... + 1 + 0 =
.
1
2
=
1.2.5 Funkcja homograficzna
+
, gdzie
+ oraz
+ są wielomianami pierwszego
+
stopnia oraz
− ≠ 0 nazywamy funkcją homograficzną.
Wykresem funkcji homograficznej jest linia prosta, jeżeli = 0 lub hiperbola, jeżeli
≠ 0.
Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych w przypadku, gdy = 0 i
= 1 lub zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem punktu, dla którego
+ =0: ∈ − − .
Funkcję wymierną
=
{ }
Poniższe funkcje są funkcjami homograficznymi.
2 −5
=
∈ − − 23
3 +2
4
=
∈ − − 53
3 +5
2 −7
=
∈
3
2
=
∈ − {0}
{ }
wykres: hiperbola
{ }
wykres: hiperbola
wykres: prosta
wykres: hiperbola
Przykład funkcji, która nie jest funkcją homograficzną.
3 −6
=
ponieważ
− = 3 ⋅ 18 − 6 ⋅ 9 = 54 − 54 = 0
9 − 18
Funkcja homograficzna
=
opisuje tzw. zależność odwrotnie proporcjonalną ze
współczynnikiem proporcjonalności
maleją).
Podobnie funkcja liniowa =
współczynnikiem proporcjonalności
także rosną).
(w miarę jak rosną wartości
, to wartości
opisuje tzw. zależność wprost proporcjonalną ze
(w miarę jak rosną wartości , to wartości
17
1.2.6 Funkcja potęgowa
Funkcję = , gdzie ∈
przykładów funkcji potęgowych:
nazywamy funkcją potęgową o wykładniku
=
=
2
=
3
=
1
2
=
− 12
=
1
3
. Kilka
.
Dziedzina funkcji potęgowej uzależniona jest od wykładnika potęgi
liczbą całkowitą, to dziedziną są:
∈ ∧ ≥0⇒ ∈
np. = 4
1
∈ ∧ < 0 ⇒ ∈ − {0}
np. = − 4 = 4 .
. Jeżeli
jest
Jeżeli wykładnik potęgi nie jest liczbą całkowitą, to dziedziną są:
∈
∈
−
−
∧ ≥0⇒ ∈
+
∪ {0} np.
+
np.
∧ <0⇒ ∈
=
=
1
2
− 12
=
=
1
.
Funkcja potęgowa =
rosnąca dla > 0
malejąca dla < 0
w przedziale < 0; + ∞) jest odpowiednio:
Dla
= 0 funkcja jest stała w całym zbiorze liczb rzeczywistych (przyjmujemy, że
0 0 = 1) .
Poniżej pokazano fragmenty wykresów dwóch funkcji potęgowych:
2,0
1,5
1,0
0,5
=
1
2
=
1
3
0,0
0
1
2
3
4
=
1
2
i
=
1
3
.
18
1.2.7 Funkcja wykładnicza
Funkcję
= , gdzie
funkcji wykładniczej.
=2
=3
> 0 nazywamy funkcją wykładniczą. Kilka przykładów
=
(12 )
=
(15 )
=1
Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych:
zbiorem wartości (przeciwdziedziną) jest zbiór liczb rzeczywistych
= ∈ +.
∈ , a jej
dodatnich:
Funkcja wykładnicza =
jest:
rosnąca dla > 1 ,
malejąca dla 0 < < 1 ,
stała dla = 1 .
Poniżej pokazano schematyczne wykresy rosnącej i malejącej funkcji wykładniczej.
10
=
8
()
1
2
6
=2
4
2
0
-4
-2
0
2
4
Na specjalną uwagę zasługuje funkcja wykładnicza o potędze naturalnej postaci
(1 + 1 )
=
, gdzie podstawą potęgi jest tzw. liczba
. Liczba ta jest granicą ciągu
w przybliżeniu równa 2,71. Wynika z tego, że funkcja
wynika z faktu, że > 1 ).
=
i jest
jest funkcją rosnącą (co
W miejsce zapisu
=
= exp( ) .
stosuje się często zapis
Funkcja wykładnicza ma dwie ważne własności:
• Przyjmuje tylko wartości dodatnie:
> 0 dla każdego
•
Wartość funkcji wykładniczej w punkcie
wartości tej funkcji w tych punktach:
1+ 2
1
=
+
1
⋅
2
,
równa jest iloczynowi
2
.
19
= −2 + 1 .
. Sporządźmy wykres funkcji wykładniczej postaci
= 2 poprzez kolejne dwie operacje:
Potrzebny wykres otrzymamy z wykresu funkcji
wykreślimy wykres funkcji = −2 poprzez symetryczne odbicie wykresu = 2
względem osi x-ów;
wykres funkcji = −2 przesuniemy do góry o wartość jeden wzdłuż osi y-ek.
1.
2.
=2
= −2 + 1
= −2
. Dla jakich wartości spełnione jest równanie 49 − 6 ⋅ 7 + 5 = 0 .
Technika rozwiązywania równań wykładniczych polega generalnie na tym, aby
doprowadzić niewiadome do jednakowych podstaw. W naszym przypadku widzimy, że
z wyrażeniem 7 praktycznie nic nie możemy zrobić, ale wyrażenie 49 może być
zapisane jako potęga siedmiu właśnie. Mamy kolejno:
(7 2 ) − 6 ⋅ 7 + 5 = 0
(7 ) 2 − 6 ⋅ 7 + 5 = 0 .
Podstawimy nową zmienną
2
w miejsce 7 . Mamy dalej:
− 6 + 5 = 0 , gdzie = 7 .
Otrzymaliśmy standardowe równanie kwadratowe z uwagi na zmienną
wyróżnik trójmianu:
∆ = (−6) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 36 − 20 = 16 .
Delta jest większa od zera, a więc równanie
− − ∆ − (−6) − 4
=
=1
2
2
1
=
2
2
=
. Obliczamy
− 6 + 5 = 0 ma dwa różne pierwiastki:
− + ∆ − (−6) + 4
=
=5 .
2
2
20
Wracamy do naszego podstawienia i mamy kolejno:
7 1 = 1 ⇒ 7 1 = 1 ⇒ 7 = 70
Mamy jednakowe podstawy potęgi, możemy więc porównać wykładniki potęg:
7 1 = 70 ⇒ 1 = 0 .
Dla
= 5 mamy:
2
7 2 = 2 ⇒7 2 =5 .
Rozwiązanie ostatniej równości wymaga użycia logarytmów. Logarytmując obustronnie
przy podstawie 7 mamy:
= 1 ).
log 7 (7 2 ) = log 7 5 ⇒ 2 log 7 7 = log 7 5 ⇒ 2 = log 7 5 (skorzystaliśmy z log
Dla
= 0 mamy:
1
= 49 0 − 6 ⋅ 7 0 + 5 = 1 − 6 ⋅ 1 + 5 = 6 − 6 = 0 =
Dla
= log 7 5 mamy:
2
(
= 49 log7 5 − 6 ⋅ 7 log7 5 + 5 = 7 log7 5
)
2
.
− 6 ⋅ 7 log7 5 + 5 = 5 2 − 6 ⋅ 5 + 5 = 25 − 30 + 5 = 0 =
Skorzystaliśmy tu z własności logarytmów:
log
=
.
. Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji = 2 3 ⋅ 7 − 2 − 4 +1 .
Wyznaczenie miejsc zerowych tej funkcji wymaga rozwiązania równania
wykładniczego postaci 2 3 ⋅ 7 −2 − 4 +1 = 0 . Rozwiązanie tego równania zaczniemy od
elementarnych przekształceń. Kolejno mamy:
23 ⋅ 7
−2
( )
3
⇒ 2
−4
+1
= 0 ⇒ 23 ⋅ 7
⋅7 ⋅7
−2
−2
=4
1
+1
= 4 ⋅4 ⇒ 8 ⋅7 ⋅7
⇒
−2
= 4⋅4
Ostatnią postać równania możemy pomnożyć obustronnie przez 49 i podzielić przez 4
(na mocy własności funkcji potęgowej jest to liczba różna od zera). Otrzymamy:
1 = 4⋅4
8 ⋅ 7 ⋅ 49
⋅ 49
8 ⋅ 7 = 4 ⋅ 49 ⋅ 4
8 ⋅7
:4
 8⋅7 
2
= 196 ⇒ 
 = 196 ⇒ (2 ⋅ 7) = 196 ⇒ 14 = 196 ⇒ 14 = 14 .
4
 4 
Mamy te same podstawy potęgi, możemy więc porównać wykładniki potęg. Stąd:
14 = 14 2 ⇒ = 2 .
!
2
3⋅2
"
#
⋅7
$
"
.
2− 2
− 4 2+1 = 2 6 ⋅ 7 0 − 4 3 = 64 ⋅ 1 − 64 = 0
21
1.2.8 Funkcja logarytmiczna
Jak wiemy z poprzedniego podrozdziału funkcja wykładnicza
=
różnowartościową dla ≠ 1 , tym samym istnieje funkcja odwrotna do niej.
jest funkcją
Określenie. Logarytmem z danej, dodatniej liczby
przy dodatniej i różnej od jedności
podstawie logarytmu
nazywamy taką liczbę , która jest wykładnikiem
potęgi, do jakiej należy podnieść , aby otrzymać liczbę logarytmowaną .
log
=
⇔
=
, gdzie
≠ 1.
Kilka przykładów.
log 2 8 = 3 , ponieważ 2 3 = 8 ;
log10 10 = 1 , ponieważ 101 = 10 ;
1 1
log 3 19 = −2 , ponieważ 3 −2 = 2 = .
9
3
Określenie: Funkcję = log
nazywamy funkcją logarytmiczną, jej dziedziną jest zbiór
liczb rzeczywistych dodatnich ( ∈
rzeczywistych ( ∈ ).
+
), a przeciwdziedziną jest zbiór liczb
Funkcja logarytmiczna = log
ma jedno miejsce zerowe w punkcie
funkcją rosnącą dla > 1 , a funkcją malejącą dla 0 < < 1 .
= 1 , jest
Poniżej pokazano schematyczne wykresy dwóch funkcji logarytmicznych, funkcja
= log 2 jest funkcją rosnącą (ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1), a fun
kcja
= log 0,5
jest malejąca (ponieważ podstawa logarytmu jest z przedziału 0; 1) .
5
3
= log 2
1
-1 0
-3
-5
1
2
4
3
= log 0,5
5
22
Z funkcją logarytmiczną związanych jest kilka ważnych własności.
Określenie: Jeżeli
>0 i
> 0 , to:
log ( ⋅ ) = log
+ log
log
= log
− log
(twierdzenie o logarytmie iloczynu),
(twierdzenie o logarytmie ilorazu),
log
log
= ⋅ log
( ∈ )
1
=
( ≠ 1)
log
(twierdzenie o logarytmie potęgi).
log
= log
⋅ log
( > 0 ∧ ≠ 1)
. Proszę obliczyć wartość wyrażenia log 4 − 2 log16
Korzystając z podanych wyżej wzorów mamy:
log 4 − 2 log16 = log 4 − 2 log16 4 ⋅ log 4 =
1
2
. Dla jakich wartości
.
= log 4 − 2 ⋅ ⋅ log 4
= log 4 − log 4
określona jest funkcja
=0
.
= log 0,5 ( + 4) .
Aby podana funkcja miała sens liczbowy, to wyrażenie podpierwiastkowe musi być
nieujemne. Z kolei wiemy, że funkcja logarytmiczna istnieje tylko z liczb dodatnich. Stąd
musi być spełniony układ nierówności:
log 0,5 ( + 4) ≥ 0
.

 +4>0
Kolejno rozwiązujemy obie nierówności:
log 0,5 ( + 4) ≥ 0 ⇒ log 0,5 ( + 4) ≥ log 0,5 1 ⇒ + 4 ≤ 1 ⇒ ≤ −3 .
+ 4 > 0 ⇒ > −4 .
Obie nierówności są więc spełnione dla
funkcji są wszystkie liczby z tego przedziału.
∈ ( −4; − 3 > , tym samym dziedziną naszej
Proszę zwrócić uwagę, że przy rozwiązywaniu pierwszej nierówności w momencie, gdy
sprowadziliśmy obie strony do logarytmów przy tej samej podstawie:
log 0,5 ( + 4) ≥ log 0,5 1
to mogliśmy porównać liczby logarytmowane (czyli + 4 z lewej strony znaku większości
i 1 z prawej strony). Opuszczając znak logarytmu musimy pamiętać o zmianie kierunku
nierówności, co wynika z faktu, że nasza funkcja logarytmiczna przy podstawie 0,5 jest
funkcją malejącą. Stąd
log 0,5 ( + 4) ≥ log 0,5 1 ⇒ + 4 ≤ 1 .
23
. Wyznaczmy dziedzinę funkcji
[
= log 2 1 − log 0,5 (
2
]
− 5 + 6) .
Jak wiemy logarytmy istnieją tylko z liczb dodatnich, tym samym w celu wyznaczenia
dziedziny naszej funkcji musimy rozwiązać układ dwóch nierówności:
2
1 − log 0,5 ( − 5 + 6) > 0
.
 2
 − 5 + 6 > 0
Rozwiązujemy kolejno obie nierówności, dla pierwszej z nich mamy:
1 − log 0,5 (
1 > log 0,5 (
2
− 5 + 6) > 0
2
− 5 + 6)
2
log 0,5 0,5 > log 0,5 (
− 5 + 6) ⇒ 0,5 <
2
−5 +6 .
2
− 5 + 6 > 0,5 ⇒ 2 − 5 + 6 − 0,5 > 0 ⇒ 2 − 5 + 5,5 > 0 .
Ostatnia nierówność jest nierównością kwadratową, sprowadzamy więc lewą stronę do
postaci iloczynowej.
∆= 3
∆ = 5 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5,5 = 25 − 22 = 3
− − ∆ − (−5) − 3 5 − 3
− + ∆ − (−5) + 3 5 + 3
=
=
=
=
1
2 =
2
2 ⋅1
2
2
2 ⋅1
2

5 − 3  
5 + 3 
5− 3
5+ 3
2
− 5 − 5,5 > 0 ⇔  −
⋅ −
>0⇔ <
∨ >
.




2  
2 
2
2

Rozwiązujemy drugą nierówność:
2
−5 +6 > 0
=
2
∆ = 5 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1
∆ = 1 =1
−(−5) − 1 5 − 1
−(−5) + 1 5 + 1
=
=2
=
=3
1 =
2 =
2
2
2
2
2
− 5 + 6 > 0 ⇔ ( − 2)( − 3) > 0 ⇔ ∈ {(−∞; 2) ∪ (3;+∞)} .
Wyznaczamy wspólne rozwiązanie obu nierówności (najlepiej na osi liczbowej).
2
3
5+ 3
≈ 3,37
2
5− 3
≈ 1,63
2
Jak widzimy z przedstawionego wyżej rysunku obie nierówności spełnione są dla -ów
z przedziału
(
− ∞; 5−2 3
) lub dla
-ów z przedziału
badanej funkcji jest suma przedziałów:
{(
(
5+ 3
2
) (
∈ − ∞; 5−2 3 ∪
)
;+∞ . Tym samym dziedziną
5+ 3
2
)}
;+∞ .
24
Na specjalną uwagę zasługują dwie funkcje logarytmiczne, mianowicie logarytm
dziesiętny oraz logarytm naturalny.
Określenie: Logarytm przy podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym. Przy
zapisywaniu logarytmu dziesiętnego w miejsce log10
stosujemy zapis
log lub lg (opuszczamy podstawę logarytmu).
Przykładowo:
log 100 = 2
lg 1000 = 3
lg 0,01 = −2
lg 1 = 0
log 10 = 1 .
Określenie: Logarytm przy podstawie
nazywamy logarytmem naturalnym. Przy
zapisywaniu logarytmu naturalnego w miejsce log
stosujemy zapis ln
Proszę pamiętać, że funkcje = lg oraz = ln są funkcjami rosnącymi, co wynika
z faktu, że podstawy logarytmów są większe od jedności.
. Powiedzmy, że chcemy rozwiązać następujące równanie:
lg( − 2) − lg(4 − ) = 1 − lg(13 − ) .
Technika rozwiązywania równań logarytmicznych jest podobna do techniki
rozwiązywania równań wykładniczych i sprowadza się do dwóch kierunków działań:
1. Doprowadzenia do równości dwóch logarytmów przy tych samych podstawach
logarytmu, co pozwala na porównaniu liczb logarytmowanych;
2.
Wprowadzeniu pomocniczej niewiadomej, rozwiązania tak otrzymanego
równania, a następnie z podstawienia wyznaczenie rozwiązania dla właściwej
niewiadomej.
W naszym przykładzie skorzystamy z pierwszego kierunku. Kolejno mamy (drukiem
komentarze):
lg( − 2) − lg(4 − ) = lg 10 − lg(13 − )
−2
10
lg
= lg
(
4−
13 −
−2
10
=
(
4−
13 −
( − 2)(13 − ) = 10( 4 − ) (
(
1 = lg 10 )
)
=
=
6
2
=3
2
− ( −25) +19
2
).
∆ = 381 = 19
=
44
2
= 22 .
( 4 − )(13 − ) )
=
∆ = 25 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 66 = 625 − 264 = 381
− ( −25) −19
2
1
2
13 − − 26 + 2 = 40 − 10 (
)
2
− + 15 + 10 − 26 − 40 = 0 (
)
2
− 25 + 66 = 0 (
Rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy:
)
25
Powinniśmy jeszcze sprawdzić rozwiązania. Dla
= 3 mamy:
1
lg( − 2) − lg(4 − ) = 1 − lg(13 − )
lg(3 − 2) − lg(4 − 3) = 1 − lg(13 − 3)
lg 1 − lg 1 = 1 − lg 10
0 − 0 = 1−1
0=0
Jak widzimy 1 = 3 jest pierwiastkiem naszego równania.
Dla 2 = 22 mamy zaś:
lg(22 − 2) − lg(4 − 22) = 1 − lg(13 − )
lg 20 − lg(−18) = 1 − lg(−9) !!!!!
Widzimy więc, że
= 22 jest wprawdzie pierwiastkiem równania
2
2
− 25 + 66 = 0 ,
ale NIE JEST pierwiastkiem równania lg( − 2) − lg(4 − ) = 1 − lg(13 − ) .
Ostatecznie równanie lg( − 2) − lg(4 − ) = 1 − lg(13 − ) ma jeden pierwiastek
. Dla jakich x-ów funkcja
1
=3.
= lg 2 ( − 1) − 2 lg( − 1) przyjmuje wartości
dodatnie?
Aby odpowiedzieć na postawione pytanie musimy rozwiązać nierówność
lg 2 ( − 1) − 2 lg( − 1) > 0 .
Po wprowadzeniu pomocniczej niewiadomej
kwadratową postaci
2
2
= lg( − 1) otrzymujemy nierówność
− 2 > 0 , którą rozwiązujemy w sposób tradycyjny:
− 2 > 0 ⇔ ( − 2) > 0 ⇔ < 0 ∨ > 2 .
Wracamy do podstawienia:
lg( − 1) < 0 ∨ lg( − 1) > 2
lg( − 1) < lg 1 ∨ lg( − 1) > lg100 (
− 1 < 1 ∨ − 1 > 100 (
< 2 ∨ > 101 (
0 = lg1 i 2 = lg100 )
)
)
2
Proszę zauważyć, że dziedziną naszej wyjściowej funkcji = lg ( − 1) − 2 lg( − 1) jest
zbiór liczb rzeczywistych większych od 1 (co wynika z warunku − 1 > 0 ), stąd osta
tecznym rozwiązaniem nierówności lg 2 ( − 1) − 2 lg( − 1) > 0 jest suma przedziałów:
∈ {(1;2) ∪ (101;+∞)} .
26
1.3 Funkcje trygonometryczne
Rozpatrzmy trójkąt prostokątny o bokach odpowiednio
,
i
oraz kącie ostrym α .
α
Określenie: Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej
naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej:
sin α =
.
Cosinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej
przy tym kącie do przeciwprostokątnej:
cos α =
.
Tangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej
naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie:
α=
.
Cotangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej
przy tym kącie do przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta:
α=
.
Z podanych wyżej określeń wynikają następujące związki:
α=
=
 
⋅ 
 
⋅
=
α=
=
α=
=
1
=
1
=
 
⋅ 
 
⋅
= sin α ⋅ (cos α ) −1 =
−1
α
−1
sin α
.
cosα
= cosα ⋅ (sin α ) −1 =
α=
=
1
1
=
α
cos α
.
sin α
.
27
Jak wiemy w trójkącie prostokątnym spełniona jest równość (tw. Pitagorasa):
2
+
2
=
2
.
2
2
2
   
otrzymujemy   +   = 1 , a dalej z definicji
   
Po podzieleniu obu stron przez
sinusa i cosinusa kąta ostrego:
sin 2 α + cos 2 α = 1 (jest to tzw. jedynka trygonometryczna).
Z ostatniej równości mamy związki:
sin 2 α = 1 − cos 2 α
oraz cos 2 α = 1 − sin 2 α .
Wartości funkcji sin α , cos α , α i
Funkcja
α = 30 0
1
sin α
α dla wybranych wartości kąta α .
α = 450
α = 60 0
1
2
3
2
1
2
2
cos α
α
1
2
3
2
1
3
α
1
3
1
3
1
3
1.3.1 Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego
Rozpatrzmy układ współrzędnych i kąt skierowany α , którego jedno ramię jest stałe
(jest nim dodatnia oś x-ów), a drugie ramię może się zmieniać. Ustalmy, że na ruchomym
ramieniu w odległości = 1 od środka układu zaznaczono punkt . Punkt ten rzutujemy
na oś x-ów (odcięta punktu) i oś y-ków (rzędna punktu) .
( ; )
α
28
Powiedzmy dalej, że kąt α będziemy powiększać w kierunku wskazanym strzałką.
Zbudujemy teraz tabelkę zmian wartości tego kąta oraz odpowiadającym im współrzędnym
-owym (odcięta) i -kowym (rzędna) punktu , który będzie się poruszał po okręgu
o promieniu 1.
α
00
1
(odcięta)
90 0
0
1
(rzędna)
...
0
...
180 0 ...
270 0 ...
0
-1
360 0
1
0
0
-1
Poniżej pokazane są zmiany kąta α i wartości obu współrzędnych w poszczególnych
ćwiartkach układu współrzędnych.
I
II
III
IV
Proszę zwrócić uwagę na znak odciętej i rzędnej punktu
w poszczególnych
ćwiartkach układu współrzędnych. Łatwo zauważyć, że odcięta jest dodatnia w ćwiartkach
I i IV, a ujemna w II i III. Z kolei rzędna jest dodatnia w ćwiartce I i II, a ujemna w III i IV.
29
Określenie: Funkcją sinus dowolnego kąta skierowanego
będziemy nazywać rzędną
punktu poruszającego się po okręgu o promieniu jednostkowym:
= sin .
Dziedziną funkcji sinus są wszystkie liczby rzeczywiste (dowolny kąt), a zbiór wartości
ograniczony jest do przedziału domkniętego < −1; 1 > .
Określenie: Funkcją cosinus dowolnego kąta skierowanego
będziemy nazywać odciętą
punktu poruszającego się po okręgu o promieniu jednostkowym:
= cos .
Dziedziną funkcji cosinus są wszystkie liczby rzeczywiste (dowolny kąt), a zbiór
wartości ograniczony jest do przedziału domkniętego < −1; 1 > .
Określenie: Funkcją tanges dowolnego kąta skierowanego
będziemy nazywać stosunek
rzędnej punktu poruszającego się po okręgu o promieniu jednostkowym do
jego odciętej, czyli stosunek sinusa do cosinusa tego kąta:
sin
=
=
.
cos
Dziedziną funkcji tangens są wszystkie liczby rzeczywiste (dowolny kąt) z wyłączeniem tych punktów, dla których odcięta (cosinus) staje się zerem. Zbiór wartości funkcji
tangens jest zbiorem liczb rzeczywistych.
Określenie: Funkcją cotanges dowolnego kąta skierowanego
będziemy nazywać stosunek odciętej punktu
poruszającego się po okręgu o promieniu jednostkowym do jego rzędnej, czyli stosunek cosinusa do sinusa tego kąta:
cos
.
=
=
sin
Dziedziną funkcji cotangens są wszystkie liczby rzeczywiste (dowolny kąt) z wyłączeniem tych punktów, dla których rzędna (sinus) staje się zerem. Zbiór wartości funkcji
cotangens jest zbiorem liczb rzeczywistych.
Poniżej podana jest tabelka zmienności tych funkcji w zakresie kątów od 0 do 360 0 .
...
...
00
90 0
180 0 ...
270 0 ...
360 0
sin
1
0
0
0
−1
cos
0
1
1
0
−1
+∞
+∞
n.i
n.i
0
0
0
−∞
−∞
+∞
n.i +∞
n.i
n.i
0
0
−∞
−∞
30
Jak łatwo zauważyć funkcje trygonometryczne co pewien kąt powtarzają swoje
wartości, mówimy, że są to funkcje okresowe.
Określenie: Funkcja = ( ) jest funkcją okresową, jeżeli istnieje taka liczba , dla
której spełniony jest warunek:
( ) = ( + ⋅ ) , gdzie ∈ .
Liczbę spełniającą powyższą równość nazywamy okresem funkcji.
Funkcje
= sin
i
= cos
powtarzają swoje wartości co 360 0 , a funkcje
=
=
powtarzają swoje wartości co 180 0 .
Z reguły przy omawianiu funkcji trygonometrycznych miarę kąta skierowanego wyraża
się w radianach zamiast w stopniach. Przeliczenie niektórych stopni na radiany podane
jest niżej.
i
Stopnie
00
0
Radiany
45 0
90 0
1350
1π
4
1π
2
3
π
4
180 0
π
270 0
3
π
2
360 0
2π
450 0
5
π
2
Dowolny kąt α wyrażony w stopniach możemy przeliczyć na radiany wg znanej
reguły trzech:
360 0
−
α
−
a stąd
=
α ⋅ 2π
360
.
. Dla jakiego kąta spełniona jest równość sin = 0,5 ?
2π
Jak wiemy sin 30 0 = 0,5 , mamy więc równość sin = sin 30 0 , a stąd
(po uwzględnieniu okresowości funkcji sinus).
= 30 0 + ⋅ 2π
. Dla jakich kątów funkcja = cos przyjmuje wartości ujemne?
Rozwiązywanie nierówności cos < 0 zaczniemy od naszkicowania wykresu tej
funkcji w zakresie kątów od 0 do 2π .
1
1π
2
-1
π
3
π
2
31
Jak widzimy z wykresu funkcja cosinus przyjmuje wartości ujemne w zakresie kątów
od 0 do 2π dla ∈ 12 π ; 32 π . Po uwzględnieniu okresowości funkcji cosinus nierówność
(
)
cos < 0 spełniona jest dla
∈
(12 π ; 32 π ) + 2 π .
=
. Powiedzmy, że interesują nas miejsca zerowe funkcji
− 2 sin .
cos
W celu wyznaczenia miejsc zerowych tej funkcji przyrównujemy prawą stronę do zera
(drukiem
komentarze):
− 2 sin = 0
(
cos
sin
1
⋅
− 2 sin = 0
cos cos
sin
sin
1 − sin
1−
2
3
(
− 2 sin = 0
2
)
)
2
= sin
2
(
(
)
2
)
)
)
1−
1
2
( + )( − ) = 0
− 12 ) = 0
(
(
1
2
)=0
− =2(
(
− 2 = 0 , gdzie
− 2 (1 −
2
− 2 sin = 0
cos 2
2
).
Z postaci iloczynowej mamy rozwiązania z uwagi na pomocniczą niewiadomą:
1
= 0 lub
2
=−
1
2
lub
3
=
1
2
.
Wracamy do podstawienia i wyznaczamy rozwiązania ogólne (z uwzględnieniem
okresowości funkcji sinus) z uwagi na niewiadomą :
sin
1
=
1
=0⇒
sin
2
=
2
=−
1
2
sin
3
=
3
=
⇒
1
2
= 00 + 2 π ∨
1
⇒
= 180 0 + 2 π
1
= −45 0 + 2 π ∨
2
= 45 0 + 2 π ∨
3
= −135 0 + 2 π
2
= 135 0 + 2 π .
3
32
. Powiedzmy, że chcemy znaleźć rozwiązania równania trygonometrycznego postaci sin 2 + sin = 0 .
Rozwiązanie (drukiem
komentarze):
2 sin cos + sin = 0
(
sin ( 2 cos + 1) = 0
(
sin 2 = 2 sin cos )
).
Równanie powyższe jest równoważne alternatywie dwóch równań:
sin = 0 lub 2 cos + 1 = 0
Rozwiązując kolejno te równania znajdujemy pierwiastki wyjściowego równania:
sin
1
2 cos
=0⇒
2
= 00 + 2 π ∨
= 180 0 + 2 π
1
+ 1 = 0 ⇒ cos
2
1
= − 12 ⇒
= −120 0 + 2 π ∨
2
= 120 0 + 2 π .
2
oraz = cos w przedziale −2π ; 2π .
Poniżej pokazano wykresy funkcji = sin
Wykresy te ilustrują podane wyżej rozwiązania równania sin 2 + sin = 0 .
= sin
1
-180
-360
360
180
0
-1
= cos
1,0
0,5
-120
120
0,0
-270
90
-90
-0,5
-1,0
270
33
1.3.2 Funkcje cyklometryczne
Jak wiemy funkcja odwrotna do danej funkcji istnieje tylko wtedy, gdy funkcja
podstawowa jest rosnąca lub malejąca. Funkcje sinus i cosinus są jednocześnie funkcjami
zarówno rosnącymi jak i malejącymi. Jeżeli jednak ograniczymy się do x-ów z zakresu
− 12 π ; 12 π w przypadku funkcji sinus oraz zakresu 0; π w przypadku funkcji cosinus, to
warunek ten będzie spełniony (zobacz wykresy na poprzedniej stronie).
Określenie: Funkcja
= sin
(
∈ − 12 π ; 12 π
rozpatrywana dla
istnieje tym samym funkcja
= arcsin
= arcsin oznacza, że = sin .
(
∈ − 12 π ; 12 π
= sin dla
)
jest funkcją rosnącą,
odwrotna do niej. Funkcja
Wykresy funkcji
)
= arcsin
oraz funkcji
niżej.
= sin
(
∈ − 12 π ; 12 π
)
1
− 12 π
1π
2
−1
y
= arcsin
1
π
2
−1
1
− 12 π
x
pokazane są
34
= arcsin 12 .
. Wyznaczmy wartość funkcji
= arcsin
Z definicji funkcji
mamy, że
1
2
równanie trygonometryczne z uwagi na zmienną
− 12 π ; 12 π
arcsin 12 = π6
= sin . Mamy więc standardowe
. Równanie to w zakresie kątów
0
ma jedno rozwiązanie: sin = sin 30 ⇒
= 30 0 =
π
6
. Ostatecznie więc
.
Określenie: Funkcja = cos rozpatrywana dla ∈ (0; π ) jest funkcją rosnącą, istnieje
tym samym funkcja = arccos odwrotna do niej. Funkcja = arccos
oznacza, że = cos .
y
π
= arccos
−1
1
x
. Obliczmy wartość = arccos 1 .
Zgodnie z definicją funkcji arcus cosinus mamy:
1 = cos ⇒ 0 0 = cos ⇒ = 0 .
Ostatecznie arccos 1 = 0 .
Określenie: Funkcja
=
rozpatrywana dla
(
∈ − 12 π ; 12 π
)
jest funkcją różno-
wartościową (rosnąca jest zawsze), istnieje tym samym funkcja
odwrotna do niej. Funkcja =
oznacza, że =
.
. Obliczmy wartość =
1.
Zgodnie z definicją mamy:
1=
⇒ 45 0 =
⇒ = 45 0 = 14 π .
Ostatecznie
1 = 14 π .
=
35
Wykres funkcji
=
przedstawiony jest poniżej.
=
y
1π
2
x
1π
2
−
Określenie: Funkcja =
rozpatrywana dla ∈ (0; π ) jest funkcją różnowartościową
(malejącą jest zawsze), istnieje tym samym funkcja =
odwrotna do
niej. Funkcja =
oznacza, że =
.
Wykres funkcji
=
=
przedstawiony jest poniżej.
y
π
x
. Obliczmy wartość
Zgodnie z definicją mamy:
3=
⇒ 30 0 =
Ostatecznie
⇒
3 = 16 π .
=
3.
= 30 0 = 16 π .
36
2. Ciągi
Określenie: Ciąg nieskończony (krótko: ciąg), jest to funkcja odwzorowująca zbiór liczb
naturalnych w pewien niepusty zbiór .
( ) dla argumentu
Wartość funkcji
przez
nazywamy -tym wyrazem ciągu i oznaczamy
( ) lub
, a sam ciąg oznaczamy przez
( 1,
Przykłady ciągów.
Ciąg ( ) odwzorowuje zbiór liczb naturalnych
()
1
Ciąg
2 , ...,
).
na zbiór liczb naturalnych .
odwzorowuje zbiór liczb naturalnych
dodatnich
na zbiór liczb rzeczywistych
+
Określenie: Ciąg skończony -wyrazowy jest funkcją odwzorowująca zbiór (1, 2, ...,
w pewien niepusty zbiór .
)
W pojęciu ciągu istotne są nie tylko jego wyrazy, ale także ich kolejność. Każdy ciąg
skończony ma wyraz pierwszy i wyraz ostatni. Każdy ciąg nieskończony ma tylko wyraz
pierwszy (nie ma wyrazu ostatniego).
Ciąg, którego wyrazy są liczbami nazywamy ciągiem liczbowym. Przykładowo ciąg
podający numery dni tygodnia jest ciągiem liczbowym skończonym. Z kolei ciąg, którego
wyrazami są nazwy dni tygodnia jest ciągiem skończonym, ale nie jest ciągiem liczbowym.
Ciąg liczbowy może być określony wzorem wyrażającym zależność jego wyrazów od
argumentu . Przykładowo wzór 1+1 określa ciąg liczbowy nieskończony o wyrazach:
( )
(12 ; 13 ; 14 ; ...; 1+1 )
Ciąg liczbowy możne być także określony poprzez wzór wyrażający wyraz -ty w zależności od jednego lub więcej wyrazów o numerach mniejszych od . Mówimy wtedy, że
ciąg jest określony wzorem rekurencyjnym. Przykładowo wzór
= 12 ( − 2 + −1 ) dla
≥3i
1
= 1 oraz
2
= 5 określa rekurencyjnie ciąg o wyrazach:
(1; 5; 3; 4; 3,5; ...) .
Zgodnie z wzorem rekurencyjnym mamy bowiem:
1
1
3 = 2 ( 2 + 1 ) = 2 (5 + 1) = 3
(
1
5 = 2(
4
=
1
2
3
+
4
+
) = 12 (5 + 3) = 4
1
3 ) = 2 ( 4 + 3) = 3,5
2
itd.
Określenie: Ciąg ( ) nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli każdy następny wyraz jest
większy od poprzedniego:
( ) jest rosnący ⇔ +1 > .
37
( +1 ) jest ciągiem rosnącym.
. Wykażemy, że ciąg
Aby ten ciąg był ciągiem rosnącym, to nierówność +1 − > 0 musi być prawdziwa
dla każdego . Mamy więc (drukiem
komentarze)::
+1
+1
−
>0
(
,a
=
)
+1 =
+1+1
+1
+1+1
+1
+1
−
>0
(
)
+2
+1
( + 1) 2 − ( + 2)
>0
( + 2)( + 1)
(
)
2
+ 2 +1− 2 − 2
>0 (
)
( + 2)( + 1)
1
>0
(
).
( + 2)( + 1)
Ostatnia nierówność jest większa od zera wtedy i tylko wtedy, gdy ( + 2)( + 1) > 0 ,
a ta nierówność jest prawdziwa dla każdego ∈ . Tym samym wykazaliśmy, że jest to
ciąg rosnący.
Określenie: Ciąg ( ) nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli każdy następny wyraz jest
mniejszy od poprzedniego:
( ) jest malejący ⇔ +1 <
(1 ) jest ciągiem malejącym.
. Wykażemy, że ciąg
Aby ten ciąg był ciągiem malejącym, to nierówność
< 0 musi być prawdziwa
+1 −
dla każdego . Mamy więc (drukiem
komentarze):
1
1
1
− <0
(
=1)
+1 = +1 , a
+1
− ( + 1)
<0
(
)
( + 1)
− −1
<0
(
)
( + 1)
−1
<0
(
).
( + 1)
Ostatnia nierówność jest spełniona dla każdego ∈ , tym samym wykazaliśmy, że
rozpatrywany ciąg jest ciągiem malejącym.
38
2.1 Ciąg arytmetyczny
Określenie: Ciąg liczbowy ( ) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje taka
liczba
, że dla każdego ∈
(gdy ciąg jest nieskończony) lub dla każdego
≤ − 1 (gdy ciąg jest skończony) spełniony jest warunek:
= .
+1 −
Liczbę nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Ciąg arytmetyczny jest rosnący dla > 0 , a malejący dla
Kilka przykładów ciągów arytmetycznych.
(1; 3; 5; ...)
=2
1 =1,
(4; 9; 14; ...)
< 0.
1
=4,
1
=2,
(2; − 2; − 6; ...)
=5
= −4 .
Kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego mogą być wyznaczone z wzoru na -ty wyraz
ciągu:
= 1 + ( − 1) ⋅ .
. Wiemy, że pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 5, a różnica
ciągu jest równa 3. Wyznaczmy na tej podstawie 10 i 15 wyraz tego ciągu.
Korzystając z wzoru na -ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy kolejno:
10 = 1 + (10 − 1) ⋅ = 5 + 9 ⋅ 3 = 5 + 27 = 32
=
15
+ (15 − 1) ⋅ = 5 + 14 ⋅ 3 = 5 + 42 = 47 .
1
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego, jeżeli jest to
ciąg skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów poprzedniego i następnego:
+ +1
= −1
.
2
początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dana jest wzorem:
+
= 1
⋅
2
lub po uwzględnieniu wzoru na -ty wyraz ciągu:
+ + ( − 1)
2 + ( − 1)
= 1 1
= 1
.
2
2
Suma
. Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć sumę wszystkich liczb naturalnych od
1 do 100.
Zgodnie z podanym wyżej wzorem mamy:
100
=
1 + 100
101
100 =
100 = 50,5 ⋅ 100 = 5050 .
2
2
39
. Obliczmy sumę wszystkich liczb całkowitych parzystych z przedziału
< 1; 100 > .
Liczby całkowite parzyste z tego przedziału tworzą ciąg arytmetyczny z elementami:
=
2 , = 2 i = 50 . Z wzoru na sumę -pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego
1
mamy:
2 ⋅ 2 + (50 − 1) ⋅ 2
4 + 98
102
⋅ 50 =
⋅ 50 =
⋅ 50 = 51 ⋅ 50 = 2550 .
50 =
2
2
2
. Między liczby 28 i 52 chcemy wstawić takie dwie liczby
i
, aby ciąg
(28; ; ; 52) był ciągiem arytmetycznym.
Jeżeli ciąg (28; ; ; 52) ma być ciągiem arytmetycznym, to muszą być spełnione dwa
warunki:
 − 28 = −

 − = 52 − .
Rozwiązując powyższy układ równań liniowych mamy kolejno (drukiem
komentarze) :
 2 − = 28

− + 2 = 52
 2 − = 28

− 2 + 4 = 104
)
(
3 = 132
(
)
= 132
= 44
3
(
2 − 44 = 28
(
)
(
2 = 28 + 44 ⇒ = 36
)
)
).
Ostatecznie otrzymujemy następujący ciąg arytmetyczny: (28; 36; 44; 52) .
. Obliczmy długości boków trójkątna prostokątnego, jeżeli wiadomo, że
przeciwprostokątna jest równa 30 cm, a jego boki tworzą ciąg arytmetyczny.
Oznaczmy najkrótszą przyprostokątną przez
, wtedy druga przyprostokątna jest
równa + , a przeciwprostokątna odpowiednio + 2 (z zadania wiemy, że boki tego
trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny). Z warunków zadania mamy zaś równość + 2 = 30 .
Z kolei z twierdzenia Pitagorasa mamy zależność między sumą kwadratów przyprostokątnych a kwadratem przeciwprostokątnej:
2
+ ( + )2 = ( + 2 )2 .
40
Ostatecznie mamy do rozwiązania układ dwóch równań:
 + 2 = 30
 2
2
2
 +( + ) =( +2 ) .
Rozwiązując powyższy układ równań mamy kolejno (drukiem
tarze):
 = 30 − 2
 2
2
 + +2
(
+
2
=
2
+4
+4
2
 = 30 − 2
 2
2
 −2 −3 = 0
(30 − 2 ) 2 − 2 (30 − 2 ) − 3
komen-
,
)
(
(
2
900 − 120 + 4 2 − 60 + 4
5 2 − 180 + 900 = 0
2
− 36 + 180 = 0
2
=0
−3
2
(
(
(
=0
)
)
...)
)
5).
Ostatnie równanie jest już „klasycznym” równaniem kwadratowym z uwagi na
niewiadomą :
∆ = 36 2 − 4 ⋅ 180 = 1296 − 720 = 576
∆ = 576 = 24
−(−36) − 24 36 − 24
−(−36) + 24 36 + 24
=
=6
=
= 30 .
1 =
2 =
2
2
2
2
Znajdujemy rozwiązania dla z zależności = 30 − 2 :
1 = 30 − 2 1 = 30 − 2 ⋅ 6 = 30 − 12 = 18
= 30 − 2
= 30 − 2 ⋅ 30 = 30 − 60 = −30 .
2
2
Ostatecznie, po uwzględnieniu warunków zadania mamy jedno rozwiązanie: jest to
trójkąt o bokach odpowiednio równych 18 , 18 + 6 = 24 i 18 + 2 ⋅ 6 = 30 cm. Druga para
rozwiązań ( = −30; = 30) nie spełnia, jak powiedziałem, warunków zadania.
2.2 Ciąg geometryczny
Określenie: Ciąg liczbowy ( ) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje taka
liczba
, że dla każdego ∈
(gdy ciąg jest nieskończony) lub dla każdego
≤ − 1 (gdy ciąg jest skończony) spełniony jest warunek:
+1
=
.
Liczbę
nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
41
Kilka przykładów ciągów geometrycznych:
(1; 2; 4; 8; ...)
=2
1 =1
(1; 10; 100; 1000; ...)
= 10
1 =1
(−2; 4; − 8; 16; ...)
=
−
2
= −2
1
Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że żaden jego wyraz nie może być równy
zero.
Kolejne wyrazy ciągu geometrycznego mogą być wyznaczane z wzoru na -ty wyraz
ciągu:
= 1 ⋅ −1 .
. Wiadomo, że pierwszy wyraz ciągu geometrycznego równy jest dwa, a
iloraz trzy. Obliczmy piąty i ósmy wyraz tego ciągu.
Z warunków zadania mamy, że 1 = 2 i = 3 . Korzystając z wzoru na -ty wyraz
ciągu geometrycznego mamy:
4
= 2 ⋅ 34 = 2 ⋅ 81 = 162
5 = 1⋅
=
8
1
20
9
równe
i
80
81
⋅
7
= 2 ⋅ 37 = 2 ⋅ 2187 = 4374 .
. Wiemy, że trzeci i piąty wyraz ciągu geometrycznego są odpowiednio
. Wyznaczmy wyraz pierwszy i iloraz tego ciągu.
Z warunków zadania mamy układ równań:
 3 = 1 ⋅ 2 = 20
9 .

4
 5 = 1 ⋅ = 80
81
Po podzieleniu drugiego z tych równań przez pierwsze eliminujemy wyraz pierwszy:
1
4
⋅
2
=
80
81
20
9
⇒
2
80 9
4
⋅
= .
81 20 9
=
⋅
Mamy już równanie kwadratowe z uwagi na
odpowiednio:
= − 23 lub = 23 .
1
, a jego rozwiązaniami jest
Znając iloraz ciągu obliczamy wyraz pierwszy:
dla
dla
= − 23 mamy
=
2
3
mamy
( 23 )2 = 209 ⇒ 1 ⋅ 94 = 209 ⇒ 1 = 209 ⋅ 94 = 5
20
20
20 9
2 2
4
1 ⋅ (3 ) = 9 ⇒ 1 ⋅ 9 = 9 ⇒ 1 = 9 ⋅ 4 = 5 .
⋅ −
1
Ostatecznie otrzymujemy dwa ciągi geometryczne spełniające warunki zadania, a zdefiniowane odpowiednio przez:
= − 23 lub 1 = 5 , = 23 .
1 =5,
42
Sumę -pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego możemy wyznaczyć z wzoru:
=
lub z wzoru:
=
1
1−
1−
⋅
, gdy
⋅ , gdy
=1.
1
≠1
. Powiedzmy, że interesuje nas suma pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu
geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy 2, a iloraz także jest równy 2.
Z warunków zadania mamy 1 = 2 , = 2 i = 10 . Ponieważ iloraz naszego ciągu jest
różny od jeden, to sumę pierwszych dziesięciu wyrazów znajdujemy z wzoru:
1 − 210
1 − 1024
− 1023
= 2⋅
= 2⋅
= 2 ⋅ 1023 = 2046 .
1− 2
−1
−1
= 2⋅
10
Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyłączeniem pierwszego (i ostatniego, gdy ciąg
jest skończony) spełnia warunek:
2
= −1 ⋅ +1 .
Jeżeli wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie, to z ostatniego warunku
wynika równość:
=
−1
⋅
.
+1
Wynika z niej, że każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyłączeniem pierwszego
(i ostatniego, gdy ciąg jest skończony) o dodatnich wyrazach jest średnią geometryczną
wyrazu poprzedniego i następnego.
. Wiemy, że suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny jest równa 21.
Jeżeli liczby te powiększymy odpowiednio o 2, 3 i 9, to utworzą ciąg geometryczny. Jakie
są to liczby?
Oznaczmy liczby tworzące ciąg arytmetyczny przez 1 , 1 + i 1 + 2 . Z warunków
zadania mamy dwie równości:
3 1 + 3 = 21 ⇒ 1 + = 2 = 7
( 1 + + 3) 2 = ( 1 + 2) ⋅ ( 1 + 2 + 9) .
Ostatnie równanie można zapisać w postaci:
100 = ( 1 + 2) ⋅ (16 + ) .
Z pierwszego równania mamy 1 = 7 − , a po podstawieniu do równania drugiego
otrzymujemy równanie kwadratowe z uwagi na niewiadomą :
100 = (7 − + 2)(16 + ) = (9 − )(16 + ) = 144 + 9 − 16 − 2 .
Po uporządkowaniu mamy następujące równanie do rozwiązania:
− 2 − 7 + 44 = 0 lub 2 + 7 − 44 = 0 .
43
Rozwiązując ostatnie z nich mamy:
∆ = 7 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−44) = 49 + 176 = 225
∆ = 255 = 15
−7 − 15
−7 + 15
= −11
=4 .
1 =
2 =
2
2
Z pierwszego równania wyznaczamy wyraz pierwszy ciągu arytmetycznego dla obu
wartości parametru :
= −11 ,
1 = 7 − = 7 − 1 = 7 − ( −11) = 7 + 11 = 18 dla
= 7 − = 7 − 2 = 7 − 4 = 3 dla = 4 .
Ostatecznie szukany ciąg arytmetyczny tworzą liczby (18; 7; − 4) lub (3; 7; 11) .
1
2.3 Szereg geometryczny
Powiedzmy, że mamy odcinek AB o długości jednostkowej. Z odcinka tego w kolejnych krokach odcinamy odcinek o długości 12 , następnie połowę z pozostałego odcinka
(czyli
1
2
z pozostałej z pierwszego odcięcia
1
2
całości) itd. Odcinane w ten sposób odcinki
tworzą ciąg geometryczny nieskończony o wyrazach:
1 ; 1 ; 1 ; ... .
2 4 8
(
)
Poniżej pokazany jest schemat takiego podziału odcinka o ustalonej długości.
1
1
8
1
4
1
2
1
16
Dodając kolejne wyrazy tego ciągu, czyli obliczając sumy:
1
1 = 1 = 2
1 − ( 12 )
2
2
=
3
=
1
+
1
+
2
=
2
+
1
1 − 12
= 12 ⋅
1 − ( 12 )
3
4
1
2
= 12 ⋅ 34 ⋅ 12 =
3
3
=
1
2
1 − 12
= 12 ⋅
7
8
1
2
3
4
= 12 ⋅ 78 ⋅ 12 =
7
8
możemy zauważyć, że kolejne sumy coraz mniej różnią się od długości całego odcinka
(założyliśmy, że jest to odcinek jednostkowy).
Sumy 1 , 2 , 3 , ... tworzą ciąg sum częściowych ciągu geometrycznego nieskończonego. Ciąg ten nazywamy także szeregiem geometrycznym, a jego symbolem jest:
2
+ .... + 1 .
1+ 1 + 1
44
Szereg geometryczny może być zbieżny, mówimy wtedy, że istnieje suma szeregu
geometrycznego.
Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego iloraz jest co do
wartości bezwzględnej mniejszy od 1, a suma szeregu dana jest wzorem:
=
1
dla < 1 .
1−
W rozpatrywanym przykładzie podziału odcinka warunek zbieżności jest spełniony,
stąd suma szeregu jest równa:
1
2
=
1−
=1 .
1
2
Na zakończenie tego zeszytu jeszcze jeden
geometrycznego.
przykład wykorzystania szeregu
. Powiedzmy, że chcemy zamienić liczbę 3,(17) na ułamek zwykły.
Liczbę tę można zapisać w postaci: 3 + 0,17 + 0,0017 + 0,000017 + .... , a więc poza
liczbą 3 mamy ciąg geometryczny nieskończony o 1 = 0,17 i = 0,01 . Warunek zbieżności jest spełniony, mamy więc:
0,17
0,17
17 3 ⋅ 99 + 17 297 + 17 314
3, (17) = 3 +
= 3+
= 3+
=
=
=
.
1 − 0,01
0,99
99
99
99
99
3. Literatura
1.
E. Bańkowska i in.
Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 1994
B. Gdowski, E. Pluciński. Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1982
J. Kłopotowski i in.
(pod red. I. Nykowskiego). Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1995
J. Laszuk.
. Oficyna Wydawnicza SGH,
Warszawa 1996
J. Laszuk.
Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1997
R. Leitner, W. Żakowski.
.
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1984
R. Leitner, W. Żakowski.
.
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1984
A. Zieliński.
. Fundacja „Rozwój SGGW”,
Warszawa 1997
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
45