Program Excel - dodatek Solver. Zadania optymalizacji (2 godziny)

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Metody matematyczne w informatyce – laboratorium
Program Excel - dodatek Solver.
Zadania optymalizacji (2 godziny)
Program laboratorium obejmuje następujące zagadnienia (UWAGA - wszystkie zadania należy rozwiązać przy pomocy dodatku Solver dostępnego w menu Narzędzia programu Excel):
• Znajdowanie pierwiastków równań nieliniowych, rozwiązywanie układów równań liniowych i nieliniowych
1. Znaleźć rozwiązanie równania cos(x) = 0, 5 − sin(x) dla x ∈ (1, 2). Pomocne będzie narysowanie wykresu równania.
2. Znaleźć pierwiastki wielomianu 32x6 −48x4 +18x2 −1. Przy określaniu punktów startowych
skorzystać z wykresu wielomianu sporządzonego dla x ∈ (−1, 1).
3. Rozwiązać układ równań nieliniowych. UWAGA - sprowadzić zadanie poszukiwania rozwiązania układu równań do zadania minimalizacji funkcji bez ograniczeń. Sprawdzić, jak
wpływa na otrzymane rozwiązanie położenie punktu startowego - np.
X0 = (x10 , x20 ) = (0, 0),
X0 = (x10 , x20 ) = (2, 2).
2
x1 + x22 − 4 = 0
ex1 − x2 = 0
4. Rozwiązać poniższe układy równań liniowych. UWAGA - sprowadzić zadanie poszukiwania
rozwiązania układu równań do zadania minimalizacji funkcji bez ograniczeń. Sprawdzić,
czy położenie punktu startowego wpływa na rozwiązanie.
x
3x
+
2y
4y
=
=
-1
17

 2x
3x

4x
+
-
3y
2y
y
+
+
2z
2z
3z
=
=
=
15
-2
2
• Zadania programowania liniowego
5. Znaleźć rozwiązanie optymalne dla poniższych ZPL
−6x1 − 2x2 → min

 2x1 + 4x2 ≤ 9
3x1 + x2 ≤ 6

x1 , x2 ≥ 0
x1 + 2x2 → max
x1 − x2 ≥ 5



x1 + x2 ≤ 6
 x1 ≥ 0


x2 ≤ 0
6. Firma produkuje dwa produkty A i B, których rynek zbytu jest nieograniczony. Każdy z
produktów wymaga obróbki na każdej z maszyn I, II i III. Czasy obróbki (w godzinach)
dla każdego z produktów są następujące:
1
A
B
I
0,5
0,25
II
0,4
0,3
III
0,2
0,4
Tygodniowy czas pracy maszyn I, II, III wynosi odpowiednio 40, 36 i 36 godzin. Zysk ze
sprzedaży jednej sztuki produktu A i B wynosi odpowiednio 5 i 3 PLN. Określić tygodniowe
normy produkcji wyrobów A i B maksymalizujące zysk.
7. Firma potrzebuje węgiel z zawartością fosforu nie większą niż 0,03% i zawartością cynku nie
większą niż 3,25%. Dostępne są trzy gatunki węgla A, B i C o następujących parametrach:
Gatunek węgla
A
B
C
zaw. P [%]
0,06
0,04
0,02
zaw. Zn [%]
2,0
4,0
3,0
Cena [$]
30
30
45
Jak należy je zmieszać, aby otrzymać najniższą cenę i jednocześnie spełnić ograniczenia na
zawartość zanieczyszczeń?
8. W dwóch miejscowościach A i B istnieje zapotrzebowanie na opryski ochronne przy użyciu herbicydów. W obu miejscowościach potrzeba po 6 samolotów celem realizacji zadania.
wiadomo, że 3, 4 i 5 samolotów można otrzymać odpowiednio z lotnisk L1 , L2 i L3 . Jak należy rozdzielić samoloty pomiędzy miejsca A i B, aby zminimalizować ich całkowitą długość
przelotu? Odległości z lotnisk do miejscowości A i B są podane w poniższej tabeli:
L1
L2
L3
2
A
12
7
16
B
15
14
5