r i4 VA = j6 VB = z f , y f , x f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⌋ ⌉ ⌊ ⌈ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =
Transkrypt
r i4 VA = j6 VB = z f , y f , x f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⌋ ⌉ ⌊ ⌈ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =
ZADANIA DODATKOWE Z FIZYKI DLA STUDENTÓW WYDZIAŁU MT, KIERUNEK: Mechatronika, SEM. I, 2011/2012 ZESTAWY 1-2 1. Znaleźć wektor jednostkowy n , który jest jednocześnie prostopadły do wektora a = [6,12,16] i do osi OX. Podpowiedź: wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny = 0. 2. Promień wodzący punktu materialnego zmienia sie w czasie w następujący sposób: r = [10t, e-t, sin(2t)]. Znajdź zależność od czasu prędkości punktu materialnego oraz jego przyspieszenia. 3. Dwie cząstki A i B poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami VA 4 i m/s i VB 6 j m/s. W chwili t = 0 są one w punktach o współrzędnych xA = -6 m, yA = 0 m oraz xB = 0 m, yB = -6m. Znaleźć wektor rA rB opisujący położenie cząstki B względem cząstki A w funkcji czasu. Kiedy i gdzie te cząstki będą najbliżej siebie? Podpowiedź: pochodna funkcji w punkie, w którym funkcja ma minimum (lub maksimum) jest równa zeru. 4. Wyznacz gradient funkcji f(x,y,z) dla: a) f(x,y,z) = A(x2+y2+z3) b) f(x,y,z) = B(x2+y3+z2)-1/2 f f f i oznaczamy , , x y z f f f symbolem grad f lub f ( - jest tzw. operatorem nabla, , , ). x y z f f f gradf f i j k x y z Gradientem funkcji skalarnej f(x,y,z) nazywamy wektor o składowych 5. Wyznacz dywergencję wektora a , którego współrzędne są następującymi funkcjami współrzędnych punktu zaczepienia wektora: a) a = [xy, xyz, y/z] b) a = [x2+y2, x3+z2, z3/2] Dywergencją wektora a =[ax, ay, az] (uwaga: ax, ay, az są funkcjami zmiennych x, y i z) nazywamy skalar: a f f f a a a x y z . Ponieważ operator nabla , , traktujemy formalnie jako x y z x y z wektor, to dywergencja wektora a jest równa iloczynowi skalarnemu wektora i wektora a : f f f div a a , , ax ,a y ,az x y z div 6. Wyznacz rotację wektora a , którego współrzędne są następującymi funkcjami współrzędnych punktu zaczepienia wektora: a) a = [xy + zy, xz + z2 + y, y + x2 b) a = [x3 + y3, x2y + z3x, y] Rotacją wektora a =[ax, ay, az] (uwaga: ax, ay, az są funkcjami zmiennych x, y i z) nazywamy iloczyn wektorowy wektora nabla i wektora a : i a a x ax j y ay k , przy czym formalnie iloczyny 2 i 3 wiersza należy uważać za z az odpowiednie pochodne cząstkowe, np. x ax a y ax y x y ay