elementy logiki i teorii mnogości - e-WMP
Transkrypt
elementy logiki i teorii mnogości - e-WMP
ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI ZESTAW ZADAŃ NR 6 1. Rozważmy zbiór X = {1, 3, 5, 10, 30, 45, 60} uporządkowany częściowo przez relację podzielności. a) b) c) d) Narysuj diagram Hassego zbioru X. Wyznacz elementy charakterystyczne. Wyznacz, o ile istnieją, kresy zbioru {3, 5} ⊂ X Wyznacz maksymalne łańcuchy i antyłańcuchy w X. 2. Rozważmy zbiór R2 , częściowo uporządkowany przez standardowy porządek produktowy. a) Narysuj zbiór elementów porównywalnych z (2, −3). b) Sprawdź dla jakich parametrów a i b prosta y = ax + b jest łańcuchem w tym zbiorze częściowo uporządkowanym. c) Niech A = {(x, y) ∈ [−1, 1]2 : y 2|x| − 1}. Wyznacz kres górny i dolny zbioru A oraz elementy maksymalne i minimalne w A. Czy w zbiorze A istnieje element najmniejszy bądź największy? 3. Sprawdź czy relacja ∼ zdefiniowana na zbiorze N następująco: x∼y ⇐⇒ 3|x − y jest relacją równoważności? Jeśli tak, to wyznacz jej klasy abstrakcji. 4. Sprawdź czy relacja ∼ zdefiniowana na zbiorze B = {x ∈ Z : 0 < |x| ¬ 5} następująco: x∼y ⇐⇒ x·y >0 jest relacją równoważności? Jeśli tak, to wyznacz jej klasy abstrakcji i zbiór ilorazowy. 5. Rozważmy relacje R i S na zbiorze A = {x ∈ N : x ¬ 10} zdefiniowane następująco: xRy ⇔ 5|(x2 − y 2 ), xS y ⇔ xy 6= 8. a) Uzasadnij, że R jest, a S nie jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć A/R. c) Czy R ∩ S jest relacją równoważności? 6. Rozważmy relacje R i S na zbiorze A = {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} zdefiniowane następująco: (n, m)R(k, l) ⇔ min(n, m) = min(k, l), (n, m)S(k, l) ⇔ n = k. a) Uzasadnij, że relacja R−1 jest relacja równoważności. b) Uzasadnij, że relacja R ∪ S nie jest relacja równoważności. c) Wyznaczyć {1, 2, 3, 4}2 /R 7. Znajdź wszystkie relacje równoważności w zbiorze {1, 2, 3, 4}. 8. Znajdź liczbę wszystkich relacji równoważności w danym zbiorze n−elementowym, gdzie n > 0 mających dokładnie a) dwie klasy abstrakcji. b) n − 1 klas abstrakcji. 1