+ X

Transkrypt

+ X

Stany nieustalone w SEE
wykład VII
Stabilność SEE – podstawy matematyczne
Désiré Dauphin Rasolomampionona,
prof. PW
Stabilność systemu elektroenergetycznego
Stabilność jego stanów elektromechanicznych, a więc stabilność układów równań
różniczkowych, opisujących te stany, przy uwzględnieniu warunków początkowych.
Układ równań różniczkowych, a więc model matematyczny stanu elektromechanicznego
jest stacjonarny. Sprowadzając do postaci normalnej można go zapisać przy pomocy
następujących zależności:
o
x = F(x)
gdzie
o
x=
d
x
dt
przy czym
x - wektor stanu
F(x) - wektor funkcji F(x) = [ F1(x1, ... , xN), ... , FN(x1, ... , xN) ]T
N - liczba zmiennych niezależnych
x0 - wektor warunków początkowych
Jeżeli wektor warunków początkowych oznaczyć
x( t = 0 ) = x0 = [ x01 ...x0N ]T(**)
Stabilność systemu elektroenergetycznego
o
to wektor rozwiązań, a więc funkcji czasu spełniających układ równań x = F(x) i warunki
początkowe (**), ma postać
x( t, x0 ) = [ x1( t, x0 ) ... xN( t, x0 )]T
Z technicznego punktu widzenia stabilność oznacza, że po wystąpieniu zakłócenia układ
powraca do stanu równowagi, w którym są zachowane pewne cechy świadczące o
poprawności jego działania.
W przypadku systemu elektroenergetycznego można wyróżnić trzy takie cechy:
a) zachowanie synchronizmu generatorów
b) utrzymanie częstotliwości w dopuszczalnych granicach
c) utrzymanie napięć w dopuszczalnych granicach.
Jeżeli po wystąpieniu zakłócenia system zachowuje wymienione cechy, to możemy
powiedzieć, że jest on stabilny.
x( t = 0 ) = x0 = [ x01 ...x0N ]T(**)
Rodzaje stabilności oraz sposoby jej utraty
System elektroenergetyczny jest układem nieliniowym.
Moce czynne generatorów, występujące w równaniach ruchu, zależą nieliniowo od kątów
położenia wirników
Stabilność systemu elektroenergetycznego zależy od
(1) stanu układu (warunków początkowych) oraz
(2) wielkości zakłócenia.
System jest stabilny lokalnie, jeżeli jest stabilny przy małych zakłóceniach.
Przy działaniu małych zakłóceń system może utracić synchronizm w sposób aperiodyczny
oscylacyjny.
Niestabilność oscylacyjna jest powodowana przez ujemne momenty tłumiące (kołysania
spontaniczne).
Jedną z przyczyn powstania ujemnych momentów tłumiących przy dużych
obciążeniach generatorów mogą być regulatory napięcia generatorów.
Utrata stabilności lokalnej przez lawinowe obniżenie się napięcia w węźle odbiorczym może
nastąpić przy zmianie stanu systemu prowadzącej do zbliżenia się obciążenia węzła, do
obciążenia krytycznego.
Utrata stabilności lokalnej przez samowzbudzenie generatorów może mieć miejsce w
pewnych warunkach przy pracy na obciążenie pojemnościowe.
Przy działaniu dużych zakłóceń system może utracić synchronizm zarówno w sposób
aperiodyczny jak i oscylacyjny.
Przyczyną tego rodzaju utraty stabilności globalnej, może być
(1) zbyt duża energia kinetyczna mas wirników,
(2) awaryjne wyłączanie elementu sieci, czy też zespołu wytwórczego.
Podstawowe zagadnienie dziedziny zajmującej się stabilnością systemu
elektroenergetycznego = zagadnienia związane z zachowaniem synchronizmu.
Ten rodzaj stabilności lokalnej nazywany jest potocznie równowagą statyczną, a
stabilności globalnej odpowiednio równowagą dynamiczną.
Lawinę napięcia oraz samo wzbudzanie generatorów najczęściej uznaje się za
zagadnienie specjalne, przy rozważaniu równowagi statycznej.
Lawina częstotliwości ściśle wiąże się z regulacją mocy i częstotliwości w systemie, dlatego
uznawana jest za odrębną dziedzinę.
Oscylacje lokalne i międzyobszarowe w systemie elektroenergetycznym.
Oscylacje związane z małymi zakłóceniami można pogrupować w zależności od ich źródła
na:
•
oscylacje lokalne i międzyobszarowe związane z kołysaniami elektromechanicznymi
wirników generatorów;
•
oscylacje regulatorowe powstające w wyniku stosowania regulatorów wzbudzenia,
regulatorów prędkości, stabilizatorów systemowych, kompensatorów SVC.
Tego typu oscylacje mogą mieć znaczenie praktyczne tylko przy wadliwym
zaprojektowaniu lub niewłaściwym nastawieniu parametrów regulatorów;
•
oscylacje torsyjne związane z obracającym się układem wirnik - wał turbiny. taki
układ posiada szereg częstotliwości rezonansowych, leżących na ogół w zakresie
powyżej 15Hz (czasem są to jednak częstotliwości znacznie niższe).
Oscylacje lokalne i międzyobszarowe w systemie elektroenergetycznym.
Podstawowe znaczenie mają obecnie oscylacje elektromechaniczne,
mogą znacznie ograniczyć zakres stabilnego przesyłu mocy w systemie energetycznym.
W ciągu ostatnich lat ograniczenia te stały się ostrzejsze z następujących powodów:
•
w systemach energetycznych instalowane są nowoczesne jednostki wytwórcze
o dużych mocach znamionowych generatory synchroniczne charakteryzują
się większymi stosunkowymi wartościami reaktancji synchronicznych;
•
coraz powszechniej stosuje się statyczne układy regulacji wzbudzenia o dużym
wzmocnieniu dynamicznym i pułapie.
Układy te są wygodniejsze w eksploatacji, zwiększają moment synchroniczny,
poprawiają stabilność w stanach przejściowych po zakłóceniach, mają jednak
niekorzystny wpływ na moment tłumiący generatora;
•
wzrost przesyłowej mocy w coraz większych systemach energetycznych;
•
oszczędniejsze projektowanie sieci przesyłowych.
Oscylacje lokalne i globalne
Oscylacje lokalne mają charakter miejscowy, ograniczony do bliskiego otoczenia
generatora i elektrowni.
Częstotliwość oscylacji lokalnych mieści się na ogół w zakresie 0.7÷2.5Hz.
Oscylacje lokalne powstają w wyniku wzajemnych kołysań
•
bliskich sobie generatorów,
•
mocno powiązanych grup generatorów,
•
mocno powiązanych grup generatorów względem reszty systemu, który stanowi
względem nich sieć sztywną.
Niedostatecznie wytłumione oscylacje ograniczają zakres przesyłu mocy.
Ograniczenia te dotyczą zarówno obszaru pracy generatora we współrzędnych
{P,Q,U} jak i wartości reaktancji zewnętrznej Xe widzianej z zacisków
generatora.
Ograniczenia te są szczególnie ostre dla nowoczesnych generatorów dużej mocy,
które charakteryzują się wysokimi wartościami reaktancji synchronicznych.
Szybkie statyczne regulatory wzbudzenia dodatkowo pogarszają tłumienie oscylacji
lokalnych.
Oscylacje lokalne i globalne
Oscylacje międzyobszarowe powstają w przypadku, gdy grupa mocno związanych
ze sobą generatorów oscyluje względem innej odległej grupy również mocno
związanych generatorów.
Częstotliwość oscylacji międzyobszarowych zazwyczaj mieści się w przedziale
0.1÷0.8 Hz.
W tłumieniu ich dużą rolę odgrywają odbiory i ich charakter. .
Wpływ charakteru odbiorów zwiększa się wyraźnie wraz ze zmniejszeniem
częstotliwości oscylacji.
Ograniczenia te są szczególnie ostre dla nowoczesnych generatorów dużej mocy,
które charakteryzują się wysokimi wartościami reaktancji synchronicznych.
Szybkie statyczne regulatory wzbudzenia dodatkowo pogarszają tłumienie oscylacji
lokalnych.
Sposoby badania stabilności systemu - metoda Lapunowa.
Z uwagi na zjawiska elektromechaniczne system elektroenergetyczny jest układem
nieliniowym.
Wynika tu przede wszystkim z faktu, że moce czynne generatorów, występujące w
równaniach ruchu, zależą w sposób nieliniowy (funkcja sinus) od kątów
położenia wirników.
Warunkiem koniecznym stabilności rozwiązań jest ich ograniczoność to znaczy dla
każdego
t∈(0,∞)
istnieje
||x (t , x0 )|| < m
przy czym:
|| . ||- norma wektora rozwiązań
m- liczba rzeczywista dodatnia
W technice, ograniczoność rozwiązań może nie być wystarczającą oznaką stabilności i
ustala się dodatkowe warunki. Najbardziej pożądana jest tzw. stabilność
asymptotyczna
x( t, x0 ) xrxr = x: F(x) =0
gdzie
xr - podstawowe rozwiązanie układu równań nieróżniczkowych F(x) = 0,o w
mechanice nazywane punktem równowagi (rozwiązanie trywialne x = 0 )
Podstawy matematyczne
badania stabilności lokalnej daje pierwsza metoda
∧
Lapunowa. Niech x będzie punktem równowagi układu nieliniowego
o
x = F(x)
∧
czyli punktem, w którym F( x ) = 0 . Rozwijając funkcję F(x) w szereg Taylora w
otoczeniu punktu równowagi otrzymamy
o
x = Ax + R(x)
przy czym:
∧
 ∂F 
A =   jest macierzą Jacobiego obliczoną w punkcie x
 ∂x 
R(x)- jest nieliniową częścią rozwinięcia funkcji.
Pomijając część nieliniową możemy zapisać równanie wyjściowe w następującej
postaci
o
x = Ax
którą nazywamy przybliżeniem liniowym równania nieliniowego.
W odniesieniu do układu nieliniowego i jego przybliżenia liniowego słuszne są
następujące twierdzenia I metody Lapunowa:
Tw. Układ nieliniowy jest stabilny asymptotycznie lokalnie (w otoczeniu punktu
równowagi ), jeżeli jego przybliżenie liniowe jest stabilne asymptotycznie. Jeżeli
przybliżenie jest niestabilne, to układ nieliniowy jest również niestabilny. Jeżeli
przybliżenie liniowe jest stabilne, ale nie asymptotycznie, to o zachowaniu się
układu nieliniowego nie można wnioskować na podstawie jego przybliżenia
liniowego.
O stabilności układu liniowego decydują wartości własne macierzy A.
Niech λi, wi będą odpowiednio wartością i wektorem własnym macierzy A.
o
Można wykazać, że rozwiązanie równania x = Ax przyjmuje postać
n
xi (t ) = ∑ wi e λi t z j 0
j =1
Gdzie zj0 jest zmienną pomocniczą
n
Ze wzoru
xi (t ) = ∑ wi e λi t z j 0 wynika, że
j =1
jeśli którakolwiek wartość własna λi ma dodatnią część rzeczywistą, to zawsze
istnieje taka zmienna xi(t), która dąży do nieskończoności w miarę upływu
czasu, co jest oznaką niestabilności.
Wynika stąd następujące twierdzenie:
Tw. Układ liniowy stacjonarny opisany równaniem =Ax jest stabilny wtedy i tylko
wtedy, kiedy wszystkie wartości własne macierzy A mają niedodatnie części
rzeczywiste. Układ ten jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, kiedy
wszystkie wartości własne mają ujemne części rzeczywiste. Stabilność układów
liniowych nie zależy od warunków początkowych x0 = x(t=0), lecz tylko od
wartości własnych macierzy A.
Stany nieustalone w SEE
wykład VIII
Małe kołysania wirników
Désiré Dauphin Rasolomampionona,
prof. PW
Badanie stabilności lokalnej układu generator-sieć sztywna:
Małe kołysania wirników generatorów
Małymi kołysaniami nazywamy niewielkie zmiany kąta położenia wirnika generatora przy
prędkościach bliskich prędkości synchronicznej.
Ruch taki spowodowany regularnie pojawiającymi się zakłóceniami nazywamy
kołysaniami wymuszonymi.
Wymuszenia mogą być mechaniczne (np. pulsacje momentu mechanicznego w przypadku
napędzania wirników silnikami spalinowymi Diesla) lub
elektryczne (np. duże odbiory niespokojne lub praca asynchroniczna innych generatorów
w systemie wymuszająca okresowe. zmiany prądów i napięć).
W przypadku, gdy zakłócenie pojawia się i znika wymuszony przez nie ruch nazywamy
kołysaniami swobodnymi.
Związki między wielkościami elektrycznymi można wyprowadzić korzystając z wykresu
wektorowego oraz schematów zastępczych generatora.
Odpowiednią ilustrację podano na rysunku. Do napięcia sieci sztywnej należy dodać
jeszcze straty napięcia na impedancji układu przesyłowego.
Układ generator-sieć sztywna: a) wykres prądów i napięć;
b) kątowa charakterystyka mocy przy R=0 oraz Eq=const
Do napięcia sieci sztywnej należy dodać jeszcze straty napięcia na impedancji układu
przesyłowego.
Aby nie zaciemniać rysunku straty napięcia obliczono łącznie na reaktancjach zastępczych
układu xd = Xd + X T + Xs oraz xQ = XQ + XT + XS .
Z drugiego prawa Kirchhoffa dla schematów zastępczych układu wynikają zależności,
które można zapisać w formie uporządkowanej w następujący sposób:
U sd   0   R
U  =  E  − 
 sq   q   xd
− xq   I sd 
 
R   I sq 
lub w skrócie Udq =Edq-ZdqIdq. Rozwiązując ten układ równań względem prądów,
otrzymuje się
 I sd  1  R
I  = 2 
 sq  Z  − xd
− I sd 
xq  


R   Eq − I sq 
przy czym Z2 = det Zdq = R2+xdxq. Wzór na moc czynną Ps dostarczaną przez układ do
sieci możemy teraz przekształcić w następujący sposób:
PS = U S cos ϕ = U S sin (δ + β )
(*)
oraz ostatecznie po uporządkowaniu
PS =
E qU S R
U S2 R
1 U S2 xd − xq
sin ϕ +
sin 2ϕ +
cosϕ −
Z
2 Z
Z
Z Z
Z Z
E qU S xq
Z
(**)
Przy zadanych wartościach Eq, Us moc przesyłana do systemu zależy tylko od kąta
położenia wirnika generatora względem napięcia sieci sztywnej.
Z tego względu kąt ten nazywany jest kątem obciążenia.
Drugi składnik wzoru (**) pojawia się tylko w przypadku generatorów z biegunami
wydatnymi. Odpowiadającą mu moc nazywa się mocą reluktancyjną.
O wartości mocy reluktancyjnej decyduje niesymetria magnetyczna generatora oraz
impedancja układu przesyłowego.
Wobec czego wzór (**) można sprowadzić do następującej postaci:
PS =
E qU S
Z
U S2
sin (δ + µ ) +
sin µ
Z
Przy zadanych wartościach Eq, Us jest to sinusoida odpowiednio przesunięta. Przy R = 0
kąt µ = 0 i wtedy (***) jest po prostu sinusoidą.
Moc czynna, którą jest obciążony generator różni się od mocy dostarczanej do sieci o
wartość strat na rezystancji układu przesyłowego. Moc tę można wyrazić
następującym wzorem
E qU S xd
E qU S R
E q2 R
(***)
P=
sin δ −
cos δ +
Z Z
Z Z
Z Z
W przypadku turbogeneratorów lub pominięcia niesymetrii wzór ten upraszcza się do
następującej postaci: ·
P=
E qU S
Z
sin (δ − µ ) +
E
sin µ
Z
(****)
Wykresy funkcji Ps(δ) i P(δ) nazywa sig kątowymi charakterystykami mocy. Mogą one być
wykonane zarówno przy założeniu Eq = const, jak i Eq =var.
Charakterystyki Ps(δ) oraz P(δ) otrzymane przy założeniu Eq = const oznaczone będą
odpowiednio PsEq oraz PEq.
Kołysania przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych (Eq = const).
Jeżeli zakłada się, że zmiany strumieni magnetycznych w generatorze przy kołysaniach
wirnika są na tyle małe, że:
można pominąć towarzyszące im zjawiska elektromagnetyczne i ,przyjąć Eq = const.
Przy tym założeniu moc czynna generatora zależy tylko od kąta położenia wirnika
względem napięcia sieci sztywnej.
Zależność tę określa funkcja PEq wynikająca ze wzoru (****) przy Eq = const.
W szerszym zakresie kątów (ze względu na funkcje trygonometryczne kąta) jest to
zależność silnie nieliniowa.
Z punktu widzenia małych kołysań w otoczeniu danego punktu równowagi zależność tę
można zastąpić przybliżeniem liniowym (Rysunek).
Przy małym przyroście kąta ∆δ przyrost funkcji
PEq(δ) można zastąpić różniczką funkcji
otrzymując
∆P = dP = H∆δ
gdzie
Linearyzacja kątowej charakterystyki mocy w
otoczeniu wybranego punktu równowagi
H=
dP
dδ
jest pochodną funkcji PEq(δ) w danym punkcie
linearyzacji.
Korzystając ze wzoru (****) otrzymuje się następujący wzór na tę pochodną:
H=
dP
dδ
=
Eq = const
E qU S
Z
(
cos δˆ − µ
)
przy czym δˆ - punkt linearyzacji (tutaj punkt równowagi). Powyższe równanie można
teraz zapisać następująco:
d 2 ∆δ d∆δ
+
+ h∆δ = 0
2
dt
dt
gdzie: d = D/M oraz h = H/M. Jest to równanie
różniczkowe
drugiego
rzędu
liniowe
niezupełne.
Ogólnie, rozwiązania tego równania poszukuje się w postaci funkcji
wykładniczej ∆ δ = Ae λ t czyli pochodnych
d∆δ
= 0 = Aλe λt
dt
d 2 ∆δ
2 λt
=
A
λ
e
2
dt
d 2 ∆δ d∆δ
+
+ h∆δ = 0
Po podstawieniu tych funkcji do równania różniczkowego
dt 2
dt
(*)
otrzymuje się równanie algebraiczne λ2+dλ+h=0
nazywane równaniem charakterystycznym.
Rozwiązania tego równania są nazywane wartościami
własnymi układu (λ1,2). Określają one warunki,
przy których powyższa funkcja wykładnicza
może
stanowić
rozwiązanie
równania
różniczkowego (*).
− d ± d 2 − 4h
λ1, 2 =
2
W zależności od wartości wyrażenia pod pierwiastkiem, λ1 i λ2 określające rozwiązania
równania różniczkowego mogą być rzeczywiste lub zespolone.
Przy pominięciu zjawisk elektromagnetycznych moment tłumiący pochodzi tylko od sił
mechanicznych i jest zawsze dodatni (d > 0)
Przy tym założeniu analizę rozwiązania równania (*)
można podzielić na dwa przypadki.
Przy małych kątach obciążenia wartości pochodnych
d∆δ
= 0 = Aλeλt
dt
d 2 ∆δ
= Aλ2eλt
2
dt
są duże i jest spełniony warunek d2 < 4h.
− d ± d 2 − 4h
λ1, 2 =
2
(**)
2
−
d
±
d
− 4h
Wyrażenie pod pierwiastkiem we wzorze λ =
1, 2
2
i wartości własne λ1,2 są zespolone postaci
jest wtedy ujemne
λ1, 2 = − d ± j ω
przy czym ω = 4h − d 2

Rozwiązania równania różniczkowego poszukuje się postaci ∆δ (t ) = ∆e − dt cos ωt +


sin ωt 
ω

d
co przy warunkach początkowych ∆δ(0)=∆ oraz
d∆δ(0)/dt=0 prowadzi do rozwiązania
∆δ (t ) = e−dt [A1 cosωt + A2 sinωt ]
z którego wynika, że ruch jest oscylacyjny i przy
dowolnej małej wartości A w miarę upływu czasu
zanika.
Oznacza to oscylacyjny powrót wirnika do położenia
równowagi, czyli stabilność oscylacyjną układu.
W miarę wzrastania kąta obciążenia wartość pochodnych (**)
Można więc oczekiwać, że począwszy od pewnych wartości kąta obciążenia będzie
spełniony warunek d2>4h.
− d ± d 2 − 4h
W tym przypadku wyrażenie pod pierwiastkiem we wzorze λ1, 2 =
2
jest dodatnie i obie wartości własne λ1,2 są rzeczywiste.
Rozwiązania równania różniczkowego poszukujemy w
postaci
∆δ (t ) = A1eλ1t + A2eλ2t
co przy warunkach początkowych ∆δ(0)=∆ oraz
d∆δ(0)/dt = 0 prowadzi do rozwiązania
∆ δ (t ) =
[
∆
λ2 e λ1t − λ1e λ2t
λ1 − λ2
]
2
−
d
±
d
− 4h
Przy dodatkowym założeniu h>0 wartość pierwiastka we wzorze λ1, 2 =
2
jest mniejsza od współczynnika d, co oznacza, że obie wartości własne są ujemne.
W takim przypadku w miarę upływu czasu rozwiązanie ∆δ (t ) =
[
∆
λ2 e λ1t − λ1e λ2t
λ1 − λ2
]
zanika do zera, czyli wirnik powraca do stanu równowagi w sposób
aperiodyczny.
Układ jest stabilny aperiodycznie.
Przy założeniu h<0 wartość pierwiastka we powyższym
wzorze jest większa od współczynnika d, co oznacza
że jedna z wartości własnych jest dodatnia.
W takim przypadku w miarę upływu czasu rozwiązanie
∆δ(t) narasta, czyli wirnik oddala się od punktu
równowagi. Układ jest niestabilny aperiodycznie.
Przy małych wartościach kąta obciążenia stabilność układu jest oscylacyjna, a przy
większych aperiodyczna.
Niestabilność pojawia się dopiero przy H ≤ 0 i jest zawsze aperiodyczna.
Podstawowym wnioskiem z powyższej analizy jest fakt, że przy D > 0 układ generator-sieć
sztywna może pracować przy działających małych zakłóceniach tylko H> 0.
H=
dP
dδ
Pochodną
nazywa się mocą synchronizującą i mówi się, że warunkiem
stabilności układu generator-sieć sztywna jest dodatnia wartość moc
synchronizującej
P −P
Warunek stabilności jest spełniony w zakresie k P = G 0
PG
δ − δ0
kδ = G
δG
k∆ =
H (δ 0 )
H (0)
kątów, 0 ≤ δ < δG oraz mocy czynnej generatora 0 ≤ P < PG Punkt (δG,PG)będący
wierzchołkiem charakterystyki mocy stanowi granicę stabilności.
W danym punkcie pracy (δ0, P0) odległość do granicy stabilności może być określona
jednym z wyżej przedstawionych trzech współczynników nazywanych
współczynnikami zapasu stabilności lokalnej.
W praktyce elektroenergetycy posługują się głównie mocami elektrycznymi i z tego
względu współczynnik kP jest częściej stosowany

+ X

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zapraszamy do udziału w szkoleniu Badanie stabilności

wymagania gmp w badaniach stabilności substancji czynnych i

konstruktor ds. maszyn elektrycznych rr

Szanowni Paostwo, Serdecznie gratuluję otrzymania

dr Dorota Rozmus, Badanie stabilności

badania stabilności - zgodność z wymaganiami gmp w

uzgodniony komunikat państw członkowskich strefy euro, 30

Znaczenie badań stabilności w całym cyklu życia

Decyzja Rady Europejskiej z dnia 25 marca 2011 r. w