Analiza - Ciągi i szeregi funkcyjne Ciągi funkcyjne Zadanie 1

Analiza - Ciągi i szeregi funkcyjne
Ciągi funkcyjne
Zadanie 1. Wyznaczyć obszary zbieżności punktowej i funkcje graniczne następujących ciągów funk1
, (c) hn : R → R,
cyjnych: (a) fn : R → R, fn (x) = xn , (b) gn : (0, ∞) → R, gn (x) =
1 + nx
2
2
hn (x) = 2n2 xe−n x . Czy zbieżność tych ciągów jest jednostajna na ich obszarach zbieżności punktowej? Określić na jakich zbiorach zachodzi zbieżność jednostajna.
Zadanie 2. Wyznaczyć obszar zbieżności punktowej i funkcję graniczną ciągu funkcyjnego {fn }
określonego na R wzorem: fn (x) = arc tg nx. Wykazać, że {fn } nie jest zbieżny jednostajnie na R, ale
jest zbieżny jednostajnie na każdym zbiorze postaci (−∞, −a] ∪ [a, +∞), gdzie a > 0.
Zadanie 3. Wyznaczyć funkcje graniczne i zbadać charakter zbieżności następujących ciągów funk3
gn (x) = 3n x 2 ,
hn (x) = n x 2 ,
cyjnych określonych na R :
fn (x) = 2n x 2 ,
n +x
n +x
1 + nx
q
−nx
e
n
n
ϕn (x) = x + n ,
ψn (x) = 1 + |x| .
Szeregi funkcyjne
∞
X
ln(1 + nx)
Zadanie 4. Pokazać, że szereg funkcyjny
nxn
n=1
jest zbieżny jednostajnie na każdym prze-
dziale [a, +∞) dla każdego a > 1.
Zadanie 5. Zbadać, czy następujące szeregi funkcyjne są jednostajnie zbieżne na przedziale [0, 1] :
∞
∞
∞ xn (1 − x)
P
P
P
n
,
(b)
x
(1
−
x),
(c)
xn · (1 − x)n .
(a)
n
n=1
n=1
n=1
(
Zadanie 6. Niech fn : [1, +∞) → R, fn (x) =
Pokazać, że szereg funkcyjny
∞
X
1
x
0
dla x ∈ [n, n + 1),
w pozostałych przypadkach.
fn (x) jest zbieżny jednostajnie na przedziale [1, +∞), mimo że nie
n=1
ma tu zastosowania kryterium Weierstrassa (majoryzowanie przez szereg liczbowy).
Całkowanie i różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych
(
Zadanie 7. Niech fn : R+ → R, fn (x) =
Sprawdzić, czy lim
Z
n→∞ 0
+∞
fn (x)dx =
0
lim fn (x)dx. Jeśli nie, to dlaczego?
n→∞
∞
X
n=1
+∞
x ¬ π/n,
x > π/n.
+∞
Z
Zadanie 8. Niech f : R → R, f (x) =
Z
n sin nx;
0;
n4
1
. Pokazać, że f jest funkcją ciągłą na R i obliczyć
+ x2
f (x)dx.
0
Zadanie 9. Niech r > 0 będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
an xn i niech f :
n=1
(−r, r) → R będzie sumą tego szeregu na (−r, r). Wykazać, że f jest klasy C 1 , a ponadto, dla
dowolnego x ∈ (−r, r) mamy: f 0 (x) =
∞
X
∞
X
an nxn−1 (różniczkowanie wyraz po wyrazie) oraz
n=1
an n+1
x
(całkowanie w sensie nieoznaczonym wyraz po wyrazie).
n=1 n + 1
1
Z
f (x)dx =
Szeregi potęgowe (Taylora)
Zadanie 10. Znaleźć promienie zbieżności, przedziały zbieżności i wyznaczyć sumy następujących
szeregów potęgowych:
∞
∞
∞
n+1 2n
n n
X
∞
∞
x
n(2n + 1) 2n
P
P
xn , (c) X 2 x , (d) X 3
,
(e)
x .
(a)
n xn , (b)
n
n
n4
6n
n=1
n=1
n=1
n=0 n + 1
n=1
Do sumowania wykorzystać fakty z Zadania 9.
Zadanie 11. Funkcja f : R → R jest określona wzorem: f (x) = 1 + 2 · 3x + · · · + n · 3n−1 xn−1 + . . ..
Pokazać, że f jest ciągła na przedziale
− 31 , 13
i obliczyć całkę
Z
1/8
f (x)dx.
0
Zadanie 12. Następujące funkcje rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu podanych punktów:
√
(a) f (x) = ln x w otoczeniu punktu x0 = 1, (b) f (x) = x3 w otoczeniu punktu x0 = 1,
(c) f (x) =
1
x
w otoczeniu punktu x0 = 3.
Zadanie 13. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:
1
1
1
(a) f (x) =
, (b) f (x) =
, (c) f (x) =
, (d) f (x) = ln(1 + x),
2
x−1
(x − 1)
1 + x3
2
(e) f (x) = e−x , (f) f (x) = sin(x2 ), (g) f (x) = (1 + x)α , α > 0,
4x + 6
x−3
3x + 1
, (j) f (x) =
, (k) f (x) = 2
,
(i) f (x) =
1−x
x−2
2x − 6x + 4
Zadanie 14. Przedstawić wartość całki
nięcie z Zadania 13 (k).
R1
sin x
x
0
(h) f (x) = x · sin x,
sin x
(l) f (x) =
.
x
dx w postaci szeregu liczbowego. Wykorzystać rozwi-
Szeregi trygonometryczne (Fouriera)
Zadanie 15. Wywieść z kryterium Diniego następujące kryterium Dirichleta. Niech f : R → R
będzie ograniczoną funkcją 2π-okresową, przedziałami monotoniczną, o skończonej liczbie punktów
nieciągłości w przedziale [−π, π]. Wówczas jej szereg Fouriera ma sumę f (x0 ), gdy x0 jest punktem
ciągłości f, oraz sumę
f (x0 + 0) + f (x0 − 0)
,
2
gdy x0 jest punktem nieciągłości f.
Zadanie 16. Niech f : R → R będzie funkcją 2π-okresową, taką że f (x) = x2 dla x ∈ [−π, π].
Rozwinąć ją w szereg Fouriera i wyprowadzić następujące wzory:
∞
∞
P
P
2
(−1)n−1
π2
1
=
,
(b)
= π12 .
(a) (wzór Eulera)
2
n
6
n2
n=1
n=1
Zadanie 17. Niech f : R → R będzie funkcją 2π-okresową, taką że f (x) = |x| dla x ∈ [−π, π].
Rozwinąć ją w szereg Fouriera i wyprowadzić wzór:
∞
X
1
π2
=
.
2
8
n=1 (2n − 1)
Zadanie 18. Niech f : R → R będzie taką funkcją 2π-okresową, że
f (x) =


 0;


x;
π;
x ∈ (−π, 0) ∪ {π},
x ∈ [0, π),
x = −π.
Rozwinąć ją w szereg Fouriera i wyprowadzić wzór w Zadania 17.
Koncept, wybór i kod: W.R., A.G.(R.)
2