Wymagania na test dyrektorski w klasach II – poziom podstawowy

Wymagania na test dyrektorski w klasach II – poziom podstawowy
1. Obliczenia procentowe
a) Cenę towaru obniżono z 50 zł na 45 zł. O ile procent obniżono cenę?
b) Jacek kupił klawiaturę do komputera za 80 zł, myszkę za 12 zł i podkładkę pod myszkę za
6 zł. O ile procent myszka jest tańsza od klawiatury? Jakim procentem ceny klawiatury
jest cena podkładki pod myszkę?
c) Mandarynki i nektarynki kosztują tyle samo. Jeśli mandarynki stanieją o 4%, zaś
nektarynki zdrożeją o 15%, to o ile procent więcej trzeba będzie zapłacić za 2 kg
mandarynek i 3 kg nektarynek?
d) Pan Kowalski ulokował kwotę 2000 zł na lokacie z oprocentowaniem 3% w skali roku. Ile
będzie miał pieniędzy na koncie po roku, jeśli kapitalizacja odsetek jest kwartalna?
2. Potęga o wykładniku wymiernym; działania na pierwiastkach
a) Zapisz liczby: 0,0000065, 1280000000 w notacji wykładniczej.
9
b) Oblicz: − 0,2 ⋅ 1 = ;
16
3
6
 1
– 2 
 4
−
1
2
=;
2 ⋅3 2
21
2
−5
1
1 4
9 ⋅   : 6 272
 81 
c) Wykonaj wskazane działania i zapisz wynik w postaci potęgi liczby 3:
7
5
5 ⋅ 32 − 6 ⋅ 3 2
3. Wzory skróconego mnożenia
a) Usuń niewymierność z mianownika
b) Rozwiąż równanie (x – 1)2 – (x + 4)2 + 2x + 31 = 0
c) Rozłóż na czynniki wyrażenia: x2 – 2, 25 + 10y + y2 , (x – 7) x + 3(7 – x), 4x2 –16x+16
d) Doprowadź wyrażenie (x – 1)2 – (x + 2)2+3(x-4)(3x-1) do najprostszej postaci i oblicz jedo
wartość dla
(wynik przedstaw w postaci
.
4. Definicja wartości bezwzględnej i jej interpretacja geometryczna; proste równania i
nierówności z wartością bezwzględną
a) Rozwiąż:
= 4;
b) Oblicz wartość wyrażenia
– dla a (–3, 5).
5. Błąd względny i bezwzględny
a) Jacek kupił klawiaturę do komputera za 80 zł, myszkę za 12 zł i podkładkę pod myszkę za
6 zł. Jacek oszacował wartość zakupów na 100 zł. Jaki błąd względny przybliżenia
popełnił? Wyraź ten błąd w procentach i zaokrąglij wynik do jednego miejsca po
przecinku.
6. Funkcje: dziedzina, zbiór wartości, znak funkcji, monotoniczność funkcji; odczytywanie
własności funkcji z wykresu; sporządzanie wykresu funkcji o zadanych własnościach;
przekształcanie wykresów funkcji
a) Dla jakich wartości parametru a punkt A(–2, 4) należy do wykresu funkcji f(x) = –x2 + 2a.
b) Na podstawie wykresu funkcji f podaj:
- dziedzinę funkcji f
- zbiór wartości funkcji f
- zbiór wszystkich argumentów, dla których
funkcja f przyjmuje wartości dodatnie
- maksymalne przedziały, w których funkcja f jest
malejąca
- wartość wyrażenia f(−5) ⋅ f(0) − f(6).
c) Dana jest funkcja f, opisana wzorem f(x) =
4x − 5
.
3− x
- Wyznacz dziedzinę funkcji f.
- Oblicz argument, dla którego wartość funkcji f wynosi −
- Oblicz wartość funkcji f dla argumentu
liczbami wymiernymi i c > 0.
5
.
2
5 i podaj tę wartość w postaci a + b c , gdzie a, b, c są
- Dla jakiego argumentu funkcje f oraz g o wzorze g(x) =
4x
, gdzie x ≠ 1, przyjmują tę samą
1− x
wartość?
d) Wyznacz dziedzinę funkcji oraz jej miejsca zerowe: f(x) =
-
; f(x) =
1 − x2
x −2
 x 3 dla x ∈ − 2, 1)

.
e) Dana jest funkcja f (x) =  1
 dla x ∈ 1, + ∞ )
x
Oblicz wartość wyrażenia f − 2 + f 2 .
(
) ( )
Naszkicuj wykres funkcji f (sporządź odpowiednie tabelki).
Podaj zbiór wartości funkcji f.
Podaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f.
f) Naszkicuj wykres funkcji g, która spełnia jednocześnie trzy warunki:
• dziedziną funkcji g jest zbiór 〈–2, 4〉
• funkcja g przyjmuje największą wartość równą 3, zaś najmniejszą równą –5
• funkcja g jest rosnąca w przedziale 〈–2, 1〉, zaś malejąca w przedziale 〈1, 4〉.
g) Dziedziną funkcji f jest zbiór 〈–3, 2). Wykres funkcji f przekształcono przez symetrię
osiową względem osi OY i otrzymano wykres funkcji g. Wyznacz dziedzinę funkcji g.
h) Funkcja y = f(x) ma dwa miejsca zerowe: – 3 oraz 1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji
y=f(-x)
i) Zbiór wartości funkcji y=f(x) wynosi <-3,2). Podaj zbiór wartości funkcji y=f(x)+2
7. Funkcja liniowa i jej własności; wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dwa
punkty
a) Oblicz wartość współczynnika kierunkowego funkcji
liniowej, której wykres przedstawiony jest na
rysunku.
b) Wyznacz równanie prostej przedstawionej na
rysunku obok.
c) Podaj własności tej funkcji liniowej
d) Kolarz znajduje się w odległości 120 km od mety, do której zbliża się ze stałą prędkością.
Za 4 godziny kolarz przekroczy linię mety. Zapisz wzór funkcji opisującej odległość kolarza
od mety [km] w zależności od czasu jazdy t [h], gdzie t ∈ 〈0, 4〉.
8. Wyznaczanie równania prostej równoległej (prostopadłej) do danej przechodzącej przez
dany punkt
a) Wyznacz wartości parametru m, dla którego wykres funkcji f(x) = (m – 2)x jest
prostopadły do wykresu funkcji g(x) =
3
x+7
4
b) Punkty A(–4, 1) oraz B(8, 7) są symetryczne względem prostej k. Wyznacz równanie
prostej k.
c) Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y=-3x+2 i przechodzącej
przez punkt P(-2,-1)
d) Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y=0,5x+2 i przechodzącej
przez punkt P(-2,-1)
e)
9. Zastosowanie równań liniowych, układów równań liniowych do rozwiązywania zadań
tekstowych
 2
y = x − 1
a) Dopisz drugie równanie tak by układ równań 
był nieoznaczony (sprzeczny,
3
...............
oznaczony)
b) Rozwiąż układ:
c) Rowerzysta poruszający się ze stałą prędkością przejechał drogę z miasta A do miasta B w
ustalonym czasie. Jeśli jechałby z prędkością o 3 km/h większą, to czas przejazdu byłby o 54
minuty krótszy; gdyby zaś jego prędkość była o 4 km/h mniejsza, to czas przejazdu byłby o
135 minut dłuższy. Z jaką prędkością jechał rowerzysta i w jakim czasie przebył drogę z A do
B? Jak daleko jest z miasta A do miasta B?
d) Liczbę 48 przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, aby różnica ich kwadratów była
równa 576.
11. Funkcja kwadratowa i równania okręgu
a) Wyznacz zbiór wartości oraz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:
f(x) = 6(x – 42)2 – 29
b) Wyznacz równanie osi symetrii wykresu funkcji: f(x) = 5(x + 24)(x – 36).
c) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji: f(x) =
przedziale 〈0; 2〉
e) Rozwiąż:
poziom rozszerzony
poziom rozszerzony
1
(x – 1)(x + 3) w
2
e) Wyznacz środek i promień okręgu: x2 + y2 + 6x – 4y = 0 poziom rozszerzony
f) Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi OX, którego środek jest w punkcie (2, -3). poziom
rozszerzony
Ciąg dalszy dotyczy kl. IIA Poziom rozszerzony
10. Definicje funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych; wyznaczanie wartości pozostałych
funkcji trygonometrycznych mając podaną jedną z nich, tożsamości trygonometryczne
a) W trójkącie prostokątnym jeden kąt ostry jest o 18° mniejszy od drugiego. Oblicz miary
kątów ostrych
b) Oblicz obwód trójkąta ABC z dokładnością do 0,1 cm. Skorzystaj z odpowiednich danych
umieszczonych na rysunku poniżej i w tabeli.
32°
70°
sin
0,530
0,940
tg
0,625
2,747
cos
0,848
0,342
c) Wiedząc, że sinα = 0,6 i α (0°, 90°), oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych
kąta α.
d) Sprawdź, czy podane wyrażenie sinα + sinα· tg2α =
tgα
, gdzie α
cos α
(0°, 90°) jest
tożsamością trygonometryczną.
e) Sprawdź, czy dla α ∈ (0°, 90°) podana równość jest tożsamością
 1
1 
−
 = cosα
 cosα ctgα 
trygonometryczną: (1 + sinα )
f) Oblicz wartość tego wyrażenia tg30°·tg40°· tg50°.
g) Oblicz obwód czworokąta ABCD, wykorzystując dane na rysunku poniżej:
h) Oblicz wartość wyrażenia: