plik pdf
Transkrypt
plik pdf
ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ DO DRUGIEGO KOLOKWIUM I. METODY ROZWIĄZYWANIA LINIOWYCH UKŁADÓW RÓWNAŃ 1. Rozwiązać układy równań: a) 5x1 = 10 x1 - 3x2 = -1 2x1 + x2 - x3 =2 2x2 + x3 + 4x4 =1 -3x3 - 4x4 + 5x5 = 5. b) x1 - x2 + x3 =1 2x2 - x3 + x4 = 1 3x3 - x4 = 5 4x4 = 4. 2. Dany jest układ równań x 1 + 2x2 - 3x 3 + x 4 = 1 3x 1 - x 2 + 5x 3 =7 x1 + 3x 2 - x 3 =3 x2 - x4 = 0 . Obliczyć rozwiązanie tego układu metodą a) Gaussa, a) Crouta. 3. Obliczyć metoda Crouta rozwiązanie układu równań Ax=b, gdzie 6 − 1 2 A = 5 − 1 2 b T = (−12,29,5). − 3 − 4 1 4. Wyprowadzić wzory na rozwiązanie liniowego układu równań metodą Gaussa o macierzy 3-diagonalnej wymiaru n * n . 5. Dana jest macierz symetryczna 0 − 2 − 2 4 0 4 − 2 0 A= − 2 − 2 3 2 2 3 − 2 0 a) Przedstawić A = LLT , gdzie L jest macierzą dolną trójkątną. b) Korzystając z rozkładu uzyskanego w punkcie b) obliczyć rozwiązanie układu Ax = b , gdzie bT = ( 0, 2, 1, 3). 6. Opisać procedury realizujące wybrane algorytmy dotyczące rozwiązywania liniowych układów równań. 1 PS. (od Damiana) Niestety w poniższych dwóch zadaniach nie ma takich pięknych macierzy, ale niestety nie mam tego „czegoś” (Equotation?), co je generuje, ale mam nadzieje że nie będziecie płakać ☺ 7. Oblicz wyznacznik oraz macierz odwrotną do macierzy: 1234 5670 0010 1000 metodą Gaussa z wyborem elementu podstawowego. 8. Napisz procedurę , która zadaną macierz o rozmiarze n postaci q 1 2 0 0 0 ... 0 p q 1 2 0 0 ... 0 0 p q 1 2 0 ... 0 ..................... 0 ......... 0 p q 1 0 ............0 p q doprowadza do macierzy górnie trójkątnej. p, q parametry wejściowe procedury. (Tu chodzi o to że każdy wiersz zawiera czwórkę p,q,1,2 – czasem obciętą – z tym że w kolejnych wierszach jest ona przesuwana o jedną pozycje w prawo, ale to przecież widać, prawda? ☺) II. OBLICZANIE ZER FUNKCJI METODAMI ITERACYJNYMI 1. Znaleźć przybliżony pierwiastek rzeczywisty równania x^3-x+1=0 metodą połowienia. 2. Metodą połowienia znaleźć dodatni pierwiastek równania x^2-x-1=0 z dokładnością 10^(-2). 3. Znaleźć miejsce zerowe funkcji y=3x+sinx -e^x w przedziale [0,1] za pomocą metody siecznych. 4. Oblicz metodą siecznych pierwiastek równania e6x-3x^2=0 położony w pobliżu punktu -0,5. 1 a 5 .a) Podać wzór iteracyjny do obliczania x = , dla a ≠ 0, który nie używa dzielenia. b) Obliczyć, korzystając z wyprowadzonego wyżej wzoru, x = startując z x0 =0.05. 2 1 10 6. a) Podać postać metody Newtona obliczania a , a > 0 . b) Korzystając ze wzoru podanego w punkcie a) obliczyć 3 kolejne przybliżenia 2 startując z x0= 1 . 7. Opisać funkcje realizujące algorytmy metody Newtona i siecznych w przypadku jednowymiarowym. 3