funkcje kwadratowe

www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
F UNKCJE KWADRATOWE
PARAMETRY
1
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 1
Wyznacz wzór funkcji f ( x ) = 2x2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac,
˛ że jej miejsca zerowe sa˛ rozwiaza˛
niami równania | x − 3| = 5.
Z ADANIE 2
Dana jest funkcja kwadratowa f ( x ) = −9( x − 2a )2 + 4
a) Dla a = 2 wyznacz postać iloczynowa˛ tej funkcji.
b) Dla a = 0 wyznacz te argumenty, dla których funkcja osiaga
˛ wartości ujemne.
c) Wyznacz a tak, aby osia˛ symetrii wykresu funkcji była prosta o równaniu x = 6.
Z ADANIE 3
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej g jest przedział (−∞, 5i, a zbiorem rozwiaza
˛ ń nierówności g( x ) > 0
jest przedział (2, 8). Wyznacz wzór funkcji g.
Z ADANIE 4
Napisz wzór i narysuj wykres funkcji y = g(m), która każdej liczbie rzeczywistej m przyporzadkowuje
˛
najmniejsza˛ wartość funkcji kwadratowej f ( x ) = − x2 + (m2 − 4) x + 2 w przedziale h−1, 1i.
Z ADANIE 5
Znajdź taka˛ wartość parametru m, aby najwi˛eksza wartość funkcji f ( x ) = − x2 + mx + m była najmniejsza z
możliwych.
Z ADANIE 6
Dany jest trójmian kwadratowy f ( x ) = ax2 + bx + c.
a) Dla a = 2, b = 4, c = −5 wyznacz najwi˛eksza˛ i najmniejsza˛ wartość tego trójmianu w przedziale h−3, 2i.
b) Wyznacz wzór trójmianu w postaci iloczynowej, jeśli wiadomo, że ma on miejsca zerowe x1 = −3,
x2 = 4, a do jego wykresu należy punkt A = (2, −20).
Z ADANIE 7
Funkcja kwadratowa f przyjmuje najwi˛eksza˛ wartość równa˛ 3 15 , a zbiorem rozwiaza
˛ ń nierówności f ( x ) > 0
jest przedział (−5, 3). Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej.
Z ADANIE 8
Dana jest funkcja F ( x ) = ax2 + bx + 5. Wyznacz a i b wiedzac,
˛ że F ( x + 1) − F ( x ) = 8x + 3.
Z ADANIE 9
Dane sa˛ dwie funkcje kwadratowe f ( x ) = x2 + bx + 1 oraz g( x ) = bx2 + cx − 4, gdzie b 6= 0. Wyznacz
wszystkie wartości parametrów b i c tak, aby funkcja f miała jedno miejsce zerowe i jednocześnie funkcja g
przyjmowała wartości ujemne dla każdego x ∈ R.
2
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 10
Funkcja f określona wzorem f ( x ) = mx2 + mx − 1. Wyznacz te wartości parametru m, dla których:
a) funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne,
b) zbiorem wartości funkcji f jest przedział (−∞; 0i.
Z ADANIE 11
Funkcj˛e kwadratowa˛ f można opisać wzorem majacym
˛
postać f ( x ) = 2x2 + 4x + m.
a) Wyznacz warunek, dla którego funkcja f ma dwa różne pierwiastki x1 , x2 , a nast˛epnie oblicz x1 + x2 .
b) Wiedzac
˛ dodatkowo, że x1 − x2 = 4, oblicz m. Dla wyznaczonej liczby m naszkicuj wykres funkcji f w
układzie współrz˛ednych, a nast˛epnie rozwia˛ż równanie f ( x − 3) = −6.
y
+1
-5
-1
+1
+5
x
-1
-5
-10
Z ADANIE 12
Funkcja y = (m + 1) x2 − (2m + 4) x − 7 jest malejaca
˛ w zbiorze (−∞; 4) i rosnaca
˛ w zbiorze (4; +∞). Wyznacz
parametr m.
Z ADANIE 13
Dana jest funkcja f ( x ) = ( p − 3) x2 + 2x − 1. Wyznacz te wartości parametru p, dla których:
a) najwi˛eksza wartość funkcji f jest liczba˛ ujemna,˛
b) najmniejsza wartość funkcji f jest mniejsza od -2.
Z ADANIE 14
Określ liczb˛e pierwiastków równania (m + 1) x2 + (m + 1) x + 1 = 0 w zależności od wartości parametru m, a
nast˛epnie naszkicuj wykres funkcji:


 x1 + x2 gdy dane równanie ma dwa pierwiastki x1 i x2 ,
f (m) = 2x0
gdy dane równanie ma jeden pierwiastek x0 ,


3−m
gdy dane równanie nie ma pierwiastków.
3
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 15
Dla jakich wartości parametru m funkcja f ( x ) = (m − 4) x2 − 4x + m − 3 ma dwa miejsca zerowe, z których
jedno jest mniejsze od 1, a drugie wi˛eksze od 1?
Z ADANIE 16
Naszkicuj wykres funkcji, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporzadkowuje
˛
liczb˛e pierwiastków równania
(m2 + 5m − 6) x2 + (2 − 2m) x + 3 = 0.
Z ADANIE 17
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x2 + mx − 16 = 0 jest równa -4?
Z ADANIE 18
Dla jakich wartości parametru k równanie x2 − 2x −
rych suma kwadratów jest nie mniejsza od 3?
k −5
k +3
= 0 ma dwa pierwiastki jednakowych znaków, któ-
Z ADANIE 19
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x2 − 4mx − m3 + 6m2 + m − 2 = 0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 , x2 takie, że ( x1 − x2 )2 < 8(m + 1).
Z ADANIE 20
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 − (m − 4) x + m2 − 4m = 0 ma dwa różne
pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od 2m3 − 3.
Z ADANIE 21
Dane jest równanie x2 + bx + c = 0 z niewiadoma˛ x. Wyznacz wartości b i c tak, by były one rozwiazaniami
˛
danego równania.
Z ADANIE 22
Wyznacz dziedzin˛e i naszkicuj wykres funkcji f (m) = x12 + x22 , gdzie x1 i x2 sa˛ różnymi pierwiastkami równania x2 − mx + m2 − 2m + 1 = 0.
Z ADANIE 23
Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie x2 + mx + m = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że
ich iloczyn jest mniejszy od 6.
4
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 24
Dla jakich wartości parametru m każdy z dwóch różnych pierwiastków równania x2 + mx + 4 = 0 jest mniejszy
od 4?
Z ADANIE 25
Dla jakich wartości parametru m równanie (m − 1) x2 − 2mx + m = 0 posiada 2 różne rozwiazania?
˛
Z ADANIE 26
Dla jakich wartości parametru m równanie x2 − mx + m2 − 2m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste,
których suma jest o jeden wi˛eksza od ich iloczynu?
Z ADANIE 27
Dla jakich wartości parametru m suma pierwiastków równania x2 − 2m( x − 1) − 1 = 0 jest równa sumie
kwadratów tych pierwiastków?
Z ADANIE 28
Dla jakich wartości parametru m równanie mx2 − 6x − 1 = 0 ma co najmniej jedno rozwiazanie?
˛
Z ADANIE 29
Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie x2 + mx + m = 0 ma takie dwa różne pierwiastki, że
suma ich kwadratów jest mniejsza od 15.
Z ADANIE 30
Dla jakich wartości parametru m liczba 1 zawiera si˛e mi˛edzy różnymi pierwiastkami równania (m − 5) x2 −
4mx + m − 2 = 0?
Z ADANIE 31
Funkcja kwadratowa f ( x ) = ax2 + bx + 4, osiaga
˛ wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ (−∞, −3) ∪ (1,
+ ∞ ).
a) Wyznacz wartości współczynników a i b.
b) Napisz postać kanoniczna˛ funkcji f .
c) Podaj wzór funkcji kwadratowej g, której wykres otrzymamy przesuwajac
˛ wykres funkcji f o wektor
→
u = [2, − 10
]
.
3
d) Wyznacz te argumenty x, dla których f ( x ) > 4.
5