integracyjna funkcja modeli matematycznych w

ZESZYTY
N A U K O W E WYŻSZEJ SZKOŁY PEDAGOGICZNEJ
W RZESZOWIE
SERIA MATEMATYKA, FIZYKA I TECHNIKA
ZESZYT 42/2001
MATEMATYKA 4
Małgorzata Klisowska
Instytut Fizyki
Wyższa Szkoła Pedagogiczna
w Rzeszowie
e-mail: [email protected]
INTEGRACYJNA FUNKCJA MODELI MATEMATYCZNYCH
W UCZENIU SIĘ FIZYKI UPODOBNIONYM DO PROCESU
BADAWCZEGO
Postulat zintegrowanego kształcenia domaga się powiązania nauczania
matematyki z jej współczesnymi zastosowaniami, zarówno w badaniach
naukowych, jak i praktyce. Jednym ze sposobów poszukiwania wzajemnych
relacji pomiędzy językiem matematyki a efektywnością procesu nauczania oraz
uczenia się fizyki jest uwzględnienie charakteru czynności poznawczych uczniów
podczas rozumowania przez analogię.
Pojęcie analogii i rozumowania przez analogię
Twórczo rozwijające się poznanie często odwołuje się do podobieństw
pomiędzy przedmiotami, badanymi zjawiskami czy procesami. Wyróżnione
podobieństwa określa się pojęciem analogii. W nauce terminowi analogia
przypisuje się dwa znaczenia :
• jako nazwa pewnego typu rozumowania;
• jako struktura myślenia o podobnych do siebie układach.
Rozumowanie przez analogię zachodzi wówczas, gdy na podstawie
własności, cech lub stosunków dwu lub więcej układów wnioskuje się o
możliwości istnienia podobieństw i ich zbieżności w odniesieniu do innych cech,
własności lub stosunków. Układ, z którego informacja jest przenoszona, to model.
Układ, na który informację o podobieństwach przenosi się, to prototyp (oryginał).
Stosunek podobieństw pomiędzy modelem i prototypem (oryginałem) określa typ
analogii. Z punktu widzenia korelacji nauczania matematyki oraz fizyki
zasadniczą rolę odgrywać będą podobieństwa [1] praw fizycznych (analogie
formalne) oraz grupy podobieństw wykresów utożsamianych z tymi prawami
(analogie graficzne). Zastosowanie rozumowania przez analogię może dawać
wiarygodne rezultaty, jeżeli zachowane zostaną odpowiednie reguły pozwalające
przenosić wiedzę o podobieństwach z modelu na prototyp (oryginał), z jednego
układu na drugi. Ogólnie możemy stwierdzić, że aby rozumować na podstawie
analogii, należy :
• analogię dostrzec (wykryć i określić podobieństwo),
• przyjąć ją na gruncie ustalonych założeń,
• zastosować ustaloną analogię do generowania wniosków (hipotez),
• poddać wyniki rozumowania analogicznego weryfikacji,
• utworzyć strukturę zweryfikowanej analogii.
Zatem podstawowym warunkiem uformowania strategii analogicznej będzie:
• dostrzeżenie i określenie podobieństwa dwóch różnych sytuacji problemowych
(cech układu, itp.) S i S’;
• znajomość sposobu M rozwiązania problemu w sytuacji S;
• adaptacja schematu sposobu rozwiązania M problemu S na schemat M’
możliwy do zastosowania w sytuacji S’, należącej do podobieństw sytuacji S.
Warunek ten możemy zapisać w postaci sformalizowanej:
[(S → M) ∩ (S ~ S’ )] → [S’ → (M → M ’)].
gdzie:
(S → M)
tο odwzorowanie przyporządkowujące sytuacji problemowej S
znane rozwiązanie M;
(S ~ S’ ) to relacja wyrażająca podobieństwa dwóch różnych sytuacji S≠S’;
[S’→(...)] to odwzorowanie przyporządkowujące sytuacji problemowej S’
pewne rozwiązanie (...);
(M→ M’) to rozwiązanie sytuacji S’ uzyskane poprzez odwzorowanie
przyporządkowujące sposobowi rozwiązania M schemat (algorytm)
M‘ możliwy do zastosowania w sytuacji S’.
W nauczaniu aktywizującym opartym na czynnym wytwarzaniu wiedzy oraz
pracy badawczo - odkrywczej ucznia wymagane jest włączenie funkcji
poznawczych analogii do procesu nauczania - uczenia się, czyli:
• formułowanie zagadnień (problemów),
• stawianie hipotez,
• tworzenie (przenoszenie) pojęć,
• przenoszenie metod i sposobów działania z jednej dziedziny do drugiej.
Istotnym jest, że ze względu na spełniane funkcje analogia będzie stosowana jako
metoda rozumowania przy rozwiązywaniu najważniejszych problemów
nurtujących współczesną dydaktykę matematyki i fizyki - takich, jak:
• strukturalizacja i integracja wiedzy,
• definiowanie i kształtowanie pojęć,
• stosowanie metod aktywizujących,
• wdrażanie nauczania wspomaganego komputerem,
• budowanie nowych struktur lekcji,
• upodabnianie procesu nauczania do procesu badawczego.
Dokonywanie uproszczeń w opisie zjawisk fizycznych jest procedurą
niezbędną, by móc ostatecznie zastosować do modeli tych zjawisk konkretny
aparat matematyczny. Poprawne stosowanie procedur matematycznych,
przyporządkowywanie równaniom matematycznym praw fizycznych, zaś
wykresom - interpretacji fizycznej, umożliwia zintegrowanie nauczania
matematyki i fizyki, co w efekcie - może przyczynić się do funkcjonalności
zdobywanej wiedzy oraz operacjonalizacji nabywanych umiejętności.
Matematyczne modelowanie zjawisk i procesów fizycznych
Zapoznając uczniów z pojęciami, prawami, teoriami fizycznymi nauczyciel
staje przed problemem ich matematycznej i fizycznej interpretacji [2]. Dotychczas
uważano, że interpretacja może odbywać się jedynie na drodze faktu fizycznego
(empirii). Obecnie wykorzystuje się w tym celu również modelowanie, które
polega na badaniu zjawisk analogicznych zachodzących w uproszczonej
strukturze modelu. Modelowanie jako metoda nauczania składa się z
następujących ogniw:
• dostrzeżenie określonych własności badanego oryginału i sformułowanie
problemu;
• zbudowanie określonego modelu (przedmiotu, zjawiska);
• badanie modelowe; model jest tu przedmiotem rozważań, studiów, poddaje się
go różnego rodzaju oddziaływaniom, rejestruje się jego reakcję i wyciąga
wnioski;
• przeniesienie informacji zdobytej w toku obserwacji modelu na oryginał.
By powstał matematyczny model procesu lub zjawiska należy określić:
• model matematyczny (funkcyjny): równania matematyczne, wzory, itp. wg
których przeprowadzane będą obliczenia,
• wartości początkowe: ustalenie warunków początkowych, startowych dla
pomiarów,
• diagramy: podanie sposobu prezentacji wyników na wykresach.
Modele matematyczne (funkcyjne) konstruuje się na podstawie ogólnych
zasad oraz praw fizycznych. Mają one najczęściej postać równań różniczkowych.
Modelowanie fizycznej rzeczywistości, którą równania te opisują wymaga
olbrzymiej wyobraźni. Dziś możliwość modelowania zjawisk i procesów
fizycznych za pomocą programu komputerowego, analizującego dane zjawisko
numerycznie „krok po kroku”, należy do najcenniejszych z dydaktycznego punktu
widzenia. W przeciwieństwie do opisu analitycznego modele numeryczne kierują
uwagę bardziej na sposób rozwiązania problemu niż na formę rozwiązania. To
pozwala łatwiej dostrzec związek między różnymi fenomenologicznie zjawiskami
fizycznymi, opisywanymi przez podobne modele (tzn. należące do tej samej grupy
podobieństw). Dzięki zastosowaniu rozumowania przez analogię drgania
wymuszone ciężarka na sprężynie, rozładowanie kondensatora czy rozpad
promieniotwórczy można analizować w podobny sposób - za pomocą tego
samego modelu matematycznego. Komputer okazuje się tu bardzo pomocny.
Korzystając z tego samego programu komputerowego w stosunkowo krótkim
czasie możemy uzyskać prezentacje graficzne, dużą liczbę przykładów
(symulacji) oraz zwrócić uwagę na te elementy wiedzy matematycznej, które
umożliwiają nam interpretację uzyskanych modeli [3].
Jednym z programów edukacyjnych, umożliwiającym realizację
modelowania zjawisk lub procesów fizycznych oraz rozumowania przez analogię
jest program IPC - COACH. Modele w tym programie pisane są w języku
własnym programu, zbliżonym do języka Pascal. Prawa fizyki pozostają ujęte w
matematyczne wzory i przedstawiają funkcyjne zależności między wielkościami
fizycznymi. Zależności te mogą być w prosty sposób przedstawione w postaci
wykresów, które można przetwarzać. Odpowiednie podprogramy (dopasowanie
krzywej, wykreślanie stycznej, określanie pola pod wykresem, różniczkowanie,
całkowanie, itp.) umożliwiają zdobywanie wiedzy na temat wykresów, ich
modyfikacji oraz interpretacji fizycznej. Dzięki zastosowaniu rozumowania przez
analogię - w połączeniu z obrazami wykresów uzyskiwanych na ekranie monitora
- uczniowie uczą się wykorzystywać zdobytą wiedzę do rozwiązywania innego,
analogicznego (np. z punktu widzenia opisu matematycznego) problemu. W
rezultacie rozumowanie przez analogię w nauczaniu [4] pozwala na integrację
treści nauczania i usunięcie niektórych trudności w rozumieniu treści
matematycznych, zaś wykorzystanie komputera wzbogaca sposób nabywana
wiedzy i może wpływać korzystnie na zainteresowanie uczniów przedmiotem.
Analogia zjawisk o charakterze wykładniczym
W naukach przyrodniczych istnieją przykłady wielkości, które rosną (maleją)
w sposób ciągły - lub prawie ciągły, tak, że nie potrafimy dostrzec różnicy - przy
czym wskaźnik (szybkość wzrostu lub zaniku) jest proporcjonalny do wartości,
jaką ma ta wielkość w danej chwili. Własność tę można wyrazić matematycznie
za pomocą równania różniczkowego.
Jeśli u jest miarą wielkości w chwili t, to interesujący nas wskaźnik (wzrostu
lub zaniku) tej wielkości wynosi
du
. Fakt, że wskaźnik ten jest proporcjonalny
dt
do wielkości mierzonej u można zapisać w postaci równania typu „wzrostu” lub
„zaniku” (rozpadu):
du
= cu .
dt
Stałą proporcjonalności c nazywamy współczynnikiem wzrostu dla c>0. Gdy
c jest ujemne, wartość u maleje wraz z upływem czasu, co występuje w
statystycznych procesach rozpadu i zaniku, przy czym wskaźnik rozpadu i zaniku
jest proporcjonalny do wartości, jaką ma u w danej chwili t. Stałą c<0 nazywamy
współczynnikiem zaniku lub rozpadu. Zapisane równanie różniczkowe spełnione
jest przez funkcję u postaci: u = uo ⋅ e c ⋅ t . Dla zmiennych czasoprzestrzennych
(czasu t oraz wymiaru przestrzeni x) rozwiązanie to może być opisane w sposób
ogólny, co pozwoli mam określić analogie.
Wielkość mierzona
opisująca
badany układ
(źródło)
=
Wartość
początkowa
wielkości
mierzonej
.
Stała cechująca
układ, czyli
współczynnik
wzrostu (+)
lub rozpadu (-)
Wielkość
powodująca
zmianę np.:
odległość x
lub czas t
e
W praktycznym współdziałaniu matematyki i fizyki równanie to jest
efektywnie wykorzystywane do rozwiązywania statystycznych zagadnień
fizycznych, jak i z zakresu np. matematyki finansowej (ustalania cen obligacji,
tworzenia matematycznych modeli zjawisk ekonomicznych). W praktyce
edukacyjnej mogą być omawiane następujące zjawiska fizyczne o charakterze
wykładniczego wzrostu lub zaniku:
• ładowanie i rozładowanie kondensatora (dwójnik szeregowy R,C),
• elektromagnetyczny proces przejściowy w cewce (dwójnik szeregowy R, L),
• rozpad promieniotwórczy,
• ruch harmoniczny tłumiony,
• zmiany ciśnienia atmosferycznego lub koncentracji gazu npm.
• pochłanianie światła.
W czterech pierwszych wymienionych zjawiskach wielkością powodującą
zmiany jest upływający czas t. W pozostałych zmiany w układzie obserwowane
są wraz ze zmianą odległości x (wysokości h). Wykorzystując modelowanie
komputerowe możemy szybko wykreślić wykresy funkcji, np.:
• Fk funkcję rozładowania kondensatora,
• Fc funkcję dla dwójnika R, L,
• Fr funkcję dla rozpadu promieniotwórczego,
• Fh funkcję ruchu harmonicznego tłumionego,
• Fa funkcję zmiany ciśnienia atmosferycznego (wzór barometryczny),
• Fp funkcję opisującą pochłanianie światła.
Charakter uzyskanych przykładowo wykresów (rys.1-5) i sposób ich
interpretacji (rys.6) są analogiczne. Funkcje F opisujące podane zjawiska tworzą
grupę analogii Anal D. Oznacza to, że dla każdej pary równań Fm, Fn istnieje
analogia αmn∈Anal D taka, że Fm=αmnFn, gdzie m,n∈(k,c,r,h,a,p). Występując
pomiędzy różnymi zjawiskami fizycznymi analogia formalna powoduje, że
rozwiązując jedno zagadnienie mamy możliwość efektywniejszego wprowadzania
opisów matematycznych poszczególnych zjawisk oraz ich interpretacji
fizycznych.