1. Napisać równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek prostej 1

D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\03 Geometria analityczna\015.DOC
2004-wrz-14, 22:12
7. Rozwiązać zadania:
1. Napisać równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek prostej
współrzędnych ( a, b > 0 ).
x y
+ = 1 wycięty osiami
a b
2. Wyznaczyć odległość środka okręgu x 2 + y 2 + ay = 0 od prostej y = 2(a − x ) .
3. Przez środek okręgu x 2 + y 2 = 2ax poprowadzono prostą równoległą do prostej x + 2 y = 0 i
przecinającą okrąg w punktach A i B. Wyznaczyć pole powierzchni trójkąta AOB .
4. Dane są punkty A i B. Pokazać, że zbiór punktów odległych k razy więcej od punktu A niż od
punktu B jest prostą dla k = 1 i okręgiem dla k ≠ 1 .
5. Odcinek AB podzielono punktem O na części AO = a i OB = b . Pokazać, że zbiór punktów, z
których odcinki AO i OB widać pod takim samym kątem jest prostą dla a = b i okręgiem dla a ≠ b .
6. Opisać trajektorię ruchu punktu M ( x, y ) , którego suma kwadratów odległości od prostych y = kx i
y = −kx wynosi w każdej chwili a 2 (a - stała).
7. Elipsa, której osiami symetrii jest oś OX i prosta x = −5 , przechodzi przez punkty (− 1;1,8) oraz
(− 5;3) . Napisać równanie tej elipsy i narysować ją.
8. Wyznaczyć pole trójkąta równobocznego wpisanego w hiperbolę x 2 − y 2 = a .
9. Wyznaczyć kąt między przekątnymi prostokąta, którego wierzchołki są punktami przecięcia elipsy
x 2 + 3 y 2 = 122 i hiperboli x 2 − 3 y 2 = 62 .
10. Okrąg o środku (0;0) przechodzi przez ogniska hiperboli x 2 − y 2 = a 2 . Wyznaczyć punkty
przecięcia okręgu z asymptotami hiperboli.
11. Narysować hiperbole xy = 4 i x 2 − y 2 = 6 wyznaczyć pole trójkąta ABC , gdzie A i B są
wierzchołkami przecinających się gałęzi hiperbol, zaś C jest punktem przecięcia dwóch pozostałych
gałęzi.
12. Pokazać, że iloczyn odległości dowolnego punktu hiperboli od jej asymptot jest liczbą stałą, równą
.
a 2b2
c2
x2
i prostopadłej do prostej
8
odcinającą na osiach układu współrzędnych odcinki o długościach a = b = 2 . Oblicz długość odcinka
łączącego ognisko paraboli z punktem przecięcia się prostych.
13. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez ognisko paraboli y = −
14. Narysować elipsę x 2 + 4 y 2 = 4 i parabolę x 2 = 6 y i znaleźć powierzchnię trapezu, który za
podstawy ma oś wielką elipsy oraz odcinek łączący punkty wspólne elipsy i paraboli.
15. Znaleźć równanie okręgu o środku w ognisku paraboli y 2 = 2 px i takiego, że punkty wspólne
okręgu i paraboli są jednakowo odległe od ogniska i od wierzchołka paraboli.
16. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez ognisko paraboli y = x 2 + 2ax + a 2 + b2 i
prostopadłej do prostej odcinającą na osiach układu współrzędnych odcinki o długościach a i b . Oblicz
długość odcinka łączącego ognisko paraboli z punktem przecięcia się prostych.
17. Narysować parabole 4 y = 12 − x 2 i
wspólnymi.
4 x = 12 − y 2 oraz znaleźć odległość pomiędzy i punktami
-7-
D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\03 Geometria analityczna\015.DOC
2004-wrz-14, 22:12
18. Znaleźć powierzchnię czworokąta z wierzchołkami w punktach przecięcia się paraboli y = 4 − x 2
z osią OX i z prostą y = 3x .
19. Napisać równanie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych i przez punkty
x2
przecięcia się paraboli y =
− 2x + a .
a
20. Dana jest elipsa x 2 + 4 y 2 = 16 . Z jej wierzchołka A(4;0) poprowadzono wszystkie możliwe
cięciwy. Napisać równanie krzywej, na której leżą środki tych cięciw. Narysować elipsę oraz tę krzywą.
21. Określić trajektorię punktu M ( x, y ) poruszającego się tak, że różnica kwadratów jego odległości
od dwusiecznych kątów układu współrzędnych jest stała i równa 8.
22. Napisać równanie położenia punktów, które są środkami okręgów przechodzących przez punkt
A(3;4) i stycznych do osi OX .
23. Poprzez wydzielenie pełnych kwadratów i zmianę układu współrzędnych uprościć równanie linii
x 2 − y 2 − 4 x − 6 y = 0 . Narysować tę krzywą wraz z osiami starego i nowego układu współrzędnych.
24. Napisać równanie krzywej, na której leżą środki odcinków łączących prawe ognisko hiperboli
x
y2
−
= 1 z jej punktami.
9 16
2
25. Napisać równanie elipsy przechodzącej przez punkt A(a;−a ) , jeśli jej ogniska znajdują się w
punktach F (a; a ) i F1 ( −a;−a ) . Doprowadzić równanie tej elipsy do postaci kanonicznej obracając układ
współrzędnych o 45°
-8-