Hiperbola, parabola

Geometria analityczna pªaszczyzny - hiperbola
A. Mróz
1. Napisz równanie hiperboli w najprostszej postaci wiedz¡c, »e:
(a) odlegªo±¢ mi¦dzy wierzchoªkami hiperboli równa si¦
(b) dªugo±¢ póªosi rzeczywistej równa si¦
5,
8,
a odlegªo±¢ mi¦dzy jej ogniskami
10;
a wierzchoªki dziel¡ odcinki mi¦dzy ±rodkiem a og-
niskami na poªowy;
(c) dªugo±¢ osi rzeczywistej równa si¦
6
i hiperbola przechodzi przez punkt
(d) hiperbola przechodzi przez dwa punkty
(e) ogniska hiperboli ma j¡ wspóªrz¦dne
√ √
(−5, 2) i (2 5, 2);
F1 = (10, 0), F2 = (−10, 0)
(9, −4);
oraz punkt
√
(12, 3 5)
nale»y
do hiperboli;
(f ) hiperbola ma wspólne ogniska z elips¡
2. Narysuj hiperbol¦
x2
49
3. Dana jest hiperbola
y2
25
−
x2
9
= 1,
y2
16
−
x2
49
+
y2
24
= 1,
a mimo±ród hiperboli jest równy
1, 25.
jej ogniska i asymptoty.
= 1.
Znajd¹:
(a) wspóªrz¦dne ognisk hiperboli;
(b) mimo±ród hiperboli;
(c) równania asymptot i kierownic hiperboli;
(d) równanie hiperboli sprz¦»onej z dan¡ i jej mimo±ród.
4. Wyznacz k¡t mi¦dzy asymptotami hiperboli wiedz¡c, »e:
(a) mimo±ród hiperboli jest równy
2;
(b) odlegªo±¢ mi¦dzy ogniskami jest dwa razy wi¦ksza ni» odlegªo±¢ mi¦dzy kierownicami.
5. Oblicz mimo±ród hiperboli wiedz¡c, »e o± rzeczywista hiperboli jest widoczna z ogniska hiperboli
sprz¦»onej pod k¡tem
60◦ .
6. Dana jest hiperbola równoosiowa
przez punkt
x2 − y 2 = 8.
7. Znajd¹ punkty przeci¦cia hiperboli
(a) x − 5y = 0,
(c) x − y + 5 = 0,
8. Przez punkt
Zna jd¹ hiperbol¦ wspóªogniskow¡ przechodz¡c¡
M = (−5, 3).
(2, −5)
x2
90
−
y2
36
=1
z prostymi
(b) 2x
√ + y − 18 = 0,
(d)
10x − 5y + 15 = 0.
poprowad¹ proste równolegªe do asymptot hiperboli
9. Napisz równanie prostej stycznej do hiperboli
10. Poprowad¹ (o ile to mo»liwe!)
x2
5
−
y2
4
styczne do hiperboli
=1
x2
8
−
w punkcie
y2
9
=1
x2 − 4y 2 = 4.
(5, −4).
przez ka»dy z punktów
(2, 0),
(−4, 3), (5, −1).
11. Do danej hiperboli
x2
15
−
y2
6
=1
poprowad¹ styczn¡
(a) równolegle do prostej
x + y − 7 = 0;
(b) równolegle do prostej
x − 2y = 0;
(c) prostopadle do prostej
x − 2y = 0.
12. Hiperbola jest styczna do prostej
x−y −2 = 0 w punkcie M = (4, 2).
13. Znajd¹ warunek na to, by prosta
Ax + By + C = 0 byªa styczna do hiperboli x2 b2 − y 2 a2 = a2 b2 .
14. Znajd¹ równanie hiperboli znaj¡c równania jej asymptot
cznych
y = ± 12 x
Uªó» równanie tej hiperboli.
i równanie jednej z jej sty-
5x − 6y − 8 = 0.
15. Znajd¹ ±rodek i wielko±¢ osi hiperboli
(a)
9x2 − 25y 2 − 18x − 100y − 316 = 0;
(b)
5x2 − 6y 2 + 10x − 12y − 31 = 0.
2
Geometria analityczna pªaszczyzny - parabola
1. Uªó» równanie paraboli wiedz¡c, »e:
(a) odlegªo±¢ ogniska od wierzchoªka wynosi
(b) ognisko ma wspóªrz¦dne
(5, 0),
3;
a o± rz¦dnych jest kierownic¡;
(c) parabola jest symetryczna wzgl¦dem osi
Ox, przechodzi przez pocz¡tek wspóªrz¦dnych i punkt
M = (1, −4);
(d) parabola jest symetryczna wzgl¦dem osi
Oy ,
ognisko znajduje si¦ w punkcie
(0, 2),
w wierz-
choªek pokrywa si¦ z pocz¡tkiem wspóªrz¦dnych;
(e) parabola jest symetryczna wzgl¦dem osi
Oy , przechodzi przez pocz¡tek wspóªrz¦dnych i punkt
M = (6, −2).
2. Na paraboli
y 2 = 8x
znajd¹ punkt, którego odlegªo±¢ od ogniska wynosi
20.
3. Oblicz dªugo±¢ boku i pole trójk¡ta równobocznego wpisanego w parabol¦
4. Przez ognisko paraboli
y 2 = 2px
y 2 = 2px.
poprowadzono ci¦ciw¦ prostopadª¡ do osi paraboli.
Oblicz
dªugo±¢ tej ci¦ciwy.
5. Przez punkt
A = (2, 1)
poprowad¹ ci¦ciw¦ paraboli
y 2 = 4x,
która dzieli si¦ w tym punkcie na
poªowy.
y 2 = 8x
6. Znajd¹ styczne do paraboli
7. Dana jest parabola
y 2 = 4x
wychodz¡ce z punktu
i dana do niej styczna
P = (5, −7).
x + 3y + 9 = 0.
Znajd¹ punkt styczno±ci nie
rozwi¡zuj¡c ukªadu równa« tych krzywych.
8. Znajd¹ warunek na to, by prosta
9. Dana jest parabola
y 2 = 12x.
(a) równolegª¡ do prostej
byªa styczna do paraboli
Poprowad¹ do niej styczn¡:
2x + y − 7 = 0;
4x − 2y + 9 = 0
k¡t
45◦ .
10. Znajd¹ najkrótsz¡ odlegªo±¢ punktów paraboli
11. Znajd¹ wspólne styczne elipsy
12. W parabol¦
y 2 = 2px.
3x − y + 5 = 0;
(b) prostopadª¡ do prostej
(c) tworz¡c¡ z prost¡
y = kx + b
x2
45
+
y2
20
=1
y 2 = 12x wpisano tró jk¡t tak,
y 2 = 64x
i paraboli
od prostej
y2 =
4x + 3y + 46 = 0.
20
3 x.
»e rz¦dne jego wierzchoªków to odpowiednio
6, 2 i −3.
W jakim stosunku pozostaje pole tego trójk¡ta do pola trójk¡ta utworzonego przez styczne do
paraboli w tych punktach (tj. trójk¡ta opisanego na paraboli)?
13. Uªó» równanie paraboli wiedz¡c, »e je wierzchoªek ma wspóªrz¦dne
(a, b),
parametr równa si¦
p,
a kierunek osi symetrii jest zgodny z
(a)
Ox;
(b)
−Ox;
(c)
Oy ;
(d)
−Oy .
14. Wyznacz wspóªrz¦dne wierzchoªka, parametr i kierunek osi paraboli zadanej równaniem:
(a) y 2 − 10x − 2y − 19 = 0; (b) y 2 − 6x + 14y + 49 = 0; (c) x2 − 6x − 4y + 29 = 0;
(d) y = Ax2 + Bx + C;
(e)
y = x2 − 8x + 15;
Ox
2b.
15. Uªó» równanie paraboli symetrycznej wzgl¦dem osi
odcinek dªugo±ci
a,
a na osi
Oy
odcinek dªugo±ci
(f) y = x2 + 6x.
i wyznaczaj¡cej na dodatniej cz¦±ci
16. Strumie« wody wyrzucany przez fontann¦ przybiera ksztaªt paraboli z parametrem
Wyznacz wysoko±¢ strumienia, który wpada do basenu w odlegªo±ci
2m
Ox
p = 0, 1.
od punktu wylotu.
17. Znajd¹ miejsce geometryczne ±rodków ci¦ciw paraboli przechodz¡cych przez jej ognisko.